1
概率
一、选择题
1． （2018•四川凉州•3 分）小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时
经过每个路囗都是绿灯，但实际这样的机会是（ ）
A． B． C． D．
【分析】列举出所有情况，看个路口都是绿灯的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：画树状图，得
∴共有 8 种情况，经过每个路口都是绿灯的有一种，
∴实际这样的机会是 ，
故选：B．
【点评】此题考查了树状图法求概率，树状图法适用于三步或三步以上完成的事件，解题时要注意列出所有的情
形．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2． （2018•山西•3 分）在 一 个 不 透 明 的 袋 子 里 装 有 两 个 黄 球 和 一 个 白 球 ， 它 们 除 颜 色
外 都 相 同 ， 随 机 从 中 摸 出 一 个球 ， 记 下 颜 色 后 放回袋 子 中 ， 充 分 摇 匀后， 再 随 机 摸 出
一 个球， 两 次 都 摸 到 黄 球的概 率 是 （ ）
A.
B.
C.
D.
【 答 案 】A
【 考 点 】树状图或列表法求概率
【 解 析 】
4
9
1
3
2
9
1
92
由 表 格 可 知 ， 共 有 9 种 等 可 能 结 果 ， 其中两 次 都 摸 到 黄 球 的结果 有 4 种 ，
∴ P（两次都摸到黄球）=
3. （2018•山东淄博•4 分）下列语句描述的事件中，是随机事件的为（ ）
A．水能载舟，亦能覆舟 B．只手遮天，偷天换日
C．瓜熟蒂落，水到渠成 D．心想事成，万事如意
【考点】X1：随机事件．
【分析】直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、水能载舟，亦能覆舟，是必然事件，故此选项错误；
B、只手遮天，偷天换日，是不可能事件，故此选项错误；
C、瓜熟蒂落，水到渠成，是必然事件，故此选项错误；
D、心想事成，万事如意，是随机事件，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键．
4. （2018·湖北省宜昌·3 分）在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字，这个字是“绿”的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用概率公式求解．
【解答】解：这句话中任选一个汉字，这个字是“绿”的概率= ．
故选：B．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件 A 的概率 P（A）=事件 A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
5．（2018·湖北省孝感·3 分）下列说法正确的是（ ）
A．了解“孝感市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是全面调查
B．甲乙两人跳绳各 10 次，其成绩的平均数相等，S 甲 2＞S 乙 2，则甲的成绩比乙稳定
C．三张分别画有菱形，等边三角形，圆的卡片，从中随机抽取一张，恰好抽到中心对称图形卡片的概率是
4
93
D．“任意画一个三角形，其内角和是 360°”这一事件是不可能事件
【分析】根据随机事件的概念以及概率的意义结合选项可得答案．
【解答】解：A、了解“孝感市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是抽样调查，此选项错误；
B、甲乙两人跳绳各 10 次，其成绩的平均数相等，S 甲 2＞S 乙 2，则乙的成绩比甲稳定，此选项错误；
C、三张分别画有菱形，等边三角形，圆的卡片，从中随机抽取一张，恰好抽到中心对称图形卡片的概率是 ，此选
项错误；
D、“任意画一个三角形，其内角和是 360°”这一事件是不可能事件，此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了概率的意义，关键是弄清随机事件和必然事件的概念的区别．
6．（2018·湖北省武汉·3 分）一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字 1、2、3、4．随机抽
取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，再找出两次抽取的卡片上数字之积为偶数的结果数，然后根据概
率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有 16 种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之积为偶数的结果数为 12，
所以两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率= = ．
故选：C．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A 或
B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率．
7．（2018·湖南省衡阳·3 分）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为 ，下列说法错误的是（ ）
A．连续抛一枚均匀硬币 2 次必有 1 次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币 10 次都可能正面朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每 100 次出现正面朝上 50 次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
【解答】解：A、连续抛一均匀硬币 2 次必有 1 次正面朝上，不正确，有可能两次都正面朝上，也可能都反面朝上，
故此选项错误；
B、连续抛一均匀硬币 10 次都可能正面朝上，是一个有机事件，有可能发生，故此选项正确；
C、大量反复抛一均匀硬币，平均 100 次出现正面朝上 50 次，也有可能发生，故此选项正确；4
D、通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，概率均为 ，故此选项正确．
故选：A．
8.（2018·山东临沂·3 分）2018 年某市初中学业水平实验操作考试．要求每名学生从物理、化学、生物三个学科
中随机抽取一科参加测试，小华和小强都抽到物理学科的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用树状图法列举出所有的可能，进而利用概率公式取出答案．
【解答】解：如图所示： ，
一共有 9 种可能，符合题意的有 1 种，
故小华和小强都抽到物理学科的概率是： ．
故选：D．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有可能是解题关键．
9.（2018·山东威海·3 分）一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是﹣2，﹣1，0，
1．卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果数，然后根据概
率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知共有 12 种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有 4 种，
所以抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率为 = ，
故选：B．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A 或
B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率．
10.（2018 年江苏省泰州市•3 分）小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为 10%，他明天将
参加一场比赛，下面几种说法正确的是（ ）
A．小亮明天的进球率为 10% B．小亮明天每射球 10 次必进球 1 次
C．小亮明天有可能进球 D．小亮明天肯定进球
【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．5
【解答】解：根据以往比赛数据统计，小亮进球率为 10%，他明天将参加一场比赛小亮明天有可能进球．
故选：C．
【点评】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．
11（2018•株洲市•3 分）从 这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析】七个数中有两个负整数，故随机抽取一个数，恰好为负整数的概率是：
详解：-5， -1，0，2，π 这七个数中有两个负整数：-5，-1
所以，随机抽取一个数，恰好为负整数的概率是：
故选：A．
点睛：本题考查随机事件的概率的计算方法，能准确找出负整数的个数，并熟悉等可能事件的概率计算公式是关
键．
12. （2018·四川自贡·4 分）从﹣1、2、3、﹣6 这四个数中任取两数，分别记为 m、n，那么点（m，n）在函数 y=
图象的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出 mn=6，列表找出所有 mn 的值，根据表格中 mn=6 所占比例即可
得出结论．
【解答】解：∵点（m，n）在函数 y= 的图象上，
∴mn=6．
列表如下：
m ﹣
1
﹣
1
﹣
1
2 2 2 3 3 3 ﹣
6
﹣
6
﹣
6
n 2 3 ﹣
6
﹣
1
3 ﹣
6
﹣
1
2 ﹣
6
﹣
1
2 3
mn ﹣
2
﹣
3
6 ﹣
2
6 ﹣
12
﹣
3
6 ﹣
18
6 ﹣
12
﹣
18
mn 的值为 6 的概率是 = ．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，通过列表找出 mn=6 的概率是解题的关1
2
3
8
3
4
9
16
♣
洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（ ）
15．（2018·浙江宁波·4 分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字 1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上
