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弧长与扇形面积
一、选择题
1． （2018•山西•3 分）如 图 ， 正 方 形 ABCD 内接于⊙ O，⊙ O 的半径为 2， 以 点 A
为圆心，以 AC 为半径画弧交 AB 的
延 长 线 于 点 E， 交 AD 的 延 长 线 于 点 F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A.4π -4 B. 4π -8 C. 8π -4 D. 8π -8
【 答 案 】A
【 考 点 】扇形面积，正方形性质
【 解 析 】∵ 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 ， ∴ ∠ BAD=90°，可知圆和正方形是中心
对称图形，
2． （2018•山东淄博•4 分）如图，⊙O 的直径 AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧 AC 的长为（ ）
A．2π B． C． D．
【考点】MN：弧长的计算；M5：圆周角定理．
【分析】先连接 CO，依据∠BAC=50°，AO=CO=3，即可得到∠AOC=80°，进而得出劣弧 AC
的长为 = ．2
【解答】解：如图，连接 CO，
∵∠BAC=50°，AO=CO=3，
∴∠ACO=50°，
∴∠AOC=80°，
∴劣弧 AC 的长为 = ，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，熟记弧长的公式是解题的关键．
3. （2018•四川成都•3 分）如图，在 中， ， 的半径为 3，则
图中阴影部分的面积是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【考点】平行四边形的性质，扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵平行四边形 ABCD∴AB∥DC
∴∠B+∠C=180°
∴∠C=180°-60°=120°3
∴阴影部分的面积=120 ×32÷360=3
故答案为：C
【分析】根据平行四边形的性质及平行线的性质，可求出∠C 的度数，再根据扇形的面积公
式求解即可。
4. （2018•山东滨州•3 分）已知半径为 5 的⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧
的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据圆周角定理和弧长公式解答即可．
【解答】解：如图：连接 AO，CO，
∵∠ABC=25°，
∴∠AOC=50°，
∴劣弧 的长= ，
故选：C．
【点评】此题考查三角形的外接圆与外心，关键是根据圆周角定理和弧长公式解答．
5.（2018·山东威海·3 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB=12，点 E 为 BC 的中点，以 CD 为
直径作半圆 CFD，点 F 为半圆的中点，连接 AF，EF，图中阴影部分的面积是（ ）
A．18+36π B．24+18π C．18+18π D．12+18π
【 分 析 】 作 FH ⊥ BC 于 H ， 连 接 FH ， 如 图 ， 根 据 正 方 形 的 性 质 和 切 线 的 性 质 得
BE=CE=CH=FH=6，则利用勾股定理可计算出 AE=6 ，通过 Rt△ABE≌△EHF 得∠AEF=90°，
然后利用图中阴影部分的面积=S 正方形 ABCD+S 半圆﹣S△ABE﹣S△AEF 进行计算．
【解答】解：作 FH⊥BC 于 H，连接 FH，如图，
∵点 E 为 BC 的中点，点 F 为半圆的中点，4
∴BE=CE=CH=FH=6，
AE= =6 ，
易得 Rt△ABE≌△EHF，
∴∠AEB=∠EFH，
而∠EFH+∠FEH=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°，
∴∠AEF=90°，
∴图中阴影部分的面积=S 正方形 ABCD+S 半圆﹣S△ABE﹣S△AEF
=12×12+ •π•62﹣ ×12×6﹣ •6 ×6
=18+18π．
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形和圆：利用面积的和差计算不规则图形的面积．
6. （2018·台湾·分）如图，△ABC 中，D 为 BC 的中点，以 D 为圆心，BD 长为半径画一弧
