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三角形的边与角(命题的有关知识)
一、选择题
1．．（2018•山东枣庄•3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为 D，AF 平
分∠CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F．若 AC=3，AB=5，则 CE 的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分
线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出 EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出
答案．
【解答】解：过点 F 作 FG⊥AB 于点 G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF 平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF，
∵AF 平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，
∴FC=FG，
∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，
∴△BFG∽△BAC，
∴ = ，
∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，
∴BC=4，
∴ = ，
∵FC=FG，
∴ = ，2
解得：FC= ，
即 CE 的长为 ．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及
相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．
2．（2018•山东淄博•4 分）如图，在 Rt△ABC 中，CM 平分∠ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作 MN∥
BC 交 AC 于点 N，且 MN 平分∠AMC，若 AN=1，则 BC 的长为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
【考点】KO：含 30 度角的直角三角形；JA：平行线的性质；KJ：等腰三角形的判定与性
质．
【分析】根据题意，可以求得∠B 的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得 NC 的长，
从而可以求得 BC 的长．
【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，CM 平分∠ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作 MN∥BC 交 AC 于点 N，
且 MN 平分∠AMC，
∴∠AMB=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，
∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°，
∵AN=1，
∴MN=2，
∴AC=AN+NC=3，
∴BC=6，
故选：B．
【点评】本题考查 30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答3
本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
3. （2018•江苏扬州•3 分）在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，CE 平分∠ACD 交 AB
于 E，则下列结论一定成立的是（ ）
A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC
【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE=∠DCE，
再结合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE 即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边即可
得出 BC=BE，此题得解．
【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A．
∵CE 平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE．
又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BC=BE．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、余角、角平分线的定义以及等
腰三角形的判定，通过角的计算找出∠BEC=∠BCE 是解题的关键．
4. （2018•山东滨州•3 分）下列命题，其中是真命题的为（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答
案．
【解答】解：A、例如等腰梯形，故本选项错误；
B、根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，故本选项错误；
C、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故本选项错误；4
D、一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定与命题的真假区别．正确的命题叫真命题，错误的
命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中．
5（2018·湖南省常德·3 分）已知三角形两边的长分别是 3 和 7，则此三角形第三边的长可
能是（ ）
A．1 B．2 C．8 D．11
【分析】根据三角形的三边关系可得 7﹣3＜x＜7+3，再解即可．
【解答】解：设三角形第三边的长为 x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，
4＜x＜10，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角
形的两边差小于第三边．
6．（2018·湖南省衡阳·3 分）下列命题是假命题的是（ ）
A．正五边形的内角和为 540°
B．矩形的对角线相等
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．圆内接四边形的对角互补
【解答】解：正五边形的内角和=（5﹣2）×180°=540°，A 是真命题；
矩形的对角线相等，B 是真命题；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C 是假命题；
圆内接四边形的对角互补，D 是真命题；
故选：C．
7（2018·山东泰安·3 分）如图，将一张含有 30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形
的两条对边上，若∠2=44°，则∠1 的大小为（ ）
A．14° B．16° C．90°﹣α D．α﹣44°
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠2=∠3=44°，再根据三角形外角性质，可得
∠3=∠1+30°，进而得出∠1=44°﹣30°=14°．5
【解答】解：如图，∵矩形的对边平行，
∴∠2=∠3=44°，
根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，
∴∠1=44°﹣30°=14°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平
行，同位角相等．
8. （2018 年江苏省宿迁）如图，点 D 在△ABC 的边 AB 的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°,∠
C＝24°,则∠D 的度数是（ ）。
A. 24° B. 59° C. 60° D. 69°
【答案】B
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠A=35°，∠C=24°，∴∠DBC=∠A+∠C=35°+24°=59°，
又∵DE∥BC，
∴∠D=∠DBC=59°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形外角性质得∠DBC=∠A+∠C，再由平行线性质得∠D=∠DBC.
