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图形的展开与叠折
一、选择题
1． （2018•四川凉州•3 分）一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“建”
字对面是（ ）
A．和 B．谐 C．凉 D．山
【分析】本题考查了正方体的平面展开图，对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一
个小正方形，据此作答．
【解答】解：对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，与
“建”字相对的字是“山”．
故选：D．
【点评】注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
2． （2018·天津·3 分） 如图，将一个三角形纸片 沿过点 的直线折叠，使点 落在
边上的点 处，折痕为 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】分析：由折叠的性质知，BC=BE．易得 .
详解：由折叠的性质知，BC=BE．
∴ .．
故选：D．
点睛：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，
折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3（2018·新疆生产建设兵团·5 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿
AE 对折，使得点 B 落在边 AD 上的点 B1 处，折痕与边 BC 交于点 E，则 CE 的长为（ ）2
A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
【分析】根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，然后求出四边形 ABEB1 是正方形，
再根据正方形的性质可得 BE=AB，然后根据 CE=BC﹣BE，代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵沿 AE 对折点 B 落在边 AD 上的点 B1 处，
∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，
又∵∠BAD=90°，
∴四边形 ABEB1 是正方形，
∴BE=AB=6cm，
∴CE=BC﹣BE=8﹣6=2cm．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形
ABEB1 是正方形是解题的关键．
4 （2018·台湾·分）如图为一直棱柱，其底面是三边长为 5、12、13 的直角三角形．若下
列选项中的图形均由三个矩形与两个直角三角形组合而成，且其中一个为如图的直棱柱的展
开图，则根据图形中标示的边长与直角记号判断，此展开图为何？（ ）
A． B．
C． D．
【分析】三棱柱的侧面展开图是长方形，底面是三角形，据此进行判断即可．
【解答】解：A 选项中，展开图下方的直角三角形的斜边长为 12，不合题意；3
B 选项中，展开图上下两个直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；
C 选项中，展开图下方的直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；
D 选项中，展开图能折叠成一个三棱柱，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展
开图，通过结 合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关 键．
5.（2018•河南•3 分）某正方体的每个面上那有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在
原正方体中,与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A.厉 B.害 C.了 D.我
6．（2018·浙江衢州·3 分）如图，将矩形 ABCD 沿 GH 折叠，点 C 落在点 Q 处，点 D 落在 AB
边上的点 E 处，若∠AGE=32°，则∠GHC 等于（ ）
A．112° B．110° C．108° D．106°
【考点】平行线的性质
【分析】由折叠可得：∠DGH= ∠DGE=74°，再根据 AD∥BC，即可得到∠GHC=180°﹣∠
DGH=106°．
【解答】解：∵∠AGE=32°，∴∠DGE=148°，由折叠可得：∠DGH= ∠DGE=74°．
∵AD∥BC，∴∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．
故选 D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．4
7. （2018·浙江舟山·3 分）将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③
中 平 行 于 底 边 的 虚 线 剪 去 一 个 角 ， 展 开 铺 平 后 的 图 形 是 （ ）
A. B.
C. D.
【考点】剪纸问题
【解析】【解答】解：沿虚线剪开以后，剩下的图形先向右上方展开，缺失的部分是一个等
腰直角三角形，用直角边与正方形的边是分别平行的，再沿着对角线展开，得到图形 A。
故答案为 A。
【分析】根据对称的性质，用倒推法去展开这个折纸。
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形、直角三角形的判定和考生的空间想象能力.
