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点直线与圆的位置关系
一、选择题
1．（2018·湖北省武汉·3 分）如图，在⊙O 中，点 C 在优弧 上，将弧 沿 BC 折叠后
刚好经过 AB 的中点 D．若⊙O 的半径为 ，AB=4，则 BC 的长是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接 OD、AC、DC、OB、OC，作 CE⊥AB 于 E，OF⊥CE 于 F，如图，利用垂径定理得
到 OD⊥AB，则 AD=BD= AB=2，于是根据勾股定理可计算出 OD=1，再利用折叠的性质可判断
弧 AC 和弧 CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到 = ，所以 AC=DC，利用等腰三角
形的性质得 AE=DE=1，接着证明四边形 ODEF 为正方形得到 OF=EF=1，然后计算出 CF 后得到
CE=BE=3，于是得到 BC=3 ．
【解答】解：连接 OD、AC、DC、OB、OC，作 CE⊥AB 于 E，OF⊥CE 于 F，如图，
∵D 为 AB 的中点，
∴OD⊥AB，
∴AD=BD= AB=2，
在 Rt△OBD 中，OD= =1，
∵将弧 沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D．
∴弧 AC 和弧 CD 所在的圆为等圆，
∴ = ，
∴AC=DC，
∴AE=DE=1，
易得四边形 ODEF 为正方形，
∴OF=EF=1，
在 Rt△OCF 中，CF= =2，
∴CE=CF+EF=2+1=3，
而 BE=BD+DE=2+1=3，
∴BC=3 ．2
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连
过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理．
2． （2018·山东泰安·3 分）如图，BM 与⊙O 相切于点 B，若∠MBA=140°，则∠ACB 的度
数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】连接 OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由内角和
定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案．
【解答】解：如图，连接 OA、OB，
∵BM 是⊙O 的切线，
∴∠OBM=90°，
∵∠MBA=140°，
∴∠ABO=50°，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=50°，3
∴∠AOB=80°，
∴∠ACB= ∠AOB=40°，
故选：A．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：①圆的切线垂直于经过
切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线
必经过圆心．
3.（2018·山东泰安·3 分）如图，⊙M 的半径为 2，圆心 M 的坐标为（3，4），点 P 是⊙M
上的任意一点，PA⊥PB，且 PA、PB 与 x 轴分别交于 A、B 两点，若点 A、点 B 关于原点 O 对
称，则 AB 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【分析】由Rt△APB 中 AB=2OP 知要使 AB 取得最小值，则 PO 需取得最小值，连接 OM，交⊙M
于点 P′，当点 P 位于 P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．
【解答】解：∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∵AO=BO，
∴AB=2PO，
若要使 AB 取得最小值，则 PO 需取得最小值，
连接 OM，交⊙M 于点 P′，当点 P 位于 P′位置时，OP′取得最小值，
过点 M 作 MQ⊥x 轴于点 Q，
则 OQ=3、MQ=4，
∴OM=5，
又∵MP′=2，4
∴OP′=3，
∴AB=2OP′=6，
故选：C．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半得出 AB 取得最小值时点 P 的位置．
4 （2018·四川宜宾·3 分）在△ABC 中，若 O 为 BC 边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2
成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG 中，已知 DE=4，EF=3，点 P 在以
DE 为直径的半圆上运动，则 PF2+PG2 的最小值为（ ）
A． B． C．34 D．10
【考点】M8：点与圆的位置关系；LB：矩形的性质．
【分析】设点 M 为 DE 的中点，点 N 为 FG 的中点，连接 MN，则 MN、PM 的长度是定值，利用
三角形的三边关系可得出 NP 的最小值，再利用 PF2+PG2=2PN2+2FN2 即可求出结论．
【解答】解：设点 M 为 DE 的中点，点 N 为 FG 的中点，连接 MN 交半圆于点 P，此时 PN 取最
