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尺规作图
一、选择题
1．（2018 年湖北省宜昌市 3 分）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列
作图中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据过直线外一点向直线作垂线即可．
【解答】已知：直线 AB 和 AB 外一点 C．
求作：AB 的垂线，使它经过点 C．
作法：（1）任意取一点 K，使 K 和 C 在 AB 的两旁．
（2）以 C 为圆心，CK 的长为半径作弧，交 AB 于点 D 和 E．
（3）分别以 D 和 E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧交于点 F，
（4）作直线 CF．
直线 CF 就是所求的垂线．
故选：B．
【点评】此题主要考查了过一点作直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关
键．
2． （2018·山东潍坊·3 分）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧
法”，其作法是：
（1）作线段 AB，分别以 A，B 为圆心，以 AB 长为半径作弧，两弧的交点为 C；
（2）以 C 为圆心，仍以 AB 长为半径作弧交 AC 的延长线于点 D；
（3）连接 BD，BC．
下列说法不正确的是（ ）2
A．∠CBD=30° B．S△BDC= AB2
C．点 C 是△ABD 的外心 D．sin2A+cos2D=l
【分析】根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角
三角形的性质一一判断即可；
【解答】解：由作图可知：AC=AB=BC，
∴△ABC 是等边三角形，
由作图可知：CB=CA=CD，
∴点 C 是△ABD 的外心，∠ABD=90°，
BD= AB，
∴S△ABD= AB2，
∵AC=CD，
∴S△BDC= AB2，
故 A、B、C 正确，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外心等知识，直角
三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3. （2018·台湾·分）如图，锐角三角形 ABC 中，BC＞AB＞AC，甲、乙两人想找一点 P，
使得∠BPC 与∠A 互补，其作法分别如下：
（甲）以 A 为圆心，AC 长为半径画弧交 AB 于 P 点，则 P 即为所求；
（乙）作过 B 点且与 AB 垂直的直线 l，作过 C 点且与 AC 垂直的直线，交 l 于 P 点，则 P 即
为所求
对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（ ）3
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【分析】甲：根据作图可得 AC=AP，利用等边对等角得：∠APC=∠ACP，由平角的定义可知：∠
BPC+∠APC=180°，根据等量代换可作判断；
乙： 根据四边形的内角和可得：∠BPC+∠A=180°．
【解答】解：甲：如图 1，∵AC=AP，
∴∠APC=∠ACP，
∵∠BPC+∠APC=180°
∴∠BPC+∠ACP=180°，
∴甲错误；
乙： 如图 2，∵AB⊥PB，AC⊥PC，
∴∠ABP=∠ACP=90°，
∴∠BPC+∠A=180°，
∴乙正确，
故选：D．
【点评】本题考查了垂线的定义、四边形的内角和定理、等腰三角形的性质，正确的理解题
意是解题的关键．
4. （2018•河南•3 分）如图,已知 AOBC 的顶点 O(0,0),A(-1,2),点 B 在 x 轴正半轴上按4
以下步骤作图:①以点 O 为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边 OA,OB 于点 D,E；②分别以
点 D,E 为圆心,大于 DE 的长为半径作弧,两弧在∠AOB 内交于点 F；③作射线 OF,交边 AC
于点 G.则点 G 的坐标为（ ）
A.（ -1，2） B.（ ，2） C.（3- ，-2）D.（ -2，2）
5．（2018·浙江舟山·3 分）用尺规在一个平行四边形内作菱形 ABCD，下列作法中错误的
是（ ）
A.
B.
2
1
5 5 5 55
C.
D.
【考点】平行四边形的性质，菱形的判定，作图—尺规作图的定义
【分析】首先要理解每个图的作法，作的辅助线所具有的性质，再根据平行四边形的性质和
菱形的判定定理判定
【解答】解：A、作的辅助线 AC 是 BD 的垂直平分线，由平行四边形中心对称图形的性质可
得 AC 与 BD 互相平分且垂直，则四边形 ABCD 是菱形，故 A 不符合题意；
B、由辅助线可得 AD=AB=BC，由平行四边形的性质可得 AD//BC，则四边形 ABCD 是菱形，故
B 不符合题意；
C、辅助线 AB、CD 分别是原平行四边形一组对角的角平分线，只能说明四边形 ABCD 是平行
四边形，故 C 符合题意；
D、此题的作法是：连接 AC，分别作两个角与已知角∠CAD、∠ACB 相等的角，即∠BAC=∠
DAC，∠ACB=∠ACD，
由 AD//BC，得∠BAD+∠ABC=180°，
∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD，
则 AB=BC，AD =CD,∠BAD=∠BCD，
则∠BCD+∠ABC=180°，
则 AB//CD，
则四边形 ABCD 是菱形
故 D 不符合题意；
故答案为 C
【点评】本题考查了根据平行四边形的性质和菱形的判定定理判定尺规作图正确与否的能
力
6.（2018•河北•3 分）尺规作图要求：Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ.作线段的垂
直平分线；Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ.作角的平分线.6
图 3 是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A．①-Ⅳ，②-Ⅱ，③-Ⅰ，④-Ⅲ B．①-Ⅳ，②-Ⅲ，③-Ⅱ，④-Ⅰ
C. ①-Ⅱ，②-Ⅳ，③-Ⅲ，④-Ⅰ D．①-Ⅳ，②-Ⅰ，③-Ⅱ，④-Ⅲ
二.