8．（2018 年四川省内江市）如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（ ）
A．认 B．真 C．复 D．习
【考点】I8：专题：正方体相对两个面上的文字．
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．对于正方体的平面展开图中相对的面一
定相隔一个小正方形．
【解答】解：由图形可知，与“前”字相对的字是“真”．
故选：B．
【点评】本题考查了正方体的平面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及
解答问题．5
二.填空题
1.（2018·浙江临安·3 分）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用 5 个大小一
样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中
的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子
（ 添 加 所 有 符 合 要 求 的 正 方 形 ， 添 加 的 正 方 形 用 阴 影 表 示 ）
．
【考点】侧面展开图
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【解答】解： ，
故答案为： ．
【点评】本题通过考查正方体的侧面展开图，展示了这样一个教学导向，教学中要让学生确
实经历活动过程，而不要将活动层次停留于记忆水平．我们有些老师在教学“展开与折叠”
时，不是去引导学生动手操作，而是给出几种结论，这样教出的学生肯定遇到动手操作题型
时就束手无策了．
2.（2018·四川宜宾·3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，CB=2，点 E 为线段 AB 上的动点，
将△CBE 沿 CE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，下列结论正确的是 ①②③ （写出所有
正确结论的序号）
①当 E 为线段 AB 中点时，AF∥CE；6
②当 E 为线段 AB 中点时，AF= ；
③当 A、F、C 三点共线时，AE= ；
④当 A、F、C 三点共线时，△CEF≌△AEF．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质．
【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：如图 1 中，当 AE=EB 时，
∵AE=EB=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，
∴∠BEC=∠EAF，
∴AF∥EC，故①正确，
作 EM⊥AF，则 AM=FM，
在 Rt△ECB 中，EC= = ，
∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB，
∴△CEB∽△EAM，
∴ = ，
∴ = ，
∴AM= ，7
∴AF=2AM= ，故②正确，
如图 2 中，当 A、F、C 共线时，设 AE=x．
则 EB=EF=3﹣x，AF= ﹣2，
在 Rt△AEF 中，∵AE2=AF2+EF2，
∴x2=（ ﹣2）2+（3﹣x）2，
∴x= ，
∴AE= ，故③正确，
如果，△CEF≌△AEF，则∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④错误，
故答案为①②③．
【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判
定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴
题．
3. （2018·四川自贡·4 分）如图，在△ABC 中，AC=BC=2，AB=1，将它沿 AB 翻折得到△
ABD，则四边形 ADBC 的形状是 菱 形，点 P、E、F 分别为线段 AB、AD、DB 的任意点，则
PE+PF 的最小值是 ．
【分析】根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出 F 关于 AB 的对称点 M，再过 M 作 ME⊥AD，
交 ABA 于点 P，此时 PE+PF 最小，求出 ME 即可．8
【解答】解：∵△ABC 沿 AB 翻折得到△ABD，
∴AC=AD，BC=BD，
∵AC=BC，
∴AC=AD=BC=BD，
∴四边形 ADBC 是菱形，
故答案为菱；
如图
作出 F 关于 AB 的对称点 M，再过 M 作 ME⊥AD，交 ABA 于点 P，此时 PE+PF 最小，此时 PE+PF=ME，
过点 A 作 AN⊥BC，
∵AD∥BC，
∴ME=AN，
作 CH⊥AB，
∵AC=BC，
∴AH= ，
由勾股定理可得，CH= ，
∵ ，
可得，AN= ，
∴ME=AN= ，
∴PE+PF 最小为 ，
故答案为 ．
【点评】此题主要考查路径和最短问题，会结合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本事实9
分析出最短路径是解题的关键．
4.（2018·台湾·分）如图 1 的矩形 ABCD 中，有一点 E 在 AD 上， 今以 BE 为折线将 A 点往
右折，如图 2 所示，再作过 A 点且与 CD 垂直的直线，交 CD 于 F 点，如图 3 所示，若
AB=6 ，BC=13，∠BEA=60°，则图 3 中 AF 的长度为何？（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
【分析】作 AH⊥BC 于 H．则四边形 AFCH 是矩形，AF=CH，AH=CF=3 ．在 Rt△ABH 中，解
直角三角形即可解决问题；
【解答】解：作 AH⊥BC 于 H．则四边形 AFCH 是矩形，AF=CH，AH=CF=3 ．
在 Rt△AHB 中，∠ABH=30°，
∴BH=AB•cos30°=9，
∴CH=BC﹣BH=13﹣9=4，
∴AF=CH=4，
故选：B．
【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是
学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
三.解答题
(要求同上一)
1. ．（2018•四川凉州•7 分）观察下列多面体，并把如表补充完整．
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
图形
顶点数 a 6 10 1210
棱数 b 9 12
面数 c 5 8
观察表中的结果，你能发现 a、b、c 之间有什么关系吗？请写出关系式．
【分析】结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与几棱
柱的关系，可知 n 棱柱一定有（n+2）个面，2n 个顶点和 3n 条棱，进而得出答案，
利用前面的规律得出 a，b，c 之间的关系．
【解答】解：填表如下：
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
图形
顶点数 a 6 8 10 12
棱数 b 9 12 15 18
面数 c 5 6 7 8
根据上表中的规律判断，若一个棱柱的底面多边形的边数为 n，则它有 n 个侧面，共有 n+2
个面，共有 2n 个顶点，共有 3n 条棱；
故 a，b，c 之间的关系：a+c﹣b=2．
【点评】此题主要考查了欧拉公式，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n 棱柱有
（n+2）个面，2n 个顶点和 3n 条棱是解题关键．
2.