9（2018•株洲市•3 分）如图，直线 被直线 所截，且 ，过 上的点 A 作 AB⊥ 交 于
点 B，其中∠1＜30°，则下列一定正确的是( )6
A. ∠2＞120° B. ∠3＜60° C. ∠4－∠3＞90° D. 2∠3＞∠4
【答案】D
【解析】分析：根据三角形内角和定理求出∠ACB，再根据平行线的性质逐个判断即可．
详解：∵AB⊥l3，
∴∠ABC=90°，
∵∠1＜30°
∴∠ACB=90°-∠1＞60°，
∴∠2＜120°，
∵直线 l1∥l2，
∴∠3=∠ABC＞60°，
∴∠4-∠3=180°-∠3-∠3=180°-2∠3＜60°，
2∠3＞∠4，
故选：D．
点睛：本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，能求出各个角的度数是解此题的关
键．
10. （2018•湖南省永州市•4 分）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．任意多边形的内角和为 360°
D．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
【分析】根据矩形的判定方法对 A 进行判断；根据菱形的判定方法对 B 进行判断；根据多边
形的内角和对 C 进行判断；根据三角形中位线性质对 D 进行判断．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以 A 选项为假命题；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以 B 选项为假命题；
C、任意多边形的外角和为 360°，所以 C 选项为假命题；
D、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以 D 选项为真命题．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和
结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如
果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
11 （2018 年江苏省宿迁）若实数 m、n 满足 ，且 m、n 恰好是等腰△ABC
的两条边的边长，则△ABC 的周长是 （ ）。
A. 12
B. 10 7
C. 8 D. 6
【答案】B
【考点】等腰三角形的性质，非负数之和为 0
【解析】【解答】解：依题可得： ，∴ .
又∵m、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，
①若腰为 2，底为 4，
此时不能构成三角形，舍去.
②若腰为 4，底为 2，
∴C△ABC=4+4+2=10.
故答案为：B.
【分析】根据绝对值和二次根式的非负性得 m、n 的值，再分情况讨论：①若腰为 2，底为
4，由三角形两边之和大于第三边，舍去；②若腰为 4，底为 2，再由三角形周长公式计算即
可.
12．（2018·新疆生产建设兵团·5 分）如图，AB∥CD，点 E 在线段 BC 上，CD=CE．若
∠ABC=30°，则∠D 为（ ）
A．85° B．75° C．60° D．30°
【分析】先由 AB∥CD，得∠C=∠ABC=30°，CD=CE，得∠D=∠CED，再根据三角形内角和定
理得，∠C+∠D+∠CED=180°，即 30°+2∠D=180°，从而求出∠D．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C=∠ABC=30°，
又∵CD=CE，
∴∠D=∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED=180°，即 30°+2∠D=180°，
∴∠D=75°．
故选：B．
【点评】此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性
质求出∠C，再由 CD=CE 得出∠D=∠CED，由三角形内角和定理求出∠D．
13. （2018·四川宜宾·3 分）如图，将△ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到△A'B'C'的位置，8
已知△ABC 的面积为 9，阴影部分三角形的面积为 4．若 AA'=1，则 A'D 等于（ ）
A．2 B．3 C． D．
【考点】Q2：平移的性质．
【分析】由 S △ABC=9、S △A′EF=4 且 AD 为 BC 边的中线知 S△A′DE= S△A′EF=2，S △ABD= S△
ABC= ，根据△DA′E∽△DAB 知（ ）2= ，据此求解可得．
【解答】解：如图，
∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且 AD 为 BC 边的中线，
∴S△A′DE= S△A′EF=2，S△ABD= S△ABC= ，
∵将△ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移得到△A'B'C'，
∴A′E∥AB，
∴△DA′E∽△DAB，
则（ ）2= ，即（ ）2= ，
解得 A′D=2 或 A′D=﹣ （舍），
故选：A．
【点评】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、
相似三角形的判定与性质等知识点．9
14 （2018·台湾·分）如图，△ABC 中，D 为 BC 的中点，以 D 为圆心，BD 长为半径画一弧
交 AC 于 E 点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形 BDE 的面积为何？（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题；
【解答】解：∵∠A=60°，∠B=100°，
∴∠C=180°﹣60°﹣100°=20°，
∵DE=DC，
∴∠C=∠DEC=20°，
∴∠BDE=∠C+∠DEC=40°，
∴S 扇形 DBE= = π．
故选：C．
【点评】本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面
积公式：S= ．
15. （2018·台湾·分）如图，I 点为△ABC 的内心，D 点在 BC 上，且 ID⊥BC，若∠
B=44°，∠C=56°，则∠AID 的度数为何？（ ）
A．174 B．176 C．178 D．180
【分析】连接 CI，利用三角形内角和定理可求出∠BAC 的度数，由 I 点为△ABC 的内心，可
得出∠CAI、∠ACI、∠DCI 的度数，利用三角形内角和定理可得出∠AIC、∠CID 的度数，再
由∠AID=∠AIC+∠CID 即可求出∠AID 的度数．
【解答】解：连接 CI，如图所示．
在△ABC 中，∠B=44°，∠ACB=56°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°．