交 AC 于 E 点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形 BDE 的面积为何？（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题；
【解答】解：∵∠A=60°，∠B=100°，
∴∠C=180°﹣60°﹣100°=20°，
∵DE=DC，
∴∠C=∠DEC=20°，
∴∠BDE=∠C+∠DEC=40°，
∴S 扇形 DBE= = π．
故选：C．5
【点评】本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面
积公式：S= ．
7．（2018•湖北黄石•3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 为⊙O 上一点，且∠ABD=30°，
BO=4，则 的长为（ ）
A． B． C．2π D．
【分析】先计算圆心角为 120°，根据弧长公式= ，可得结果．
【解答】解：连接 OD，
∵∠ABD=30°，
∴∠AOD=2∠ABD=60°，
∴∠BOD=120°，
∴ 的长= = ，
故选：D．
【点评】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于基础题．
8．（2018·浙江宁波·4 分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点 B 为
圆心，BC 长为半径画弧，交边 AB 于点 D，则 的长为（ ）6
A． π B． π C． π D． π
【考点】弧长公式
【分析】先根据 ACB=90°，AB=4，∠A=30°，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得
到弧 CD 的长．
【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=4，∠A=30°，
∴∠B=60°，BC=2
∴ 的长为 = ，
故选：C．
【点评】本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形 30 度角的性质，解题时注意弧长公
式为：l= （弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 R）．
9. （2018·浙江衢州·3 分）如图，AB 是圆锥的母线，BC 为底面半径，已知 BC=6cm，圆锥
的侧面积为 15πcm2，则 sin∠ABC 的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】圆锥侧面积公式
【分析】先根据扇形的面积公式 S= L•R 求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为 R，由题意得
15π=π×3×R，解得 R=5，∴圆锥的高为 4，∴sin∠ABC= ．
故选 B．
【点评】本题考查了圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边
之比．
10.(2018 四川省绵阳市)如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底
面圆面积为 25πm2 ， 圆柱高为 3m，圆锥高为 2m 的蒙古包，则需要毛毡的面积是
（ ）7
A.
B.40πm2
C.
D.55πm2
【答案】A
【考点】圆锥的计算，圆柱的计算
【解析】【解答】解：设底面圆的半径为 r，圆锥母线长为 l，依题可得：
πr2=25π，
∴r=5，
∴圆锥的母线 l= = ，
∴圆锥侧面积 S = ·2πr·l=πrl=5 π（m2）,
圆柱的侧面积 S =2πr·h=2×π×5×3=30π（m2），
∴需要毛毡的面积=30π+5 π（m2），
故答案为：A.
【分析】根据圆的面积公式求出底面圆的半径，由勾股定理得圆锥母线长，再根据圆锥的侧
面展开图为扇形，圆柱的侧面展开图为矩形或者正方形，根据其公式分别求出它们的侧面积，
再求和即可得出答案.
二.填空题
1. （2018·重庆(A)·4 分）如图，在矩形 ABCD 中， ， ，以点 A 为圆心，AD
长为半径画弧，交 AB 于点 E，图中阴影部分的面积是___________（结果保留 ）．
3AB = 2AD =
π8
【考点】及割补法的基本应用、扇形的面积公式.