1.（2018·广东深圳·9 分）已知顶点为 抛物线 经过点 ，点
.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 1，直线 AB 与 x 轴相交于点 M,y 轴相交于点 E，抛物线与 y 轴相交于点 F，在直11
线 AB 上有一点 P，若∠OPM=∠MAF,求△POE 的面积；
（3）如图 2，点 Q 是折线 A-B-C 上一点，过点 Q 作 QN∥y 轴，过点 E 作 EN∥x 轴，直线 QN
与直线 EN 相交于点 N，连接 QE，将△QEN 沿 QE 翻折得到△QEN1 ， 若点 N1 落在 x 轴上，
请直接写出 Q 点的坐标.
【答案】（1）解：把点 代入 ，解得：a=1,
∴抛物线的解析式为： 或 .
（2）解：设直线 AB 解析式为：y=kx+b,代入点 A、B 的坐标得： ，
解得： ，
∴直线 AB 的解析式为：y=-2x-1,
∴E（0，-1），F（0，- ），M（- ，0），
∴OE=1，FE= ,
∵∠OPM=∠MAF,
∴当 OP∥AF 时，△OPE∽△FAE，12
∴
∴OP= FA= ,
设点 P（t,-2t-1）,
∴OP= ,
化简得：（15t+2）（3t+2）=0,
解得 ， ，
∴S△OPE= ·OE· ,
当 t=- 时 ，S△OPE= ×1× = ，
当 t=- 时 ，S△OPE= ×1× = ，
综上，△POE 的面积为 或 .
（3）Q（- ， ）.
【考点】二次函数的应用，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（3）解：由（2）知直线 AB 的解析式为：y=-2x-1,E（0，-1），设 Q（m，
-2m-1）,N1（n，0），
∴N（m,-1）,
∵△QEN 沿 QE 翻折得到△QEN1
∴NN1 中点坐标为（ ， ），EN=EN1 ，
∴NN1 中点一定在直线 AB 上，
即 =-2× -1,
∴n=- -m,
∴N1（- -m，0），
∵EN2=EN12 ，
∴m2=（- -m）2+1，
解得：m=- ,
∴Q（- ， ）.13
【分析】（1）用待定系数法将点 B 点坐标代入二次函数解析式即可得出 a 值.
（2）设直线 AB 解析式为：y=kx+b,代入点 A、B 的坐标得一个关于 k 和 b 的二元一次方程组，
解之即可得直线 AB 解析式，根据题意得 E（0，-1），F（0，- ），M（- ，0），根据相似
三角形的判定和性质得 OP= FA= ,设点 P（t,-2t-1）,根
据两点间的距离公式即可求得 t 值，再由三角形面积公式△POE 的面积.
（3）由（2）知直线 AB 的解析式为：y=-2x-1,E（0，-1），设 Q（m，-2m-1）,N1（n，0），
从而得 N（m,-1）,根据翻折的性质知 NN1 中点坐标为（ ， ）且在直线 AB 上，将
此中点坐标代入直线 AB 解析式可得 n=- -m,即 N1（- -m，0），再根据翻折的性质和两点
间的距离公式得 m2=（- -m）2+1，解之即可得 Q 点坐标.
2.（2018·广东·7 分）如图，矩形 ABCD 中，AB＞AD，把矩形沿对角线 AC 所在直线折叠，
使点 B 落在点 E 处，AE 交 CD 于点 F，连接 DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：△DEF 是等腰三角形．
【分析】（1）根据矩形的性质可得出 AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出 AD=CE、AE=CD，
进而即可证出△ADE≌△CED（SSS）；
（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出 EF=DF，由此即可
证出△DEF 是等腰三角形．
【解答】证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD=BC，AB=CD．
由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，
∴AD=CE，AE=CD．
在△ADE 和△CED 中， ，
∴△ADE≌△CED（SSS）．
（2）由（1）得△ADE≌△CED，14
∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，
∴EF=DF，
∴△DEF 是等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：
（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出 AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找
出∠DEF=∠EDF．
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