A. B. C. D.
此之外完全相同，把这 4 张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，则这两张卡片正面图案相同的概率是（ ）
14.（2018•河南•3 分）现有 4 张卡片,其中 3 张卡片正面上的图案是“۞”,1 张卡片正面上的图案是“ ”,它们除
出现的结果数．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件 A 的概率 P（A）=事件 A 可能出现的结果数÷所有可能
故选：C．
阿冯抽出黄球的机率比小潘抽出黄球的机率大，
∴阿冯抽出红球的机率与小潘抽出红球的机率相等，
小潘抽出红球的机率为 = ，小潘抽出黄球的机率为 = ，
【解答】解：∵阿冯抽出红球的机率为 、抽出黄球的机率为 ，
【分析】根据概率公式分别计算出两人抽出红球、黄球的概率，比较大小即可得．
D．阿冯抽出黄球的机率比小潘抽出黄球的机率小
C．阿冯抽出黄球的机率比小潘抽出黄球的机率大
B．阿冯抽出红球的机率比小潘抽出红球的机率小
A．阿冯抽出红球的机率比小潘抽出红球的机率大
总计 5 颗 10 颗
绿球 1 颗 4 颗
黄球 2 颗 2 颗
红球 2 颗 4 颗
甲袋 乙袋
叙述何者正确？（ ）
球，小潘打算从乙袋中抽出一颗球，若甲袋中每颗球被抽出的机会相等，且乙袋中每颗球被抽出的机会相等，则下列
13 （2018·台湾·分）已知甲、乙两袋中各装有若干颗球，其种类与数量如表所示“今阿冯打算从甲袋中抽出一颗
键．
67
A． B． C． D．
【考点】概率公式的应用
【分析】让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数 5 即为所求的概率．
【解答】解：∵从写有数字 1，2，3，4，5 这 5 张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有 2、4 这 2 种结果，
∴正面的数字是偶数的概率为 ，
故选：C．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与
总情况数之比．
16（2018·浙江衢州·3 分）某班共有 42 名同学，其中有 2 名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，
老师随机请 1 名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是（ ）
A．0 B． C． D．1
【考点】概率.
【分析】直接利用概率公式计算得出答案．
【解答】解：∵某班共有 42 名同学，其中有 2 名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，∴老师随机请 1
名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是： = ．
故选 B．
【点评】本题主要考查了概率公式，利用符合题意数据与总数的比值=概率求出是解题的关键．
17. （2018·广东广州·3 分）甲袋中装有 2 个相同的小球，分别写有数字 1 和 2，乙袋中装有 2 个相同的小球，分
别写有数字 1 和 2，从两个口袋中各随机取出 1 个小球，取出的两个小球上都写有数字 2 的概率是（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】C
【考点】列表法与树状图法，概率公式
【解析】【解答】解：依题可得：
∴一共有 4 种情况，而取出的两个小球上都写有数字 2 的情况只有 1 种，
∴取出的两个小球上都写有数字 2 的概率为：P= .8
故答案为：C.
【分析】根据题意画出树状图，由图可知一共有 4 种情况，而取出的两个小球上都写有数字 2 的情况只有 1 种，再根
据概率公式即可得出答案.
18. (2018 四川省眉山市 2 分 ) 某校有 35 名同学参加眉山市的三苏文化知识竞赛，预赛分数各不相同，取前 18 名同
学参加决赛. 其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这 35 名同学分数的
（ ）。
A.众数
B.中位数
C.平均数
D.方差
【答案】B
【考点】中位数
【解析】【解答】解：∵有 35 个数，将 35 个成绩从小到大（或从大到小）排列，中位数及中位数之前共有 18 个数，
∴只要知道自己的成绩和中位数就可以知道自己是够能够进入决赛.
故答案为:B.
【分析】中位数：将一组数据从小到大或从大到小排列，如果是奇数个，则处于中间的那个数；若是偶数个，则处于
中间两个数的平均数即为这组数据的中位数；由中位数意义即可得出答案.
二.填空题
1. (2018 四川省绵阳市)现有长分别为 1，2，3，4，5 的木条各一根，从这 5 根木条中任取 3 根，能够构成三角形的
概率是________。
【答案】
【考点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：从 5 根木条中任取 3 根的所有情况为：1、2、3；1、2、4；1、2、5；1、3、4；1、3、5；1、
4、5；2、3、4；2、3、5；2、4、5；3、4、5；共 10 种情况；
∵能够构成三角形的情况有：2、3、4；2、4、5；3、4、5；共 3 种情况；
∴能够构成三角形的概率为： .
故答案为： .
【分析】根据题意先列出从 5 根木条中任取 3 根的所有情况数，再根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边
之差小于第三边，找出能够构成三角形的情况数，再由概率公式求解即可.
2．（2018 年四川省内江市）有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：
①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆．
将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ．9
【考点】X4：概率公式；P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
【分析】由五张卡片①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆中，既是轴对称图形，又是中心对称图
形的①⑤，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵五张卡片①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆中，既是轴对称图形，又是中心对
称图形的①⑤，
∴从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是： ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3．（2018 年四川省南充市）下列说法正确的是（ ）
A．调查某班学生的身高情况，适宜采用全面调查
B．篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中，这是不可能事件
C．天气预报说明天的降水概率为 95%，意味着明天一定下雨
D．小南抛掷两次硬币都是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的概率是 1[
【考点】X3：概率的意义；V2：全面调查与抽样调查；X1：随机事件．
【分析】利用概率的意义以及实际生活常识分析得出即可．
【解答】解：A、调查某班学生的身高情况，适宜采用全面调查，此选项正确；
B、篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中，这是随机事件，此选项错误；
C、天气预报说明天的降水概率为 95%，意味着明天下雨可能性较大，此选项错误；
D、小南抛掷两次硬币都是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的概率是 1，此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了随机事件的定义和概率的意义，正确把握相关定义是解题关键．
4. （2018·广东深圳·3 分）一个正六面体的骰子投掷一次得到正面向上的数字为奇数的概率________．
【答案】
【考点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个正六面体的骰子六个面上的数字分别为 1,2,3,4,5,6，∴投掷一次得到正面向上的数字
为奇数的有 1,3,5 共三次，
∴投掷一次得到正面向上的数字为奇数的概率 P= .
故答案为： .
【分析】根据投掷一次正方体骰子一共有 6 种情况，正面向上的数字为奇数的情况有 3 种，根据概率公式即可得出答
案.
5.（2018·浙江舟山·4 分）小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如10
果两次是一正一反，则我赢，”小红赢的概率是________，据此判断该游戏________（填“公平”或“不公平”）。
【考点】游戏公平性，概率公式
【分析】可列举抛硬币连续抛两次可能的情况，得出两次都是正面的情况数，可求得小红赢的概率；游戏的公平是双
方赢的概率都是
【解析】【解答】解：抛硬币连续抛两次可能的情况：（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反
面），一共有 4 种，
而两次都是正面的只有一次，则 P（两次都是正面）= <
所以该游戏是不公平的。
故答案为 ；不公平
. 【点评】本题考查游戏公平性及概率公式.
6. （2018•湖北黄冈•3 分）在-4，-2，1，2 四个数中，随机取两个数分别作为函数 y=ax2+bx+1 中 a，b 的值，则该
二次函数图像恰好经过第一、二、四象限的概率为___________.