【解析】
【点评】此题考查扇形、四边形面积的计算，及割补法的基本应用，属于基础题
2. （2018·广东·3 分）如图，矩形 ABCD 中，BC=4，CD=2，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相
切于点 E，连接 BD，则阴影部分的面积为 π ．（结果保留π）
【分析】连接 OE，如图，利用切线的性质得 OD=2，OE⊥BC，易得四边形 OECD 为正方形，先
利用扇形面积公式，利用 S 正方形 OECD﹣S 扇形 EOD 计算由弧 DE、线段 EC、CD 所围成的面积，然
后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：连接 OE，如图，
∵以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E，
∴OD=2，OE⊥BC，
易得四边形 OECD 为正方形，
∴由弧 DE、线段 EC、CD 所围成的面积=S 正方形 OECD﹣S 扇形 EOD=22﹣ =4﹣π，
∴阴影部分的面积= ×2×4﹣（4﹣π）=π．
故答案为 π．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连
过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和扇形的面积公式．
CD
A BE
ππ -62360
90-32 2 =••×=阴S9
3．（2018•湖北荆门•3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以 AB
为直径的⊙O 交 BC 于点 E，则阴影部分的面积为 ．
【分析】连接半径和弦 AE，根据直径所对的圆周角是直角得：∠AEB=90°，可得 AE 和 BE
的长，所以图中弓形的面积为扇形 OBE 的面积与△OBE 面积的差，因为 OA=OB，所以△OBE
的面积是△ABE 面积的一半，可得结论．
【解答】解：连接 OE、AE，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AEB=90°，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，
∴AE= AB=2，BE= =2 ，
∵OA=OB=OE，
∴∠B=∠OEB=30°，
∴∠BOE=120°，
∴S 阴影=S 扇形 OBE﹣S△BOE，
= ﹣ × ，
= ﹣ ，
= ﹣ ，
故答案为： ﹣ ．
【点评】本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质，直角三角形中 30 度角等知识点，10
能求出扇形 OBE 的面积和△ABE 的面积是解此题的关键．
4．（2018•湖北恩施•3 分）在Rt△ABC 中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将Rt△ABC
沿直线 l 无滑动地滚动至 Rt△DEF，则点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积
为 π ．（结果不取近似值）
【分析】先得到∠ACB=30°，BC= ，利用旋转的性质可得到点 B 路径分部分：第一部分为
以直角三角形 30°的直角顶点为圆心， 为半径，圆心角为 150°的弧长；第二部分为以
直角三角形 60°的直角顶点为圆心，1 为半径，圆心角为 120°的弧长，然后根据扇形的面
积公式计算点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积．
【解答】解：∵Rt△ABC 中，∠A=60°，∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°，BC= ，
将 Rt△ABC 沿直线 l 无滑动地滚动至 Rt△DEF，点 B 路径分部分：第一部分为以直角三角形
30°的直角顶点为圆心， 为半径，圆心角为 150°的弧长；第二部分为以直角三角形 60°
的直角顶点为圆心，1 为半径，圆心角为 120°的弧长；
∴点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积= + =
．
故答案为 π．
【点评】本题考查了轨迹：利用特殊几何图形描述点运动的轨迹，然后利用几何性质计算相
应的几何量．
5.（2018•河南•3 分）如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=2.将△ABC 绕 AC 的中点 D 逆时
针旋转 90°得到△ ，其中点 B 的运动路径为 ，则图中阴影部分的面积为
______.
A B C′ ′ ′ BB′11
6. （2018·新疆生产建设兵团·5 分）如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，⊙O 的半径为
2，则图中阴影部的面积是 ．
【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公
式计算即可．
【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠C=60°，
根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，
∴阴影部分的面积是 = π，
故答案为：
【点评】本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求
得圆心角度数是解题的关键．
7.（2018·山东青岛·3 分）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O 为 AC 上一点，OA=2，12
以 O 为圆心，以
OA 为半径的圆与 CB 相切于点 E，与 AB 相交于点 F，连接 OE、OF，则图中阴影部分的面积是
﹣ π ．
【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案．
【解答】解：∵∠B=90°，∠C=30°，
∴∠A=60°，
∵OA=OF，
∴△AOF 是等边三角形，
∴∠COF=120°，
∵OA=2，
∴扇形 OGF 的面积为： =
∵OA 为半径的圆与 CB 相切于点 E，
∴∠OEC=90°，
∴OC=2OE=4，
∴AC=OC+OA=6，
∴AB= AC=3，
∴由勾股定理可知：BC=3
∴△ABC 的面积为： ×3×3 =
∵△OAF 的面积为： ×2× = ，
∴阴影部分面积为： ﹣ ﹣ π= ﹣ π
故答案为： ﹣ π13
【点评】本题考查扇形面积公式，涉及含 30 度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的
性质，扇形的面积公式等知识，综合程度较高．
8. （2018•湖南省永州市•4 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，1），以点 O 为
旋转中心，将点 A 逆时针旋转到点 B 的位置，则 的长为 ．
【分析】由点 A（1，1），可得 OA= = ，点 A 在第一象限的角平分线上，那么∠
AOB=45°，再根据弧长公式计算即可．
【解答】解：∵点 A（1，1），
∴OA= = ，点 A 在第一象限的角平分线上，
∵以点 O 为旋转中心，将点 A 逆时针旋转到点 B 的位置，
∴∠AOB=45°，
∴ 的长为 = ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了弧长公式：l= （弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 R），也