∵I 点为△ABC 的内心，10
∴∠CAI= ∠BAC=40°，∠ACI=∠DCI= ∠ACB=28°，
∴∠AIC=180°﹣∠CAI﹣∠ACI=112°，
又 ID⊥BC，
∴∠CID=90°﹣∠DCI=62°，
∴∠AID=∠AIC+∠CID=112°+62°=174°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内心、三角形内角和定理以及角平分线的性质，根据三角形内
心的性质结合三角形内角和定理求出∠AIC、∠CID 的度数是解题的关键．
16.（2018•湖北黄冈•3 分）如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，且分别交 BC，AC
于点 D 和 E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD 为
A.50° B.70° C.75° D.80°
（第 4 题图）
【考点】垂直平分线的性质，三角形的内角和定理。
【分析】由三角形的内角和定理，得∠BAC 的度数，又由垂直平分线的性质，知∠C＝∠DAC=25
°，从而得出∠BAD 的度数。
【解答】解：由三角形的内角和定理，得∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-25°=95°。
又由垂直平分线的性质，知∠C＝∠DAC=25°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+∠C=∠BAD+25°=9
∴∠BAD=95°-25°=70°.
故选 B.11
【点评】本题考查了垂直平分线的性质，三角形的内角和定理。熟练掌握性质和定理是解题
的关键。
17．（2018•湖北黄石•3 分）如图，△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE、BF 分别是∠BAC、∠ABC
的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【分析】依据 AD 是 BC 边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE
平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC 中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠
EAD+∠ACD=75°．
【解答】解：∵AD 是 BC 边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE 平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC 中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为 180°．解决问题的关键是三角形
外角性质以及角平分线的定义的运用．
18．（2018·浙江宁波·4 分）如图，在▱ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 是边 CD 的
中点，连结 OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1 的度数为（ ）12
A．50° B．40° C．30° D．20°
三角形内角和定理、三角形中位线定理
【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA 的度数，再利用三角形中位线定理结合平行
线的性质得出答案．
【解答】解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，
∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°，
∵对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 是边 CD 的中点，
∴EO 是△DBC 的中位线，
∴EO∥BC，
∴∠1=∠ACB=40°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出 EO 是△DBC
的中位线是解题关键．
19. （2018•河北•3 分）下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
20. （2018•河北•2 分）如图 9，点 为 的内心， ， ， ，将
平移使其顶点与 重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A.4.5 B.4 C.3 D.2
I ABC 4AB = 3AC = 2BC =
ACB∠ I13
21．（2018 年四川省南充市）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F 分别
为 AB，AC，AD 的中点，若 BC=2，则 EF 的长度为（ ）
A． B．1 C． D．
【考点】KX：三角形中位线定理；KO：含 30 度角的直角三角形；KP：直角三角形斜边上的
中线．
【分析】根据直角三角形的性质得到 CD=BD=AD，得到△CBD 为等边三角形，根据三角形的中
位线定理计算即可．
【解答】解：∵∠ACB=90°，D 为 AB 的中点，
∴CD=BD=AD，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△CBD 为等边三角形，
∴CD=BC=2，
∵E，F 分别为 AC，AD 的中点，
∴EF= CD=1，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中
位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．14
22. (2018 四川省眉山市 2 分 ) 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含 30°角的三
角板的一条直角边和含 45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α 的度数是
（ ）。
A.45°
B.60°
C.75°
D.85°
【答案】C
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠A=45°,∠D=30°,∠ACB=90°,
∴∠ABC=∠DBE=45°,
∴∠α=∠D+∠DBE=30°+45°=75°,
故答案为:C.
【分析】根据三角形内角和得∠ABC=45°，由对顶角相等得∠DBE=45°，再根据三角形的一
个外角等于与它不相邻的两个内角和，由此即可得出答案.