【考点】概率．
【分析】首 先 利 用 列 表 法 求 得 所 有 点 的 情 况 ， 再 由 二次函数图像恰好经过第一、二、四象限， 即 可 求 得 答
案 ．
【解答】解：列 表 得 ：
a
b
-4 -2 1 2
-4 （-2，-4） （1，-4） （2，-4）
-2 （-4，-2） （1，-2） （2，-2）
1 （-4，1） （-2，1） （2，1）
2 （-4，2） （-2，2） （1，2）
∴ 一 共 有 12 种 情 况 ，
∵ 若 二次函数图像恰好经过第一、二、四象限， 则 △ =b2-4ac＞ 0， 且 a＞ 0，
∴ 符 合 要 求 的 点 有 （1，-4）,（2，-4）2 个
∴ 所 有 的 二次函数图像恰好经过第一、二、四象限的 概 率 为 = .
本题考查了概率．当 试 验 中 存 在 两 个 元 素 且 出 现 的 所 有 可 能 的 结 果 较 多 时 ， 我 们 常 用 列 表 的 方 式 ， 列 出
所 有 可 能 的 结 果 ， 再 求 出 概 率 ．
7．（2018•湖北黄石•3 分）在一个不透明的布袋中装有标着数字 2，3，4，5 的 4 个小球，这 4 个小球的材质、大小
12
2
6
111
和形状完全相同，现从中随机摸出两个小球，这两个小球上的数字之积大于 9 的概率为
【分析】列表或树状图得出所有等可能的情况数，找出数字之积大于 9 的情况数，利用概率公式即可得．
【解答】解：根据题意列表得：
2 3 4 5
2 ﹣﹣﹣ （3，2） （4，2） （5，2）
3 （2，3） ﹣﹣﹣ （4，3） （5，3）
4 （2，4） （3，4） ﹣﹣﹣ （5，4）
5 （2，5） （3，5） （4，5） ﹣﹣﹣
由表可知所有可能结果共有 12 种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球上的数字之积大于 9 的有 8
种，
所以两个小球上的数字之积大于 9 的概率为 = ，
故答案为： ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
8. （2018·新疆生产建设兵团·5 分）一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小
伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是 ．
【分析】根据概率的计算公式．颜色搭配总共有 4 种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出各自的概
率即可．
【解答】解：用 A 和 a 分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；
用 B 和 b 分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：
Aa、Ab、Ba、Bb．
所以颜色搭配正确的概率是 ．
故答案为： ．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，
那么事件 A 的概率 P（A）= ．
9. （2018·天津·3 分） 不透明袋子中装有 11 个球，其中有 6 个红球，3 个黄球，2 个绿球，这些球除颜色外无其12
他差别.从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是__________．
【答案】
【解析】分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的
概率．
详解：∵袋子中共有 11 个小球，其中红球有 6 个，
∴摸出一个球是红球的概率是 ，
故答案为： ．
点睛：此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结
果，那么事件 A 的概率 P（A）= ．
10.（2018•湖南省永州市•4 分）在一个不透明的盒子中装有 n 个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有 3
个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发
现摸到红球的频率稳定在 0.03，那么可以推算出 n 的值大约是 100 ．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方
程求解．
【解答】解：由题意可得， =0.03，
解得，n=100．
故估计 n 大约是 100．
故答案为：100．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况
数与总情况数之比．
11.（2018 年江苏省宿迁）小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有 7 根火柴棒，每次取 1 根或 2 根，最后取完者
获胜。若由小明先取，且小明获胜是必然事件，，则小明第一次取走火柴棒的根数是________.
【答案】1
【考点】随机事件
【解析】【解答】解：如果小明第一次取走 1 根，剩下了 6 根，6 既是 1 的倍数又是 2 的倍数，不管后面怎么取，小
明都将取走最后一根火柴.故答案为：1.
【分析】要保证小明获胜是必然事件，则小明必然要取到第 7 根火柴，进行倒推，就能找到保证小明获胜的方法.
12．（2018·湖北省武汉·3 分）下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活情况
移植总数 n 400 1500 3500 7000 9000 14000
成活数 m 325 1336 3203 6335 8073 1262813
成活的频率（精确到 0.01） 0.813 0.891 0.915 0.905 0.897 0.902
由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是 0.9 （精确到 0.1）
【分析】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率
∴这种幼树移植成活率的概率约为 0.9．
故答案为：0.9．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况
数与总情况数之比．
13. （2018•江苏扬州•3 分）有 4 根细木棒，长度分别为 2cm，3cm，4cm，5cm，从中任选 3 根，恰好能搭成一个三角
形的概率是 ．
【分析】根据题意，使用列举法可得从有 4 根细木棒中任取 3 根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，
根据概率的计算方法，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，从有 4 根细木棒中任取 3 根，有 2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共 4 种取法，
而能搭成一个三角形的有 2、3、4；3、4、5；2，4，5，3 种；
故其概率为： ．
【点评】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=
所求情况数与总情况数之比．
14. （2018•山东滨州•5 分）若从﹣1，1，2 这三个数中，任取两个分别作为点 M 的横、纵坐标，则点 M 在第二象限
的概率是 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到点 M 在第二象限的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：列表如下：
由表可知，共有 6 种等可能结果，其中点 M 在第二象限的有 2 种结果，14
所以点 M 在第二象限的概率是 = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了利用列表法与树状图法求概率的方法：先列表展示所有等可能的结果数 n，再找出某事件发生的
结果数 m，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率= ．
15. （2018•江苏盐城•3 分）一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格形状大小完全相同，当蚂蚁停
下时，停在地板中阴影部分的概率为________．
【答案】
【考点】几何概率
【解析】【解答】解：一共有 9 个小方格，阴影部分的小方格有 4 个，则 P=
故答案为：
【分析】根据概率公式 P= ，找出所有结果数 n，符合事件的结果数 m，代入求值即可。
16. （2018•四川成都•3 分）在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共 16 个，从中随机摸出一个乒
乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为 ，则该盒子中装有黄色兵乓球的个数是________．
【答案】6
【考点】概率公式，简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设该盒子中装有黄色兵乓球的个数为 x 个，根据题意得： = ，解之：x=6
故答案为：6
【分析】根据黄球的概率，建立方程求解即可。
17 （2018•四川成都•3 分）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图
所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为 ，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖15
落在阴影区域的概率为________.
【答案】
【考点】勾股定理，正方形的性质，简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为 ，设两直角边的长分别为 2x、3x
∴大正方形的面积为（2x）2+（3x）2=13x2
小正方形的边长为 3x-2x=x，则小正方形的面积为 x2,
∴阴影部分的面积为：13x2-x2=12x2,
∴针尖落在阴影区域的概率为：
故答案为：
【分析】根据已知四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为 ，因此设两直角边的长分别为 2x、3x，
利用勾股定理求出大正方形的面积，再求出小正方形的面积，再求出阴影部分的面积，利用概率公式，求解即可。
三.解答题
(要求同上一)
1. （2018•四川凉州•7 分）已知一个口袋中装有 7 个只有颜色不同的球，其中 3 个白球，4 个黑球．
（1）求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？
（2）若往口袋中再放入 x 个白球和 y 个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是 ，求 y 与 x 之间的函数关系式．
【分析】（1）直接利用概率公式直接得出取出一个黑球的概率；
（2）直接利用从口袋中随机取出一个白球的概率是 ，进而得出答案函数关系式．
【解答】解：（1）∵一个口袋中装有 7 个只有颜色不同的球，其中 3 个白球，4 个黑球，
∴从中随机抽取出一个黑球的概率是： ；
（2）∵往口袋中再放入 x 个白球和 y 个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是 ，16
∴ = ，
则 y=3x+5．
【点评】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．
2（2018•山西•9 分）在“优秀传统文化进校园”活动中，学校计划每周二下午第三节课时间开展此 项活动， 拟开
展活动项目为： 剪纸， 武术， 书法， 器乐， 要求七年级学生人人参加， 并且每人只 能 参 加 其 中 一 项 活动.