小值．
∵DE=4，四边形 DEFG 为矩形，
∴GF=DE，MN=EF，
∴MP=FN= DE=2，
∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三
边关系找出 PN 的最小值是解题的关键．5
5（2018·台湾·分）如图，I 点为△ABC 的内心，D 点在 BC 上，且 ID⊥BC，若∠B=44°，∠
C=56°，则∠AID 的度数为何？（ ）
A．174 B．176 C．178 D．180
【分析】连接 CI，利用三角形内角和定理可求出∠BAC 的度数，由 I 点为△ABC 的内心，可
得出∠CAI、∠ACI、∠DCI 的度数，利用三角形内角和定理可得出∠AIC、∠CID 的度数，再
由∠AID=∠AIC+∠CID 即可求出∠AID 的度数．
【解答】解：连接 CI，如图所示．
在△ABC 中，∠B=44°，∠ACB=56°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°．
∵I 点为△ABC 的内心，
∴∠CAI= ∠BAC=40°，∠ACI=∠DCI= ∠ACB=28°，
∴∠AIC=180°﹣∠CAI﹣∠ACI=112°，
又 ID⊥BC，
∴∠CID=90°﹣∠DCI=62°，
∴∠AID=∠AIC+∠CID=112°+62°=174°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内心、三角形内角和定理以及角平分线的性质，根据三角形内
心的性质结合三角形内角和定理求出∠AIC、∠CID 的度数是解题的关键．
6（2018·浙江舟山·3 分）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆
的位置关系只能是（ ）
A. 点 在 圆 内 B. 点 在 圆 上
C. 点 在 圆 心 上
D. 点在圆上或圆内6
【考点】点与圆的位置关系，反证法
【分析】运用反证法证明，第一步就要假设结论不成立，即结论的反面，要考虑到反面所有
的情况。
【解析】【解答】解：点与圆的位置关系只有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外，
如果点不在圆外，那么点就有可能在圆上或圆内
故答案为 D
【点评】本题考查了反证法的掌握情况. 运用反证法证明要考虑到反面所有的情况。
7 (2018 四川省眉山市 2 分 ) 如图所示，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点 A，线段 PO 交⊙
O 于点 C，连结 BC，若∠P=36°，则∠B 等于（ ）。
A.27°
B.32°
C.36°
D.54°
【答案】A
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA 切⊙O 于点 A，
∴∠PAO=90°，
又∵∠P=36°，
∴∠POA=54°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∵∠POA=∠B+∠OCB=2∠B=54°，
∴∠B=27°.
故答案为:A.
【分析】根据切线的性质得∠PAO=90°，再由三角形内角和定理得∠POA=54°，根据等腰三
角形性质等边对等角得∠B=∠OCB，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和建立
等式，从而得出答案.
8．（2018 年四川省内江市）已知⊙O1 的半径为 3cm，⊙O2 的半径为 2cm，圆心距 O1O2=4cm，7
则⊙O1 与⊙O2 的位置关系是（ ）
A．外高 B．外切 C．相交 D．内切
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
【分析】由⊙O1 的半径为 3cm，⊙O2 的半径为 2cm，圆心距 O1O2 为 4cm，根据两圆位置关系
与圆心距 d，两圆半径 R，r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【解答】解：∵⊙O1 的半径为 3cm，⊙O2 的半径为 2cm，圆心距 O1O2 为 4cm，
又∵2+3=5，3﹣2=1，1＜4＜5，
∴⊙O1 与⊙O2 的位置关系是相交．
故选：C．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距 d，两圆半径 R，r
的数量关系间的联系是解此题的关键．
9．（2018 四川省泸州市 3 分）在平面直角坐标系内，以原点 O 为原心，1 为半径作圆，点 P
在直线 y= 上运动，过点 P 作该圆的一条切线，切点为 A，则 PA 的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【分析】如图，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，作 OH⊥CD 于 H，先利
用一次解析式得到 D（0，2 ），C（﹣2，0），再利用勾股定理可计算出 CD=4，则利用面积
法可计算出 OH= ，连接 OA，如图，利用切线的性质得 OA⊥PA，则 PA= ，然后利
用垂线段最短求 PA 的最小值．