1. （2018•安徽•分） 如图，⊙O 为锐角△ABC 的外接圆，半径为 5.
（1）用尺规作图作出∠BAC 的平分线，并标出它与劣弧 BC 的交点 E(保留作图痕迹，不写作
法)；
（2）若（1）中的点 E 到弦 BC 的距离为 3，求弦 CE 的长.
【答案】（1）画图见解析；（2）CE=
【解析】【分析】（1）以点 A 为圆心，以任意长为半径画弧，分别与 AB、AC 有交点，再分别
以这两个交点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，过点 A 与这点
作射线，与圆交于点 E ，据此作图即可；
（2）连接 OE 交 BC 于点 F，连接 OC、CE，由 AE 平分∠BAC，可推导得出 OE⊥BC，
然后在 Rt△OFC 中，由勾股定理可求得 FC 的长，在 Rt△EFC 中，由勾股定理即可
求得 CE 的长.
【详解】（1）如图所示，射线 AE 就是所求作的角平分线；7
（2）连接 OE 交 BC 于点 F，连接 OC、CE，
∵AE 平分∠BAC，
∴ ，
∴OE⊥BC，EF=3，∴OF=5-3=2，
在 Rt△OFC 中，由勾股定理可得 FC= = ，
在 Rt△EFC 中，由勾股定理可得 CE= = .
【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，垂径定理等，熟练掌握角平分线
的作图方法、推导得出 OE⊥BC 是解题的关键.
2. （2018•甘肃白银，定西，武威）如图，在 中， .
（1）作 的平分线交 边于点 ，再以点 为圆心， 的长为半径作 ；（要求：
不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中 与 的位置关系，直接写出结果.
【答案】（1）作图见解析；（2）AC 与⊙O 相切．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法求出角平分线 CO；
（2）过 O 作 OD⊥AC 交 AC 于点 D，先根据角平分线的性质求出 DO=BO，再根据切线的判定定
理即可得出答案．
【解答】（1）如图,作出角平分线 CO;
作出⊙O.8
（2）AC 与⊙O 相切.
【点评】考查作图—复杂作图，直线与圆的位置关系，熟练掌握角平分线的作法是解题的关
键.
3．（2018•北京•5 分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图
过程．
已知：直线及直线外一点 ．
求作： ，使得 ．
作法：如图，
①在直线上取一点 ，作射线 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 的延长
线于点 ；
②在直线上取一点 （不与点 重合），作射线 ，以点 为圆心， 长为半径画
弧，交 的延长线于点 ；
③作直线 ．
所以直线 就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵ _______， _______，
∴ （____________）（填推理的依据）．
【解析】（1）尺规作图如下图所示：
P
l
P
PQ PQ l∥
B
CA
P
l
A PA A AP PA
B
C A BC C CB
BC Q
PQ
PQ
AB = CB =
PQ l∥9
（2） ， ，三角形中位线平行于三角形的第三边．
【考点】尺规作图，三角形中位线定理
3. （2018·四川自贡·10 分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°．
（1）作出经过点 B，圆心 O 在斜边 AB 上且与边 AC 相切于点 E 的⊙O（要求：用尺规作图，
保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设（1）中所作的⊙O 与边 AB 交于异于点 B 的另外一点 D，若⊙O 的直径为 5，BC=4；
求 DE 的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）
【分析】（1）作∠ABC 的角平分线交 AC 于 E，作 EO⊥AC 交 AB 于点 O，以 O 为圆心，OB 为半
径画圆即可解决问题；
（2）作 OH⊥BC 于 H．首先求出 OH、EC、BE，利用△BCE∽△BED，可得 = ，解决问题；
【解答】解：（1）⊙O 如图所示；
（2）作 OH⊥BC 于 H．
∵AC 是⊙O 的切线，
∴OE⊥AC，
∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°，
∴四边形 ECHO 是矩形，
Q
l
P
A C
B
PA CQ10
∴OE=CH= ，BH=BC﹣CH= ，
在 Rt△OBH 中，OH= =2，
∴EC=OH=2，BE= =2 ，
∵∠EBC=∠EBD，∠BED=∠C=90°，
∴△BCE∽△BED，
∴ = ，
∴ = ，
∴DE= ．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定
理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解
决问题，属于中考常考题型．
4.（2018·浙江宁波·8 分）在 5×3 的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上．
（1）在图 1 中画出线段 BD，使 BD∥AC，其中 D 是格点；
（2）在图 2 中画出线段 BE，使 BE⊥AC，其中 E 是格点．
【分析】（1）将线段 AC 沿着 AB 方向平移 2 个单位，即可得到线段 BD；
（2）利用 2×3 的长方形的对角线，即可得到线段 BE⊥AC．
【考点】作图、平行四边形的性质
【解答】解：（1）如图所示，线段 BD 即为所求；
（2）如图所示，线段 BE 即为所求．
【点评】本题主要考查了作图以及平行四边形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作