考查了坐标与图形变化﹣旋转，求出 OA= 以及∠AOB=45°是解题的关键．
9. （2018 年江苏省宿迁）已知圆锥的底面圆半价为 3cm，高为 4cm，则圆锥的侧面积是
________cm2.
【答案】15π
【考点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥母线长为 l，∵r=3，h=4，,14
∴母线 l= =5，
∴S 侧= ·2πr×5= ×2π×3×5=15π.
故答案为：15π.
【分析】设圆锥母线长为 l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答
案.
10. （2018 年江苏省宿迁）如图，将含有 30°角的直角三角板 ABC 放入平面直角坐标系，
顶点 AB 分别落在 x、y 轴的正半轴上，∠OAB＝60°,点 A 的坐标为（1,0），将三角板 ABC
沿 x 轴右作无滑动的滚动（先绕点 A 按顺时针方向旋转 60°，再绕点 C 按顺时针方向旋转
90°，…）当点 B 第一次落在 x 轴上时，则点 B 运动的路径与坐标轴围成的图形面积是
________.
【答案】 + π
【考点】三角形的面积，扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质
【解析】【解答】解：在 Rt△AOB 中，∵A（1,0），
∴OA=1,
又∵∠OAB＝60°，
∴cos60°= ,
∴AB=2,OB= ,
∵在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，
∴点 B 运动的路径与坐标轴围成的图形面积为：
=
= + π.
故答案为: + π.
【分析】在 Rt△AOB 中，由 A 点坐标得 OA=1,根据锐角三角形函数可得 AB=2，OB= ,在旋15
转过程中，三角板的角度和边的长度不变，所以点 B 运动的路径与坐标轴围成的图形面积为：
= ，计算即可得出答案.
11. （2018•江苏扬州•3 分）用半径为 10cm，圆心角为 120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧
面，则这个圆锥的底面圆半径为 cm．
【分析】圆锥的底面圆半径为 r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．
【解答】解：设圆锥的底面圆半径为 r，依题意，得
2πr= ，
解得 r= cm．
故选： ．
【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆
锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
12. （2018•江苏盐城•3 分）如图，左图是由若干个相同的图形（右图）组成的美丽图案的
一部分.右图中，图形的相关数据：半径 ， .则右图的周长为
________ （结果保留 ）．
15.【答案】
【考点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由第一张图可知弧 OA 与弧 OB 的长度和与弧 AB 的长度相等，则周长为
cm
故答案为：
【分析】仔细观察第一张图，可发现单个图的左右两条小弧的长度之和是弧 AB 的度，则根
据弧长公式 即可求得。16
13. （2018•四川凉州•3 分）将△ABC 绕点 B 逆时针旋转到△A′BC′，使 A、B、C′在同一
直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，则图中阴影部分面积为 4π cm2．
【分析】易得整理后阴影部分面积为圆心角为 120°，两个半径分别为 4 和 2 的圆环的面
积．
【解答】解：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，
∴BC=2，AC=2 ，∠A′BA=120°，∠CBC′=120°，
∴ 阴 影 部 分 面 积 = （ S△A′BC′+S 扇 形 BAA′ ） ﹣S 扇 形 BCC′﹣S△ABC= × （ 42﹣22 ）
=4πcm2．
故答案为：4π．
【点评】本题利用了直角三角形的性质，扇形的面积公式求解．
2.