【解答】解：如图，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，作 OH⊥CD 于 H，
当 x=0 时，y= x+2 =2 ，则 D（0，2 ），
当 y=0 时， x+2 =0，解得 x=﹣2，则 C（﹣2，0），
∴CD= =4，
∵ OH•CD= OC•OD，
∴OH= = ，
连接 OA，如图，
∵PA 为⊙O 的切线，
∴OA⊥PA，
∴PA= = ，
当 OP 的值最小时，PA 的值最小，
而 OP 的最小值为 OH 的长，
∴PA 的最小值为 = ．
故选：D．8
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连
过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了一次函数的性质．
10（2018·台湾·分）如图，两圆外切于 P 点，且通过 P 点的公切线为 L，过 P 点作两直线，
两直线与两圆的交点为 A、B、C、D，其位置如图所示，若 AP=10，CP=9，则下列角度关系何
者正确？（ ）
A．∠PBD＞∠PAC B．∠PBD＜∠PAC C．∠PBD＞∠PDB D．∠PBD＜∠PDB
【分析】根据大边对大角，平行线的判定和性质即可判断；
【解答】解：如图，∵直线 l 是公切线
∴∠1=∠B，∠2=∠A，
∵∠1=∠2，
∴∠A=∠B，
∴AC∥BD，
∴∠C=∠D，
∵PA=10，PC=9，
∴PA＞PC，
∴∠C＞∠A，
∴∠D＞∠B．9
故选：D．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，相切两个圆的性质等知识，解
题的关键是证明 AC∥BD．
二.填空题
1．（2018 年四川省内江市）已知△ABC 的三边 a，b，c，满足 a+b 2+|c﹣6|+28=4
+10b，则△ABC 的外接圆半径= ．
【考点】MA：三角形的外接圆与外心；16：非负数的性质：绝对值；1F：非负数的性质：偶
次方；23：非负数的性质：算术平方根；KQ：勾股定理．
【分析】根据题目中的式子可以求得 a、b、c 的值，从而可以求得△ABC 的外接圆半径的
长．
【解答】解：∵a+b2+|c﹣6|+28=4 +10b，
∴（a﹣1﹣4 +4）+（b2﹣10b+25）+|c﹣6|=0，
∴（ ﹣2）2+（b﹣5）2+|c﹣6|=0，
∴ ，b﹣5=0，c﹣6=0，
解得，a=5，b=5，c=6，
∴AC=BC=5，AB=6，
作 CD⊥AB 于点 D，
则 AD=3，CD=4，
设△ABC 的外接圆的半径为 r，
则 OC=r，OD=4﹣r，OA=r，
∴32+（4﹣r）2=r2，
解得，r= ，10
故答案为： ．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、非负数的性质、勾股定理，解答本题的关键是明
确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
2．（2018 年四川省内江市）如图，以 AB 为直径的⊙O 的圆心 O 到直线 l 的距离 OE=3，⊙O
的半径 r=2，直线 AB 不垂直于直线 l，过点 A，B 分别作直线 l 的垂线，垂足分别为点 D，
C，则四边形 ABCD 的面积的最大值为 12 ．
【考点】LL：梯形中位线定理．
【 分 析 】 先 判 断 OE 为 直 角 梯 形 ADCB 的 中 位 线 ， 则 OE= （ AD+BC ） ， 所 以 S 四 边 形
ABCD=OE•CD=3CD，只有当 CD=AB=4 时，CD 最大，从而得到 S 四边形 ABCD 最大值．
【解答】解：∵OE⊥l，AD⊥l，BC⊥l，
而 OA=OB，
∴OE 为直角梯形 ADCB 的中位线，
∴OE= （AD+BC），
∴S 四边形 ABCD= （AD+BC）•CD=OE•CD=3CD，
当 CD=AB=4 时，CD 最大，S 四边形 ABCD 最大，最大值为 12．
【点评】本题考查了梯形中位线：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
3.（2018·浙江舟山·4 分）（2018·浙江舟山·4 分）如图，量角器的 0 度刻度线为 AB，
将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点 C，直尺另一边交量角器于
点 A，D，量得 AD=10cm，点 D 在量角器上的读数为 60°，则该直尺的宽度为________ cm。11
【考点】垂径定理，切线的性质
【分析】因为直尺另一边 EF 与圆 O 相切于点 C，连接 OC，可知求直尺的宽度就是求 CG=OC-OG，
而 OC=OA；OG 和 OA 都在 Rt△AOG 中，即根据解直角三角形的思路去做：由垂定理可知 AG=DG=
AD=5cm，∠AOG= ∠AOD=60°，从而可求答案。
【解答】解：如图，连结 OD，OC，OC 与 AD 交于点 G,设直尺另一边为 EF，
因为点 D 在量角器上的读数为 60°，
所以∠AOD=120°，
因为直尺一边 EF 与量角器相切于点 C，
所以 OC⊥EF，
因为 EF//AD，
所以 OC⊥AD，
由垂径定理得 AG=DG= AD=5 cm，∠AOG= ∠AOD=60°，
在 Rt△AOG 中，AG=5 cm，∠AOG=60°，
则 OG= cm,OC=OA= cm
则 CG=OC-OG= cm.
