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方案设计
一、填空题
(要求同上一.)
1. （2018•湖南省永州市•4 分）现有 A、B 两个大型储油罐，它们相距 2km，计划修建一条
笔直的输油管道，使得 A、B 两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为 0.5km，输油管道
所在直线符合上述要求的设计方案有 4 种．
【分析】根据点 A、B 的可以在直线的两侧或异侧两种情形讨论即可；
【解答】解：输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有 4 种，如图所示；
故答案为 4．
【点评】本题考查整体﹣应用与设计，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，
属于中考常考题型．
二、解答题
(要求同上一)
1. （2018·天津·10 分） 某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一：先购买会员
证，每张会员证 100 元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费 5 元；方式二：不购买会
员证，每次游泳付费 9 元.
设小明计划今年夏季游泳次数为 （ 为正整数）.
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
游泳次数 10 15 20 …
方式一的总费用（元） 150 175 …
方式二的总费用（元） 90 135 …
（Ⅱ）若小明计划今年夏季游泳的总费用为 270 元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较2
多？
（Ⅲ）当 时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由.
【答案】（Ⅰ）200， ，180， .（Ⅱ）小明选择方式一游泳次数比较多. （Ⅲ）当
时，有 ，小明选择方式二更合算；当 时，有 ，小明选择方式一更合
算.
【解析】分析：（Ⅰ）根据题意得两种付费方式 ，进行填表即可；
（Ⅱ）根据（1）知两种方式的关系，列出方程求解即可；
（Ⅲ）当 时，作差比较即可得解.
详解：（Ⅰ）200， ，180， .
（Ⅱ）方式一： ，解得 .
方式二： ，解得 .
∵ ，
∴小明选择方式一游泳次数比较多.
（Ⅲ）设方式一与方式二的总费用的差为 元.
则 ，即 .
当 时，即 ，得 .
∴当 时，小明选择这两种方式一样合算.
∵ ，
∴ 随 的增大而减小.
∴当 时，有 ，小明选择方式二更合算；
当 时，有 ，小明选择方式一更合算.
点睛：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，
利用一次函数的性质解答．
2.（2018•湖北恩施•10 分）某学校为改善办学条件，计划采购 A、B 两种型号的空调，已知
采购 3 台 A 型空调和 2 台 B 型空调，需费用 39000 元；4 台 A 型空调比 5 台 B 型空调的费用
多 6000 元．
（1）求 A 型空调和 B 型空调每台各需多少元；
（2）若学校计划采购 A、B 两种型号空调共 30 台，且 A 型空调的台数不少于 B 型空调的一
半，两种型号空调的采购总费用不超过 217000 元，该校共有哪几种采购方案？
（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；
（3）根据题意和（2）中的结果，可以解答本题．3
【解答】解：（1）设 A 型空调和 B 型空调每台各需 x 元、y 元，
，解得， ，
答：A 型空调和 B 型空调每台各需 9000 元、6000 元；
（2）设购买 A 型空调 a 台，则购买 B 型空调（30﹣a）台，
，
解得，10≤a≤12 ，
∴a=10、11、12，共有三种采购方案，
方案一：采购 A 型空调 10 台，B 型空调 20 台，
方案二：采购 A 型空调 11 台，B 型空调 19 台，
方案三：采购 A 型空调 12 台，B 型空调 18 台；
（3）设总费用为 w 元，
w=9000a+6000（30﹣a）=3000a+180000，
∴当 a=10 时，w 取得最小值，此时 w=210000，
即采购 A 型空调 10 台，B 型空调 20 台可使总费用最低，最低费用是 210000 元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解
答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答．
3.（2018·广东广州·12 分）友谊商店 A 型号笔记本电脑的售价是 a 元/台，最近，该商店
对 A 型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售，方
案二：若购买不超过 5 台，每台按售价销售，若超过 5 台，超过的部分每台按售价的八折销
售，某公司一次性从友谊商店购买 A 型号笔记本电脑 x 台。
（1）当 x=8 时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
（2）若该公司采用方案二方案更合算，求 x 的范围。
【答案】（1）解：∵x=8，
∴方案一的费用是：0.9ax=0.9a×8=7.2a，
方案二的费用是：5a+0.8a（x-5）=5a+0.8a（8-5）=7.4a
∵a＞0，
∴7.2a＜7.4a
∴方案一费用最少，
答：应选择方案一，最少费用是 7.2a 元.