三.解答题
(要求同上一)
1.（2018·山东临沂·9 分）如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙O
相切于点 D，OB 与⊙O 相交于点 E．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若 BD= ，BE=1．求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接 OD，作 OF⊥AC 于 F，如图，利用等腰三角形的性质得 AO⊥BC，AO 平分∠17
BAC，再根据切线的性质得 OD⊥AB，然后利用角平分线的性质得到 OF=OD，从而根据切线的
判定定理得到结论；
（2）设⊙O 的半径为 r，则 OD=OE=r，利用勾股定理得到 r2+（ ）2=（r+1）2，解得 r=1，
则 OD=1，OB=2，利用含 30 度的直角三角三边的关系得到∠B=30°，∠BOD=60°，则∠
AOD=30°，于是可计算出 AD= OD= ，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S
△AOD﹣S 扇形 DOF 进行计算．
【解答】（1）证明：连接 OD，作 OF⊥AC 于 F，如图，
∵△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，
∴AO⊥BC，AO 平分∠BAC，
∵AB 与⊙O 相切于点 D，
∴OD⊥AB，
而 OF⊥AC，
∴OF=OD，
∴AC 是⊙O 的切线；
（2）解：在 Rt△BOD 中，设⊙O 的半径为 r，则 OD=OE=r，
∴r2+（ ）2=（r+1）2，解得 r=1，
∴OD=1，OB=2，
∴∠B=30°，∠BOD=60°，
∴∠AOD=30°，
在 Rt△AOD 中，AD= OD= ，
∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S 扇形 DOF
=2× ×1× ﹣
= ﹣ ．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切
线．圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆
心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了等腰三角形18
的性质．
2. （2018•江苏扬州•10 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，AO⊥BC 于点 O，OE⊥AB 于点 E，以
点 O 为圆心，OE 为半径作半圆，交 AO 于点 F．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若点 F 是 A 的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点 P 是 BC 边上的动点，当 PE+PF 取最小值时，直接写出 BP 的
长．
【分析】（1）作 OH⊥AC 于 H，如图，利用等腰三角形的性质得 AO 平分∠BAC，再根据角平
分线性质得 OH=OE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）先确定∠OAE=30°，∠AOE=60°，再计算出 AE=3 ，然后根据扇形面积公式，利用
图中阴影部分的面积=S△AOE﹣S 扇形 EOF 进行计算；
（3）作 F 点关于 BC 的对称点 F′，连接 EF′交 BC 于 P，如图，利用两点之间线段最短得
到此时 EP+FP 最小，通过证明∠F′=∠EAF′得到 PE+PF 最小值为 3 ，然后计算出 OP 和 OB
得到此时 PB 的长．
【解答】（1）证明：作 OH⊥AC 于 H，如图，
∵AB=AC，AO⊥BC 于点 O，
∴AO 平分∠BAC，
∵OE⊥AB，OH⊥AC，
∴OH=OE，
∴AC 是⊙O 的切线；
（2）解：∵点 F 是 AO 的中点，
∴AO=2OF=3，
而 OE=3，
∴∠OAE=30°，∠AOE=60°，
∴AE= OE=3 ，19
∴图中阴影部分的面积=S△AOE﹣S 扇形 EOF= ×3×3 ﹣ = ；
（3）解：作 F 点关于 BC 的对称点 F′，连接 EF′交 BC 于 P，如图，
∵PF=PF′，
∴PE+PF=PE+PF′=EF′，此时 EP+FP 最小，
∵OF′=OF=OE，
∴∠F′=∠OEF′，
而∠AOE=∠F′+∠OEF′=60°，
∴∠F′=30°，
∴∠F′=∠EAF′，
∴EF′=EA=3 ，
即 PE+PF 最小值为 3 ，
在 Rt△OPF′中，OP= OF′= ，
在 Rt△ABO 中，OB= OA= ×6=2 ，
∴BP=2 ﹣ = ，
即当 PE+PF 取最小值时，BP 的长为 ．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切
线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆
心作这条直线的垂线”．也考查了等腰三角形的性质和最短路径问题．
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