教 务 处 在 该 校 七 年级学 生 中 随 机 抽 取 了 100 名 学 生 进 行 调 查 ， 并对 此 进 行统 计 ， 绘 制 了
如 图所示 的 条 形 统 计 图 和扇形 统 计 图 （ 均 不 完整）.
请 解 答 下 列 问
题:
（1）请补全条形统计图和扇形统计图；
（2）在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比是多少？
（3）若该校七年级学生共有 500 人，请估计其中参加“书法”项目活动的有多少人？
（4）学校教务处要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，那么正好抽到参加“器乐 ”活 动 项 目
的 女生的 概 率 是 多 少 ？
【 考 点 】条形统计图，扇形统计图
【 解 析】（1） 解 ：
（2） 解 ： ×100% = 40%.
答 ： 男 生 所 占 的 百分比 为 40%.
（3） 解 ：500 × 21%=105（ 人 ）.
答 ： 估 计 其 中 参 加“书 法 ” 项 目 活 动 的有 105 人.
10
10+1517
（4） 解 ：
5
15 15 5= =15+10+8+15 48 1618
答 ： 正 好 抽 到 参 加“器 乐 ” 活 动 项 目 的女生 的 概 率 为 .
3.（2018•山东枣庄•8 分）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机
调查了我市 50 名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图
表（不完整）：
步数 频数 频率
0≤x＜4000 8 a
4000≤x＜8000 15 0.3
8000≤x＜12000 12 b
12000≤x＜16000 c 0.2
16000≤x＜20000 3 0.06
20000≤x＜24000 d 0.04
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出 a，b，c，d 的值并补全频数分布直方图；
（2）本市约有 37800 名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过 12000 步（包含 12000
步）的教师有多少名？
（3）若在 50 名被调查的教师中，选取日行走步数超过 16000 步（包含 16000 步的两名教师
与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在 20000 步（包含 20000 步）以上的概率．
【分析】（1）根据频率=频数÷总数可得答案；
（2）用样本中超过 12000 步（包含 12000 步）的频率之和乘以总人数可得答案；
（3）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）a=8÷50=0.16，b=12÷50=0.24，c=50×0.2=10，d=50×0.04=2，
补全频数分布直方图如下：
5
1619
（2）37800×（0.2+0.06+0.04）=11340，
答：估计日行走步数超过 12000 步（包含 12000 步）的教师有 11340 名；
（3）设 16000≤x＜20000 的 3 名教师分别为 A、B、C，
20000≤x＜24000 的 2 名教师分别为 X、Y，
画树状图如下：
由树状图可知，被选取的两名教师恰好都在 20000 步（包含 20000 步）以上的概率为 = ．
【点评】此题考查了频率分布直方图，用到的知识点是频率=频数÷总数，用样本估计整体
让整体×样本的百分比，读懂统计表，运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实
际问题是本题的关键．
4. （2018•江苏扬州•8 分）4 张相同的卡片分别写着数字﹣1、﹣3、4、6，将卡片的背面朝
上，并洗匀．
（1）从中任意抽取 1 张，抽到的数字是奇数的概率是 ；
（2）从中任意抽取 1 张，并将所取卡片上的数字记作一次函数 y=kx+b 中的 k；再从余下的
卡片中任意抽取 1 张，并将所取卡片上的数字记作一次函数 y=kx+b 中的 b．利用画树状图
或列表的方法，求这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，利用一次获胜的性质，找出 k＜0，b＞0 的
结果数，然后根据概率公式求解．20
【解答】解：（1）从中任意抽取 1 张，抽到的数字是奇数的概率= ；
故答案为 ；
（2）画树状图为：
共有 12 种等可能的结果数，其中 k＜0，b＞0 有 4 种结果，
所以这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率= = ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，
再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概
率．也考查了一次函数的性质．
5.（2018•江西•6 分）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行
宣传活动.班主任梁老师决定从 4 名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方
式确定 2 名女生去参加.
抽签规则：将 4 名女班干部姓名分别写在 4 张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝
上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的 3 张卡片
中随机抽取第二张，记下姓名.
（1）该班男生“小刚被抽中”是 事件，“小悦被抽中”是
事件(填
“不可能”或“必然”或“随机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”
的概率.
【解析】 （1）不可能 随机
（2） 共 12 种可能，“小惠被抽中”的概率是: 21
6 （2018•江苏盐城•8 分）端午节是我国传统佳节.小峰同学带了 4 个粽子（除粽馅不同外，
其它均相同），其中有两个肉馅粽子、一个红枣馅粽子和一个豆沙馅粽子，准备从中任意拿
出两个送给他的好朋友小悦.
（1）用树状图或列表的方法列出小悦拿到两个粽子的所有可能结果；
（2）请你计算小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率.