二.填空题
1（2018 年四川省南充市）如图，在△ABC 中，AF 平分∠BAC，AC 的垂直平分线交 BC 于点
E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C= 24 度．15
【考点】KG：线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 EA=EC，得到∠EAC=∠C，根据角平分线的定义、
三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵DE 是 AC 的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C，
∴∠FAC=∠EAC+19°，
∵AF 平分∠BAC，
∴∠FAB=∠EAC+19°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，[
∴70°+2（∠C+19°）+∠C=180°，
解得，∠C=24°，
故答案为：24．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分
线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
2 （2018 年江苏省泰州市•3 分）已知三角形两边的长分别为 1、5，第三边长为整数，则第
三边的长为 5 ．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得
第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边＞4，而＜6．
又第三条边长为整数，
则第三边是 5．
【点评】此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件．
3. （2018•甘肃白银，定西，武威•3 分） 已知 ， ， 是 的三边长， ， 满足
， 为奇数，则 __________．
【答案】716
【解析】【分析】根据非负数的性质直接求出 ， ，根据三角形的三边关系可直接求出边长
【解答】 ， 满足 ，
根据三角形的三边关系，得
即：
为奇数，则 7.
故答案为：7.
【点评】考查非负数的性质以及三角形的三边关系，三角形任意两边之和大于第三边.
4. （2018•山东滨州•5 分）在△ABC 中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C= 100° ．
【分析】直接利用三角形内角和定理进而得出答案．
【解答】解：∵在△ABC 中，∠A=30°，∠B=50°，
∴∠C=180°﹣30°﹣50°=100°．
故答案为：100°
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确把握定义是解题关键．
5. （2018•山西•3 分）如图， 直线 MN∥PQ， 直线 AB 分 别 与 MN， PQ 相 交 于 点 A，
B.小 宇 同 学 利 用 尺 规按以 下 步 骤作 图：① 以 点 A 为圆心，以任意长为半径作弧交
AN 于 点 C， 交 AB 于 点 D； ② 分 别 以 C，D 为圆心，
以 大 于 CD 长为半径作弧，两弧在∠ NAB 内交于点 E；③作射线 AE 交 PQ 于点 F.若
AB=2，∠ ABP=60 0 ，
则 线 段 AF 的 长 为______.
【 答 案 】 2
【 考 点 】角平分线尺规作图，平行线性质，等腰三角形三线合一
【 解 析 】过 点 B 作 BG⊥ AF 交 AF 于 点 G
由 尺 规 作 图 可 知 ，AF 平 分 ∠ NAB
1
2
317
∴ ∠ NAF=∠ BAF
∵ MN∥ PQ
∴ ∠ NAF=∠ BFA
∴ ∠ BAF=∠ BFA
∴ BA=BF=2
∵ BG⊥ AF
∴ AG=FG
∵ ∠ ABP=600
∴ ∠ BAF=∠ BFA=30 0
Rt△ BFG 中 ，FG = BF ⋅ c o s∠BFA = 2× =
∴ AF = 2FG = 2
6 （2018•山东枣庄•4 分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给
出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，
则该三角形的面积为 S= ．现已知△ABC 的三边长分别为 1，
2， ，则△ABC 的面积为 1 ．
【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC 的三边长分别为 1，2， 的面积，从而可
以解答本题．
【解答】解：∵S= ，
3
2 3
318
∴△ABC 的三边长分别为 1，2， ，则△ABC 的面积为：
S= =1，
故答案为：1．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解
答．
4.
三.解答题
(要求同上一)
1．（2018•山东淄博•5 分）已知：如图，△ABC 是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠
C=180°．
【考点】K7：三角形内角和定理．
【分析】过点 A 作 EF∥BC，利用 EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠
BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．
【解答】证明：过点 A 作 EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°，
即∠A+∠B+∠C=180°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角转化到一个
平角上是解题的关键．19
2. （2018 年湖北省宜昌市 7 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC 的
外角∠CBD 的平分线 BE 交 AC 的延长线于点 E．
（1）求∠CBE 的度数；
（2）过点 D 作 DF∥BE，交 AC 的延长线于点 F，求∠F 的度数．
【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出
∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE= ∠CBD=65°；
（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出
∠F=∠CEB=25°．
【解答】解：（1）∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．∵BE 是∠CBD 的平分线，∴∠CBE= ∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，
角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
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