【点评】本题的关键是利用垂径定理和切线的性质.12
4．（2018•湖北黄石•3 分）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，CA=8，CB=6，则△ABC 内切圆的周长
为 4π
【分析】先利用勾股定理计算出 AB 的长，再利用直角三角形内切圆的半径的计算方法求出
△ABC 的内切圆的半径，然后利用圆的面积公式求解．
【解答】解：∵∠C=90°，CA=8，CB=6，
∴AB= =10，
∴△ABC 的内切圆的半径= =2，
∴△ABC 内切圆的周长=π•22=4π．
故答案为 4π．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角
形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．记住直角三角形内切圆半径的计算方法．
5.（2018·山东临沂·3 分）如图．在△ABC 中，∠A=60°，BC=5cm．能够将△ABC 完全覆
盖的最小圆形纸片的直径是 cm．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得△ABC 外接圆的直径，
本题得以解决．
【解答】解：设圆的圆心为点 O，能够将△ABC 完全覆盖的最小圆是△ABC 的外接圆，
∵在△ABC 中，∠A=60°，BC=5cm，
∴∠BOC=120°，
作 OD⊥BC 于点 D，则∠ODB=90°，∠BOD=60°，
∴BD= ，∠OBD=30°，13
∴OB= ，得 OB= ，
∴2OB= ，
即△ABC 外接圆的直径是 cm，
故答案为： ．
【点评】本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，
利用数形结合的思想解答．
6（2018·山东泰安·3 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O 的直径
为 4 ．
【分析】连接 OB，OC，依据△BOC 是等腰直角三角形，即可得到 BO=CO=BC•cos45°=2 ，
进而得出⊙O 的直径为 4 ．
【解答】解：如图，连接 OB，OC，
∵∠A=45°，
∴∠BOC=90°，
∴△BOC 是等腰直角三角形，
又∵BC=4，
∴BO=CO=BC•cos45°=2 ，
∴⊙O 的直径为 4 ，
故答案为：4 ．14
【点评】本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理的运用，三角形外接圆的圆心是三
角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
7.（2018·山东威海·3 分）如图，在扇形 CAB 中，CD⊥AB，垂足为 D，⊙E 是△ACD 的内切
圆，连接 AE，BE，则∠AEB 的度数为 135° ．
【分析】如图，连接 EC．首先证明∠AEC=135°，再证明△EAC≌△EAB 即可解决问题；
【解答】解：如图，连接 EC．
∵E 是△ADC 的内心，
∴∠AEC=90°+ ∠ADC=135°，
在△AEC 和△AEB 中，
，
∴△EAC≌△EAB，
∴∠AEB=∠AEC=135°，
故答案为 135°．
【点评】本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加
常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．15
8 （2018•安徽•4 分） 如图，菱形 ABOC 的 AB，AC 分别与⊙O 相切于点 D、E，若点 D 是 AB
的中点，则∠DOE__________.
【答案】60°
【解析】【分析】由 AB，AC 分别与⊙O 相切于点 D、E，可得∠BDO=∠ADO=∠AEO=90°，根据
已知条件可得到 BD= OB，在 Rt△OBD 中，求得∠B=60°，继而可得∠A=120°，再利用四边
形的内角和即可求得∠DOE 的度数.
【详解 】∵AB，AC 分别与⊙O 相切于点 D、E，
∴∠BDO=∠ADO=∠AEO=90°，
∵四边形 ABOC 是菱形，∴AB=BO，∠A+∠B=180°，
∵BD= AB，
∴BD= OB，
在 Rt△OBD 中，∠ODB=90°，BD= OB，∴cos∠B= ，∴∠B=60°，
∴∠A=120°，
∴∠DOE=360°-120°-90°-90°=60°，
故答案为：60°.
【点睛】本题考查了切线的性质，菱形的性质，解直角三角形的应用等，熟练掌
握相关的性质是解题的关键.