.【答案】（1）解：如树状图，
所有可能的结果是：（肉 1 ， 肉2），（肉 1 ， 豆沙），（肉1 ， 红枣），（肉2 ， 肉1），
（肉 2 ， 豆沙），（肉 2 ， 红枣），（红枣，肉 1），（红枣，肉 2），（红枣，豆沙），（豆沙，
肉 1），（豆沙，肉 2），（豆沙，红枣）。
（2）解：由（1）可得所有等可能的结果有 12 种，拿到的两个是肉棕的有 2 种结果，则 P=
。
【考点】列表法与树状图法，概率公式
【解析】【分析】（1）列树状图从开始，列出第一次所有可能拿到的棕子，再列出第二次除
第一次拿到的外所有可能拿到的棕子，注意用线连好；列表格：将每次可能拿到的棕子分别
写在列或行中，再列举出所有可能，注意不能重复拿同一种的；（2）由（1）可得出所有可
能的结果数，再找出其中是两个都是肉的结果数，利用概率公式求得。
开始
小
悦
小
惠
小
艳
小
倩
小
悦
小
惠
小
艳
小
倩
小
悦
小
惠
小
艳
小
倩
小倩小艳小惠小悦22
7. （2018·湖北省宜昌·8 分）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类杜
团的意愿，在全校随机抽取了 50 名学生进行问卷调查，问卷给出了五个社团供学生选择（学
生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了
统计，如表：
社团名称 A．酵素制作
社团
B．回收材料
小制作社团
C．垃圾分类
社团
D．环保义工
社团
E．绿植养护
社团
人数 10 15 5 10 5
（1）填空：在统计表中，这 5 个数的中位数是 10 ；
（2）根据以上信息，补全扇形图（图 1）和条形图（图 2）；
（3）该校有 1400 名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社
团；
（4）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树
状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．
【分析】（1）根据中位数的定义即可判断；
（2）求出没有选择的百分比，高度和 E 相同，即可画出图形；
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可；
（4）画出树状图即可解决问题；
【解答】解：（1）这 5 个数从小到大排列：5，5，10，10，15，故中位数为 10，
故答案为 10．
（2）没有选择的占 1﹣10%﹣30%﹣20%﹣10%﹣20%=10%，
条形图的高度和 E 相同；如图所示：23
（3）1400×20%=280（名）
答：估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团有 280 名；
（4）酵素制作社团、绿植养护社团分别用 A、B 表示：树状图如图所示，
共有 4 种可能，两人同时选择绿植养护社团只有一种情形，
∴这两名同学同时选择绿植养护社团的概率= ．
【点评】此题考查了扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法，用到的知识点为：概率
=所求情况数与总情况数之比．
8（2018·湖南省常德·8 分）某校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机
抽取了部分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图．请你根据统计图回
答下列问题：
（1）喜欢乒乓球的学生所占的百分比是多少？并请补全条形统计图（图 2）；
（2）请你估计全校 500 名学生中最喜欢“排球”项目的有多少名？24
（3）在扇形统计图中，“篮球”部分所对应的圆心角是多少度？
（4）篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选
两人进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
【分析】（1）先利用喜欢足球的人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，再计算出喜欢
乒乓球的人数，然后补全条形统计图；
（2）用 500 乘以样本中喜欢排球的百分比可根据估计全校 500 名学生中最喜欢“排球”项
目的写生数；
（3）用 360°乘以喜欢篮球人数所占的百分比即可；
（4）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好是甲和乙的结果数，
然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）调查的总人数为 8÷16%=50（人），
喜欢乒乓球的人数为 50﹣8﹣20﹣6﹣2=14（人），
所以喜欢乒乓球的学生所占的百分比= ×100%=28%，
补全条形统计图如下：
（2）500×12%=60，
所以估计全校 500 名学生中最喜欢“排球”项目的有 60 名；
（3），篮球”部分所对应的圆心角=360×40%=144°；
（4）画树状图为：
共有 12 种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果数为 2，
所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率= = ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，
再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概
率．也考查了统计图．25
9. （2018·湖南省衡阳·8 分）“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首
届“中国诗词大会”，经选拔后有 50 名学生参加决赛，根据测试成绩（成绩都不低于 50 分）
绘制出如图所示的部分频数分布直方图．
请根据图中信息完成下列各题．
（1）将频数分布直方图补充完整人数；
（2）若测试成绩不低于 80 分为优秀，则本次测试的优秀率是多少；
（3）现将从包括小明和小强在内的 4 名成绩优异的同学中随机选取两名参加市级比赛，求
小明与小强同时被选中的概率．
【解答】解：（1）70 到 80 分的人数为 50﹣（4+8+15+12）=11 人，
补全频数分布直方图如下：
（2）本次测试的优秀率是 ×100%=54%；
（3）设小明和小强分别为 A、B，另外两名学生为：C、D，
则所有的可能性为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，
所以小明和小强分在一起的概率为 ．
10.（2018·山东青岛·6 分）小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动．小明想参加敬老26
服务活动，小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小
明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记 4、5、6 三个数字，一
人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，
若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的
两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游
戏公平吗？请说明理由．
【分析】首先根据题意列表，然后根据表求得所有等可能的结果与和为奇数、偶数的情况，
再利用概率公式求解即可．
【解答】解：不公平，
列表如下：
4 5 6
4 8 9 1
0
5 9 1
0
1
1
6 1
0
1
1
1
2
由表可知，共有 9 种等可能结果，其中和为偶数的有 5 种结果，和为奇数的有 4 种结果，
所以按照小明的想法参加敬老服务活动的概率为 ，按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动
的概率为 ，
由 ≠ 知这个游戏不公平；
【点评】此题考查了列表法求概率．注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能
的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
11.（2018·山东泰安·8 分）为增强学生的安全意识，我市某中学组织初三年级 1000 名学
生参加了“校园安全知识竞赛”，随机抽取一个班学生的成绩进行整理，分为 A，B，C，D 四
个等级，并把结果整理绘制成条形统计图与扇形统计图（部分），请依据如图提供的信息，
完成下列问题：27
（1）请估计本校初三年级等级为 A 的学生人数；
（2）学校决定从得满分的 3 名女生和 2 名男生中随机抽取 3 人参加市级比赛，请求出恰好
抽到 2 名女生和 1 名男生的概率．
【分析】（1）先根据 C 等级人数及其所占百分比求得总人数，用总人数减去 B、C、D 的人数
求得 A 等级人数，再用总人数乘以样本中 A 等级人数所占比例；
（2）列出从 3 名女生和 2 名男生中随机抽取 3 人的所有等可能结果，再从中找到恰好抽到 2
名女生和 1 名男生的结果数，根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）∵所抽取学生的总数为 8÷20%=40 人，
∴该班级等级为 A 的学生人数为 40﹣（25+8+2）=5 人，
则估计本校初三年级等级为 A 的学生人数为 1000× =125 人；
（2）设两位满分的男生记为 A1、A2、三位满分的女生记为 B1、B2、B3，
从这 5 名同学中选 3 人的所有等可能结果为：
（B1，B2，B3）、（A2，B2，B3）、（A2，B1，B3）、（A2，B1，B2）、（A1，B2，B3）、
（A1，B1，B3）、（A1，B1，B2）、（A1，A2，B3）、（A1，A2，B2）、（A1，A2，B1），
其中恰好有 2 名女生、1 名男生的结果有 6 种，
所以恰好抽到 2 名女生和 1 名男生的概率为 = ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点
为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12（2018·山东潍坊·8 分）为进一步提高全民“节约用水”意识，某学校组织学生进行家
庭月用水量情况调查活动，小莹随机抽查了所住小区 n 户家庭的月用水量，绘制了下面不完
整的统计图．28
（1）求 n 并补全条形统计图；
（2）求这 n 户家庭的月平均用水量；并估计小莹所住小区 420 户家庭中月用水量低于月平
均用水量的家庭户数；
（3）从月用水量为 5m3 和和 9m3 的家庭中任选两户进行用水情况问卷调查，求选出的两户中
月用水量为 5m3 和 9m3 恰好各有一户家庭的概率．
【分析】（1）根据月用水量为 9m3 和 10m3 的户数及其所占百分比可得总户数，再求出 5m3 和
8m3 的户数即可补全图形；
（2）根据加权平均数的定义计算可得月平均用水量，再用总户数乘以样本中低于月平均用
水量的家庭户数所占比例可得；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到满足条件的结果数，根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）n=（3+2）÷25%=20，
月用水量为 8m3 的户数为 20×55%﹣7=4 户，
月用水量为 5m3 的户数为 20﹣（2+7+4+3+2）=2 户，
补全图形如下：
（2）这 20 户家庭的月平均用水量为 =6.95（m3），
因为月用水量低于 6.95m3 的有 11 户，
所以估计小莹所住小区 420 户家庭中月用水量低于 6.95m3 的家庭户数为 420× =231 户；29
（3）月用水量为 5m3 的两户家庭记为 a、b，月用水量为 9m3 的 3 户家庭记为 c、d、e，
列表如下：
a b c d e
a （b，a） （c，a） （d，a） （e，a）
b （a，b） （c，b） （d，b） （e，b）
c （a，c） （b，c） （d，c） （e，c）
d （a，d） （b，d） （c，d） （e，d）
e （a，e） （b，e） （c，e） （d，e）
由表可知，共有 20 种等可能结果，其中满足条件的共有 12 种情况，
所以选出的两户中月用水量为 5m3 和 9m3 恰好各有一户家庭的概率为 = ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，
再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式求事件 A 或 B 的概率．也考查
了统计图和用样本估计总体．
13. （2018•甘肃白银，定西，武威）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑 3 个小正方
形所形成的图案.