图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．11
5.（2018·广东广州·12 分）如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，
AD=AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC 的平分线 DE，交 BC 于点 E，连接 AE（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；
②若 CD=2，AB=4，点 M，N 分别是 AE，AB 上的动点，求 BM+MN 的最小值。
【答案】（1）
（2）①证明：在 AD 上取一点 F 使 DF=DC，连接 EF，
∵DE 平分∠ADC，
∴∠FDE=∠CDE，
在△FED 和△CDE 中，
DF=DC，∠FDE=∠CDE，DE=DE
∴△FED≌△CDE（SAS），
∴∠DFE=∠DCE=90°，∠AFE=180°-∠DFE=90°12
∴∠DEF=∠DEC，
∵AD=AB+CD，DF=DC，
∴AF=AB，
在 Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）
∴∠AEB=∠AEF，
∴∠AED=∠AEF+∠DEF= ∠CEF+ ∠BEF= （∠CEF+∠BEF）=90°。
∴AE⊥DE
②解：过点 D 作 DP⊥AB 于点 P，
∵由①可知，B，F 关于 AE 对称，BM=FM，
∴BM+MN=FM+MN，
当 F，M，N 三点共线且 FN⊥AB 时，有最小值，
∵DP⊥AB，AD=AB+CD=6，
∴∠DPB=∠ABC=∠C=90°，
∴四边形 DPBC 是矩形，
∴BP=DC=2，AP=AB-BP=2，
在 Rt△APD 中，DP= = ，
∵FN⊥AB，由①可知 AF=AB=4，
∴FN∥DP，
∴△AFN∽△ADP
∴ ，
即 ，
解得 FN= ，
∴BM+MN 的最小值为 13
【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，作图—基本作图，轴对称的应用-
最短距离问题，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据角平分的做法即可画出图.（2）①在 AD 上取一点 F 使 DF=DC，连
接 EF；角平分线定义得∠FDE=∠CDE；根据全等三角形判定 SAS 得△FED≌△CDE，再由全等
三角形性质和补角定义得∠DFE=∠DCE=∠AFE=90°，
∠DEF=∠DEC；再由直角三角形全等的判定 HL 得 Rt△AFE≌Rt△ABE，由全等三角形性质得∠
AEB=∠AEF，再由补角定义可得 AE⊥DE.
②过点 D 作 DP⊥AB 于点 P；由①可知，B，F 关于 AE 对称，根据对称性质知 BM=FM，
当 F，M，N 三点共线且 FN⊥AB 时，有最小值，即 BM+MN=FM+MN=FN；在 Rt△APD 中，根据勾
股定理得 DP= = ；由相似三角形判定得△AFN∽△ADP，再由相似三角形性
质得 ，从而求得 FN，即 BM+MN 的最小值.
6（2018·广东·6 分）如图，BD 是菱形 ABCD 的对角线，∠CBD=75°，
（1）请用尺规作图法，作 AB 的垂直平分线 EF，垂足为 E，交 AD 于 F；（不要求写作法，
保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接 BF，求∠DBF 的度数．
【分析】（1）分别以 A、B 为圆心，大于 AB 长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）根据∠DBF=∠ABD﹣∠ABF 计算即可；
【解答】解：（1）如图所示，直线 EF 即为所求；
（2）∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．
∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，14
∴∠C=∠A=30°，
∵EF 垂直平分线线段 AB，
∴AF=FB，
∴∠A=∠FBA=30°，
∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．
7（2018•江西•6 分）如图，在四边形 中， ∥ , =2 , 为 的中点，请仅用
无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留作图痕迹)
（1）在图 1 中，画出△ABD 的 BD 边上的中线；
（2）在图 1 中，若 BA=BD, 画出△ABD 的 AD 边上的高 .
【解析】 （1）如图 AF 是△ABD 的 BD 边上的中线；
（2）如图 AH 是△ABD 的 AD 边上的高.
★★
8（2018·山东青岛·4 分）已知：如图，∠ABC，射线 BC 上一点 D．
求作：等腰△PBD，使线段 BD 为等腰△PBD 的底边，点 P 在∠ABC 内部，且点 P 到∠ABC 两
边的距离相等．
图2图1
C
E
C
E
A
B D DB
A
F
C
E
DB
A
HO
F
C
E
A
B D15
【分析】根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵点 P 在∠ABC 的平分线上，
∴点 P 到∠ABC 两边的距离相等（角平分线上的点到角的两边距离相等），
∵点 P 在线段 BD 的垂直平分线上，
∴PB=PD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），
如图所示：
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解
题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
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