（2）解：设方案一，二的费用分别为 W1 ， W2 ，
由题意可得：W1=0.9ax（x 为正整数），4
当 0≤x≤5 时，W2=ax（x 为正整数），
当 x＞5 时，W2=5a+（x-5）×0.8a=0.8ax+a（x 为正整数），
∴ ，其中 x 为正整数,
由题意可得，W1＞W2 ，
∵当 0≤x≤5 时，W2=ax＞W1 ， 不符合题意，
∴0.8ax+a＜0.9ax，
解得 x＞10 且 x 为正整数，
即该公司采用方案二购买更合算，x 的取值范围为 x＞10 且 x 为正整数。
【考点】一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，根据实际问题列一次函数表达式
【解析】【分析】（1）根据题意，分别得出方案一的费用是：0.9ax，方案二的费用是：
5a+0.8a（x-5）=a+0.8ax，再将 x=8 代入即可得出方案一费用最少以及最少费用.
（2）设方案一，二的费用分别为 W1 ， W2 ， 根据题意，分别得出 W1=0.9ax（x 为正整
数）， ，其中 x 为正整数,再由 W1＞W2 ， 分情况解不等式即可得出 x
的取值范围.
4.（2018·湖北省武汉·8 分）用 1 块 A 型钢板可制成 2 块 C 型钢板和 1 块 D 型钢板；用 1
块 B 型钢板可制成 1 块 C 型钢板和 3 块 D 型钢板．现准备购买 A、B 型钢板共 100 块，并全
部加工成 C、D 型钢板．要求 C 型钢板不少于 120 块，D 型钢板不少于 250 块，设购买 A 型
钢板 x 块（x 为整数）
（1）求 A、B 型钢板的购买方案共有多少种？
（2）出售 C 型钢板每块利润为 100 元，D 型钢板每块利润为 120 元．若童威将 C、D 型钢板
全部出售，请你设计获利最大的购买方案．
【分析】（1）根据“C 型钢板不少于 120 块，D 型钢板不少于 250 块”建立不等式组，即可
得出结论；
（2）先建立总利润和 x 的关系，即可得出结论．
【解答】解：设购买 A 型钢板 x 块，则购买 B 型钢板（100﹣x）块，
根据题意得， ，
解得，20≤x≤25，
∵x 为整数，
∴x=20，21，22，23，24，25 共 6 种方案，
即：A、B 型钢板的购买方案共有 6 种；5
（2）设总利润为 w，根据题意得，
w=100（2x+100﹣x）+120（x+300﹣3x）=100x+10000﹣240x+36000=﹣14x+46000，
∵﹣14＜0，
∴当 x=20 时，wmax=﹣14×20+46000=45740 元，
即：购买 A 型钢板 20 块，B 型钢板 80 块时，获得的利润最大．
【点评】此题主要考查了二元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意得出正确的
等量关系是解题关键．
5.（2018·湖北省武汉·8 分）用 1 块 A 型钢板可制成 2 块 C 型钢板和 1 块 D 型钢板；用 1
块 B 型钢板可制成 1 块 C 型钢板和 3 块 D 型钢板．现准备购买 A、B 型钢板共 100 块，并全
部加工成 C、D 型钢板．要求 C 型钢板不少于 120 块，D 型钢板不少于 250 块，设购买 A 型
钢板 x 块（x 为整数）
（1）求 A、B 型钢板的购买方案共有多少种？
（2）出售 C 型钢板每块利润为 100 元，D 型钢板每块利润为 120 元．若童威将 C、D 型钢板
全部出售，请你设计获利最大的购买方案．
【分析】（1）根据“C 型钢板不少于 120 块，D 型钢板不少于 250 块”建立不等式组，即可
得出结论；
（2）先建立总利润和 x 的关系，即可得出结论．
【解答】解：设购买 A 型钢板 x 块，则购买 B 型钢板（100﹣x）块，
根据题意得， ，
解得，20≤x≤25，
∵x 为整数，
∴x=20，21，22，23，24，25 共 6 种方案，
即：A、B 型钢板的购买方案共有 6 种；
（2）设总利润为 w，根据题意得，
w=100（2x+100﹣x）+120（x+300﹣3x）=100x+10000﹣240x+36000=﹣14x+46000，
∵﹣14＜0，
∴当 x=20 时，wmax=﹣14×20+46000=45740 元，
即：购买 A 型钢板 20 块，B 型钢板 80 块时，获得的利润最大．
【点评】此题主要考查了二元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意得出正确的
等量关系是解题关键．6
6.（2018·山东潍坊·11 分）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门