（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？
（2）现将方格内空白的小正方形（ ， ， ， ， ， ）中任取 2 个涂黑，得到新图案.请
用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率.
【答案】（1） ；（2）
【解析】【分析】 直接写出米粒落在阴影部分的概率即可.
画树状图写出所有的情况，根据概率的求法计算概率.
【解答】解：（1）米粒落在阴影部分的概率为 ；
（2）列表：
第二次
A B C D E F30
A (A，B) (A，C) (A，D) (A，E) (A，F)
B （B , A） (B，C) (B，D) (B，E) (B，F)
C (C , A) (C，B) (C，D) (C，E) (C，F)
D (D , A） (D，B) (D，C) (D，E) (D，F)
E (E , A) (E，B) (E，C) (E，D) (E，F)
F (F , A) (F , B) (F , C) (F , D) (F，E)
共有 30 种等可能的情况，其中图案是轴对称图形的有 10 种，
故图案是轴对称图形的概率为 ；
【点评】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数
的比.
14. （2018•安徽•分） “校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成
绩(得分均为整数)进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图部分信息如下：
（1）本次比赛参赛选手共有 人，扇形统计图中“69.5～79.5”这一组人数占总
参赛人数的百分比为 ；
（2）赛前规定，成绩由高到低前 60%的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为 78 分，试
判断他能否获奖，并说明理由;
（3）成绩前四名是 2 名男生和 2 名女生，若从他们中任选 2 人作为获奖代表发言，试求恰
好选中 1 男 1 女的概率.31
【答案】（1）50，30%；（2）不能，理由见解析；（3）P=
【解析】【分析】（1）由直方图可知 59.5~69.5 分数段有 5 人，由扇形统计图可知这一分数
段人占 10%，据此可得选手总数，然后求出 89.5~99.5 这一分数段所占的百分比，用 1 减去
其他分数段的百分比即可得到分数段 69.5~79.5 所占的百分比；
（2）观察可知 79.5~99.5 这一分数段的人数占了 60%，据此即可判断出该选手是
否获奖；
（3）画树状图得到所有可能的情况，再找出符合条件的情况后，用概率公式进行
求解即可.
【详解】（1）本次比赛选手共有（2+3）÷10%=50（人），
“89.5～99.5”这一组人数占百分比为：（8+4）÷50×100%=24%，
所以“69.5～79.5”这一组人数占总人数的百分比为：1-10%-24%-36%=30%，
故答案为：50，30%；
（2）不能；由统计图知，79.5~89.5 和 89.5~99.5 两组占参赛选手 60%，而 78＜
79.5，所以他不能获奖；
（3）由题意得树状图如下
由树状图知，共有 12 种等可能结果，其中恰好选中 1 男 1 女的 8 结果共有种，故
P= = .
【点睛】本题考查了直方图、扇形图、概率，结合统计图找到必要信息进行解题是关键.
15.（2018 年江苏省南京市）甲口袋中有 2 个白球、1 个红球，乙口袋中有 1 个白球、1 个
红球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个口袋中随机摸出 1 个球．
（1）求摸出的 2 个球都是白球的概率．
（2）下列事件中，概率最大的是 D ．
A．摸出的 2 个球颜色相同 B．摸出的 2 个球颜色不相同
C．摸出的 2 个球中至少有 1 个红球 D．摸出的 2 个球中至少有 1 个白球
【分析】（1）先画出树状图展示所有 6 种等可能的结果数，再找出 2 个球都是白球所占结
果数，然后根据概率公式求解；
（2）根据概率公式分别计算出每种情况的概率，据此即可得出答案．
【解答】解：（1）画树状图如下：32
由树状图知，共有 6 种等可能结果，其中摸出的 2 个球都是白球的有 2 种结果，
所以摸出的 2 个球都是白球的概率为 = ；
（2）∵摸出的 2 个球颜色相同概率为 = 、摸出的 2 个球颜色不相同的概率为 = ，
摸出的 2 个球中至少有 1 个红球的概率为 = 、摸出的 2 个球中至少有 1 个白球的概率为
，
∴概率最大的是摸出的 2 个球中至少有 1 个白球，
故选：D．
【点评】此题主要考查了列表法与树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可
能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还
要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16.（2018 年江苏省泰州市•8 分）泰州具有丰富的旅游资源，小明利用周日来泰州游玩，上
午从 A、B 两个景点中任意选择一个游玩，下午从 C、D、E 三个景点中任意选择一个游玩．用
列表或画树状图的方法列出所有等可能的结果，并求小明恰好选中景点 B 和 C 的概率．
【分析】通过列表展示所有 6 种等可能的结果数，找出小名恰好选中 B 和 C 这两处的结果数，
然后根据概率公式求解．
【解答】解：列表如下：
A B
C AC BC
D AD BD
E AE BE
由表可知共有 6 种等可能的结果数，其中小明恰好选中景点 B 和 C 的结果有 1 种，
所以小明恰好选中景点 B 和 C 的概率为 ．
【点评】此题主要考查了列表法与树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可
能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还
要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．33
17.（2018 年江苏省宿迁）有 2 部不同的电影 A、B，甲、乙、丙 3 人分别从中任意选择 1 部
观看
（1）求甲选择 A 部电影的概率；
（2）求甲、乙、丙 3 人选择同一部电影的概率（请用画树状图的方法给出分析过程，并求
出结果）
【答案】（1）解：（1）∵甲可选择电影 A 或 B，∴甲选择 A 部电影的概率 P= .
答：甲选择 A 部电影的概率为 .
（ 2 ） 甲 、 乙 、 丙 3 人 选 择 电 影 情 况 如 图 ：
由图可知总共有 8 种情况，甲、乙、丙 3 人选择同一部电影的情况有 2 种，
∴甲、乙、丙 3 人选择同一部电影的概率 P= .
答：甲、乙、丙 3 人选择同一部电影的概率为： .
【考点】列表法与树状图法，概率公式
【解析】【分析】（1）甲可选择电影 A 或 B，根据概率公式即可得甲选择 A 部电影的概率.
（2）用树状图表示甲、乙、丙 3 人选择电影的所有情况，由图可知总共有 8 种情况，甲、
乙、丙 3 人选择同一部电影的情况有 2 种，根据概率公式即可得出答案.
18.（2018·新疆生产建设兵团·10 分）杨老师为了了解所教班级学生课后复习的具体情况，
对本班部分学生进行了一个月的跟踪调查，然后将调查结果分成四类：A：优秀；B：良好；
C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．34
请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，杨老师一共调查了 20 名学生，其中 C 类女生有 2 名，D 类男生有
1 名；
（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（3）在此次调查中，小平属于 D 类．为了进步，她请杨老师从被调查的 A 类学生中随机选
取一位同学，和她进行“一帮一”的课后互助学习．请求出所选的同学恰好是一位女同学的
概率．
【分析】（1）由 A 类别人数及其所占百分比可得总人数，用总人数乘以 C 类别百分比，再减
去其中男生人数可得女生人数，同理求得 D 类别男生人数；
（2）根据（1）中所求结果可补全图形；
（3）根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）杨老师调查的学生总人数为（1+2）÷15%=20 人，
C 类女生人数为 20×25%﹣3=2 人，D 类男生人数为 20×（1﹣15%﹣20%﹣25%）﹣1=1 人，
故答案为：20、2、1；
（2）补全图形如下：35
（3）因为 A 类的 3 人中，女生有 2 人，
所以所选的同学恰好是一位女同学的概率为 ．
【点评】此题考查了概率公式的应用以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
19. （2018·四川宜宾·8 分）某高中进行“选科走班”教学改革，语文、数学、英语三门
为必修学科，另外还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理（分别记为 A、B、C、D、
E、F）六门选修学科中任选三门，现对该校某班选科情况进行调查，对调查结果进行了分析
统计，并制作了两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）该班共有学生人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）该班某同学物理成绩特别优异，已经从选修学科中选定物理，还需从余下选修学科中
任意选择两门，请用列表或画树状图的方法，求出该同学恰好选中化学、历史两科的概
率．
【考点】X6：列表法与树状图法；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【分析】（1）根据化学学科人数及其所占百分比可得总人数；
（2）根据各学科人数之和等于总人数求得历史的人数即可；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好选中化学、历史两科的结果数，再利用概率
公式计算可得．
【解答】解：（1）该班学生总数为 10÷20%=50 人；
（2）历史学科的人数为 50﹣（5+10+15+6+6）=8 人，
补全图形如下：36
（3）列表如下：
化学 生物 政治 历史 地理
化学 生物、化学 政治、化学 历史、化学 地理、化学
生物 化学、生物 政治、生物 历史、生物 地理、生物
政治 化学、政治 生物、政治 历史、政治 地理、政治
历史 化学、历史 生物、历史 政治、历史 地理、历史
地理 化学、地理 生物、地理 政治、地理 历史、地理
由表可知，共有 20 种等可能结果，其中该同学恰好选中化学、历史两科的有 2 种结果，
所以该同学恰好选中化学、历史两科的概率为 = ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，
再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式求事件 A 或 B 的概率．
20（2018·四川自贡·8 分）某校研究学生的课余爱好情况吧，采取抽样调查的方法，从阅
读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面
两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：37
（1）在这次调查中，一共调查了 100 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有 1500 名，估计爱好运动的学生有 600 人；
（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱
好阅读的学生的概率是 ．
【分析】（1）根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数；
（2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形．
（3）利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数．
（4）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率．
【解答】解：（1）爱好运动的人数为 40，所占百分比为 40%
∴共调查人数为：40÷40%=100
（2）爱好上网的人数所占百分比为 10%
∴爱好上网人数为：100×10%=10，
∴爱好阅读人数为：100﹣40﹣20﹣10=30，
补全条形统计图，如图所示，
（3）爱好运动所占的百分比为 40%，
∴估计爱好运用的学生人数为：1500×40%=600
（4）爱好阅读的学生人数所占的百分比 40%，
∴用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为
故答案为：（1）100；（3）600；（4）
【点评】本题考查统计与概率，解题的关键是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题
型．
21. （2018·台湾·分）一个箱子内有 4 颗相同的球，将 4 颗球分别标示号码 1、2、3、4，38
今翔翔以每次从箱子内取一颗球且取后放回的方式抽取，并预计取球 10 次，现已取了 8 次，
取出的结果如表所列：
次数 第 1
次
第 2
次
第 3
次
第 4
次
第 5
次
第 6
次
第 7
次
第 8
次
第 9
次
第 10
次
号码 1 3 4 4 2 1 4 1
若每次取球时，任一颗球被取到的机会皆相等，且取出的号码 即为得分，请回答下列问题：
（1）请求出第 1 次至第 8 次得分的平均数．
（2）承（1），翔翔打算依计划继续从箱子取球 2 次，请判断是否可能发生「这 10 次得分的
平均数不小于 2.2，且不大于 2.4」的情形？若有可能，请计算出发生此情形的机率，并完
整写出你的解题过程；若不可能，请完整说明你的理由．
【分析】（1）根据算术平均数的定义列式计算可得；
（2）先根据这 10 次得分的平均数不小于 2.2，且不大于 2.4 得出后两次得分的范围，再列
表得出所有等可能结果，从中找打符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）第 1 次至第 8 次得分的平均数 =2.5；
（2）∵这 10 次得分的平均数不小于 2.2，且不大于 2.4，
∴这 10 次得分之和不小于 22、不大于 24，
而前 8 次的得分之和为 20，
∴后两次的得分不小于 2、不大于 4，
解：列表得：
（1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
（1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
（1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
（1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
∴一共有 16 种情况，其中得分之和不小于 2、不大于 4 的有 6 种结果，
则后两次的得分不小于 2、不大于 4 的概率为 = ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗
漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．
22.（2018•湖北黄冈•8 分）央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注。我市某校就
“中华文化我传承——地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查，对收集的信息进行统
计，绘制了下面两副尚不完整的统计图。请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：
图中 A 表示“很喜欢”，B 表示“喜欢”，C 表示“一般”，D 表示“不喜欢”。39
（1）被调查的总人数是_____________人，扇形统计图中 C 部分所对应的扇形圆心角的度数
为_______.
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生 1800 人，请根据上述调查结果，估计该校学生中 A 类有__________人；
（4）在抽取的 A 类 5 人中，刚好有 3 个女生 2 个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，
用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率。
【考点】统计，列表法与树状图法求概率.
【分析】（1）根据参加调查的人中，“很喜欢”的占 10%，人数是 5 人，据此即可求；
C 有 30 人，是 A 的 6 倍，可知“一般”的占 60%，利用 360°乘以对应的比例即可求.
（2）B 的人数为：50-5-30-5=10（人），补充在图中即可。
（3）将该校共有学生 1800 人，乘以 10%，就可得出该校学生中 A 类的人数；
（4）用列表法与树状图法可求。
【解答】解：（1）被调查的总人数是：5÷10%=50（人）.
C 部分所对应的扇形圆心角的度数为: 360× =216°.
（2）如图。
50
3040
（3）1800×10%=180（人）；
（4）
由树形图可得出：共有 20 种情况，两个学生性别相同的情况数有 8 种，
开始
女 女 女 男 男
女 女 男 男女 女 男 男 女 女 男 男 女 女 女 男 女 女 女 男
所以两个学生性别相同的概率为 = .