招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有 A，B 两种型号的挖
掘机，已知 3 台 A 型和 5 台 B 型挖掘机同时施工一小时挖土 165 立方米；4 台 A 型和 7 台 B
型挖掘机同时施工一小时挖土 225 立方米．每台 A 型挖掘机一小时的施工费用为 300 元，每
台 B 型挖掘机一小时的施工费用为 180 元．
（1）分别求每台 A 型，B 型挖掘机一小时挖土多少立方米？
（2）若不同数量的 A 型和 B 型挖掘机共 12 台同时施工 4 小时，至少完成 1080 立方米的挖
土量，且总费用不超过 12960 元，问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工
费用最低，最低费用是多少元？
【分析】（1）根据题意列出方程组即可；
（2）利用总费用不超过 12960 元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用．
【解答】解：（1）设每台 A 型，B 型挖据机一小时分别挖土 x 立方米和 y 立方米，根据题
意得
解得：
∴每台 A 型挖掘机一小时挖土 30 立方米，每台 B 型挖掘机一小时挖土 15 立方米
（2）设 A 型挖掘机有 m 台，总费用为 W 元，则 B 型挖掘机有（12﹣m）台．
根据题意得
W=4×300m+4×180（12﹣m）=480m+8640
∵
∴解得
∵m≠12﹣m，解得 m≠6
∴7≤m≤9
∴共有三种调配方案，
方案一：当 m=7 时，12﹣m=5，即 A 型挖据机 7 台，B 型挖掘机 5 台；
方案二：当 m=8 时，12﹣m=4，即 A 型挖掘机 8 台，B 型挖掘机 4 台；
方案三：当 m=9 时，12﹣m=3，即 A 型挖掘机 9 台，B 型挖掘机 3 台．…
∵480＞0，由一次函数的性质可知，W 随 m 的减小而减小，
∴当 m=7 时，W 小=480×7+8640=12000
此时 A 型挖掘机 7 台，B 型挖据机 5 台的施工费用最低，最低费用为 12000 元．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一次函数增减性，解答时先根据题意确定自变量取值7
范围，再应用一次函数性质解答问题．
7.
（2018·广东广州·12 分）友谊商店 A 型号笔记本电脑的售价是 a 元/台，最近，该商店对
A 型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售，方案
二：若购买不超过 5 台，每台按售价销售，若超过 5 台，超过的部分每台按售价的八折销售，
某公司一次性从友谊商店购买 A 型号笔记本电脑 x 台。
（1）当 x=8 时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
（2）若该公司采用方案二方案更合算，求 x 的范围。
【答案】（1）解：∵x=8，
∴方案一的费用是：0.9ax=0.9a×8=7.2a，
方案二的费用是：5a+0.8a（x-5）=5a+0.8a（8-5）=7.4a
∵a＞0，
∴7.2a＜7.4a
∴方案一费用最少，
答：应选择方案一，最少费用是 7.2a 元.
（2）解：设方案一，二的费用分别为 W1 ， W2 ，
由题意可得：W1=0.9ax（x 为正整数），
当 0≤x≤5 时，W2=ax（x 为正整数），
当 x＞5 时，W2=5a+（x-5）×0.8a=0.8ax+a（x 为正整数），
∴ ，其中 x 为正整数,
由题意可得，W1＞W2 ，
∵当 0≤x≤5 时，W2=ax＞W1 ， 不符合题意，
∴0.8ax+a＜0.9ax，
解得 x＞10 且 x 为正整数，
即该公司采用方案二购买更合算，x 的取值范围为 x＞10 且 x 为正整数。
【考点】一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，根据实际问题列一次函数表达式
【解析】【分析】（1）根据题意，分别得出方案一的费用是：0.9ax，方案二的费用是：
5a+0.8a（x-5）=a+0.8ax，再将 x=8 代入即可得出方案一费用最少以及最少费用.
（2）设方案一，二的费用分别为 W1 ， W2 ， 根据题意，分别得出 W1=0.9ax（x 为正整
数）， ，其中 x 为正整数,再由 W1＞W2 ， 分情况解不等式即可得出 x
的取值范围.
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