答案为：（1）50；216°；（2）如图；（3）180；（4）如上图， （或 0.4 或 40%）（注：
过程分析 2 分，正确结果 2 分）
【点评】本题考查了利用统计图获取信息的能力，涉及用样本估计总体、扇形统计图、列表
法与树状图法等。利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正
确的判断和解决问题。
20
8
5
2
5
241
23．（2018•湖北恩施•8 分）为了解某校九年级男生 1000 米跑的水平，从中随机抽取部分男
生进行测试，并把测试成绩分为 D、C、B、A 四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，
请你依图解答下列问题：
（1）a= 2 ，b= 45 ，c= 20 ；
（2）扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数为 72 度；
（3）学校决定从 A 等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生 1000
米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．
【分析】（1）根据 A 等次人数及其百分比求得总人数，总人数乘以 D 等次百分比可得 a 的值，
再用 B、C 等次人数除以总人数可得 b、c 的值；
（2）用 360°乘以 C 等次百分比可得；
（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为 12÷30%=40 人，
∴a=40×5%=2，b= ×100=45，c= ×100=20，
故答案为：2、45、20；
（2）扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数为 360°×20%=72°，
故答案为：72；
（3）画树状图，如图所示：
共有 12 个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有 2 个，
故 P（选中的两名同学恰好是甲、乙）= = ．
【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练
掌握．42
24（2018•湖北荆门•10 分）文化是一个国家、一个民族的灵魂，近年来，央视推出《中国
诗词大会》、《中国成语大会》、《朗读者》、《经曲咏流传》等一系列文化栏目．为了解学生对
这些栏目的喜爱情况，某学校组织学生会成员随机抽取了部分学生进行调查，被调查的学生
必须从《经曲咏流传》（记为 A）、《中国诗词大会》（记为 B）、《中国成语大会》（记为 C）、
《朗读者》（记为 D）中选择自己最喜爱的一个栏目，也可以写出一个自己喜爱的其他文化
栏目（记为 E）．根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？
（2）将条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数；
（3）若选择“E”的学生中有 2 名女生，其余为男生，现从选择“E”的学生中随机选出两
名学生参加座谈，请用列表法或画树状图的方法求出刚好选到同性别学生的概率．
【分析】（1）由 A 栏目人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以 D 栏目所占百分比求得其人数，再用总人数减去其他栏目人数求得 B 的人
数即可补全图形，用 360°乘以 B 人数所占比例可得；
（3）列表得出所有等可能结果，然后利用概率的计算公式即可求解
【解答】解：（1）30÷20%=150（人），
∴共调查了 150 名学生．
（2）D：50%×150=75（人），B：150﹣30﹣75﹣24﹣6=15（人）
补全条形图如图所示．43
扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为 ．
（3）记选择“E”的同学中的 2 名女生分别为 N1，N2，4 名男生分别为 M1，M2，M3，M4，
列表如下：
N1 N2 M1 M2 M3 M4
N1 （N1，N2） （N1，M1） （N1，M2） （N1，M3） （N1，M4）
N2 （N2，N1） （N2，M1） （N2，M2） （N2，M3） （N2，M4）
M1 （M1，N1） （M1，N2） （M1，M2） （M1，M3） （M1，M4）
M2 （M2，N1） （M2，N2） （M2，M1） （M2，M3） （M2，M4）
M3 （M3，N1） （M3，N2） （M3，M1） （M3，M2） （M3，M4）
M4 （M4，N1） （M4，N2） （M4，M1） （M4，M2） （M4，M3）
∵共有 30 种等可能的结果，其中，恰好是同性别学生（记为事件 F）的有 14 种情况，
∴ ．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力以及求随机事件
的概率；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断
和解决问题．
25（2018·浙江临安·7 分）不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外
其余都相同），其中白球有 2 个，黄球有 1 个，现从中任意摸出一个是白球的概率为 ．
（1）试求袋中蓝球的个数；
（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格法，求两
次摸到都是白球的概率．
【考点】用列表法或画树状图法求概率
【分析】（1）首先设袋中蓝球的个数为 x 个，由从中任意摸出一个是白球的概率为 ，利用
概率公式即可得方程： = ，解此方程即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都是摸到白球
的情况，再利用概率公式求解即可求得答案
【解答】解：（1）设袋中蓝球的个数为 x 个，44
∵从中任意摸出一个是白球的概率为 ，
∴ = ，
解得：x=1，
∴袋中蓝球的个数为 1；
（2）画树状图得：
∵共有 12 种等可能的结果，两次都是摸到白球的有 2 种情况，
∴两次都是摸到白球的概率为： = ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复
不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以
上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
26.（2018·重庆(A)·8 分）某初中学校举行毛笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行
了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列 问题：
（1）请将条形统计图补全；
（2）获得一等奖的同学中有 来自七年级，有 来自八年级，其他同学均来自九年级，现
准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内毛笔书法大赛，请通过列表或画树状图求
所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率.
1
4
1
445
【考点】统计与概率
【解析】（1） （人）
获一等奖人数： （人）
（2）七年级获一等奖人数： （人）
八年级获一等奖人数： （人）
∴ 九年级获一等奖人数： （人）
七年级获一等奖的同学人数用 M 表示，八年级获一等奖的同学人数用 N 表示，
九年级获一等奖的同学人数用 P1 、P2 表示，树状图如下：
共有 12 种等可能结果，其中获得一等奖的既有七年级又有九年级人数的结果有 4 种，
则所选出的两人中既有七年级又有九 年级同学的概率 P=
.
【点评】此 题考查了统计与概率综合，理解扇形统计图与条形统计图的意义及列表法或树
状图法是解题关键，难度中等.
27．（2018 年四川省南充市）“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”．为了选拔“阳光大
课间”领操员，学校组织初中三个年级推选出来的 15 名领操员进行比赛，成绩如下表：
成绩/分 7 8 9 10
人数/人 2 5 4 4
（1）这组数据的众数是 2018 年四川省南充市 ，中位数是 2018 年四川省南充市 ．
10 25% 40÷ =
40 8 6 12 10 4− − − − =
14 14
× =
14 14
× =
4 1 1 2− − =
4 1
12 3
=46
（2）已知获得 2018 年四川省南充市的选手中，七、八、九年级分别有 1 人、2 人、1 人，
学校准备从中随机抽取两人领操，求恰好抽到八年级两名领操员的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；W4：中位数；W5：众数．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解可得；
（2）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
【解答】解：（1）由于 2018 年四川省南充市出现次数最多，
所以众数为 2018 年四川省南充市，
中位数为第 8 个数，即中位数为 2018 年四川省南充市，
故答案为：2018 年四川省南充市、2018 年四川省南充市；
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有 12 种等可能结果，其中恰好抽到八年级两名领操员的有 2 种结果，
所以恰好抽到八年级两名领操员的概率为 = ．
【点评】本题主要考查众数、中位数及列表法与树状图法，解题的关键是掌握众数和中位数
的定义，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但
当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形
图．
28.(2018 四川省绵阳市)绵阳某公司销售统计了每个销售员在某月的销售额，绘制了如下折
线统计图和扇形统计图：
设销售员的月销售额为 x（单位：万元）。销售部规定：当 x
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