9. （2018 年江苏省南京市•2 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=4，以 CD 为直径作⊙
O．将矩形 ABCD 绕点 C 旋转，使所得矩形 A′B′C′D′的边 A′B′与⊙O 相切，切点为 E，
边 CD′与⊙O 相交于点 F，则 CF 的长为 4 ．16
【 分 析 】 连 接 OE ， 延 长 EO 交 CD 于 点 G ， 作 OH ⊥ B′C ， 由 旋 转 性 质 知 ∠ B′= ∠
B′CD′=90°、AB=CD=5、BC=B′C=4，从而得出四边形 OEB′H 和四边形 EB′CG 都是矩形且
OE=OH=OC=2.5，继而求得 CG=B′E=OH= = =2，根据垂径定理可
得 CF 的长．
【解答】解：连接 OE，延长 EO 交 CD 于点 G，作 OH⊥B′C 于点 H，
则∠OEB′=∠OHB′=90°，
∵矩形 ABCD 绕点 C 旋转所得矩形为 A′B′C′D′，
∴∠B′=∠B′CD′=90°，AB=CD=5、BC=B′C=4，
∴四边形 OEB′H 和四边形 EB′CG 都是矩形，OE=OH=OC=2.5，
∴B′H=OE=2.5，
∴CH=B′C﹣B′H=1.5，
∴CG=B′E=OH= = =2，
∵四边形 EB′CG 是矩形，
∴∠OGC=90°，即 OG⊥CD′，
∴CF=2CG=4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查圆的切线的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转
的性质、切线的性质、垂径定理等知识点．
10 （2018 年江苏省泰州市•3 分）如图，△ABC 中，∠ACB=90°，sinA= ，AC=12，将△ABC
绕点 C 顺时针旋转 90°得到△A'B'C，P 为线段 A′B'上的动点，以点 P 为圆心，PA′长为
半径作⊙P，当⊙P 与△ABC 的边相切时，⊙P 的半径为 或 ．17
【分析】分两种情形分别求解：如图 1 中，当⊙P 与直线 AC 相切于点 Q 时，如图 2 中，当⊙
P 与 AB 相切于点 T 时，
【解答】解：如图 1 中，当⊙P 与直线 AC 相切于点 Q 时，连接 PQ．
设 PQ=PA′=r，
∵PQ∥CA′，
∴ = ，
∴ = ，
∴r= ．
如图 2 中，当⊙P 与 AB 相切于点 T 时，易证 A′、B′、T 共线，
∵△A′BT∽△ABC，
∴ = ，
∴ = ，18
∴A′T= ，
∴r= A′T= ．
综上所述，⊙P 的半径为 或 ．
【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行
线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问
题．
11. （2018•山西•3 分）如图，在 Rt△ ABC 中 ，∠ ACB=900 ，AC=6，BC=8， 点 D 是 AB
的中点，以 CD 为直径作⊙ O， ⊙
O 分 别 与 AC，BC 交 于 点 E，F， 过 点 F 作 ⊙ O 的 切 线 FG， 交 AB 于 点 G， 则 FG
的 长 为_____.
【 答 案 】
【 考 点 】直角三角形斜中线，切线性质，平行线分线段成比例，三角函数
【 解 析 】连 接 OF
∵ FG 为⊙ 0 的切线∴ OF⊥ FG
∵ Rt△ ABC 中 ，D 为 AB 中 点
∴ CD=BD
∴ ∠ DCB=∠ B
∵ OC=OF
∴ ∠ OCF=∠ OFC
∴ ∠ CFO=∠ B
∴ OF∥ BD
12
519
∵ O 为 CD 中 点
∴ F 为 BC 中 点
∴ CF = BF= BC = 4
Rt△ ABC 中 ， s i n∠B =
Rt△ BGF 中 ， FG = BF sin ∠B = 4 × =
三.解答题
(要求同上一)
1. （2018•四川凉州•8 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O1 的坐标为（﹣4，0），以点 O1
为圆心，8 为半径的圆与 x 轴交于 A，B 两点，过 A 作直线 l 与 x 轴负方向相交成 60°的角，
且交 y 轴于 C 点，以点 O2（13，5）为圆心的圆与 x 轴相切于点 D．
（1）求直线 l 的解析式；
（2）将⊙O2 以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左平移，当⊙O2 第一次与⊙O1 外切时，求⊙O2
平移的时间．
【分析】（1）求直线的解析式，可以先求出 A、C 两点的坐标，就可以根据待定系数法求出
函数的解析式．
（2）设⊙O2 平移 t 秒后到⊙O3 处与⊙O1 第一次外切于点 P，⊙O3 与 x 轴相切于 D1 点，连接
O1O3，O3D1．
在直角△O1O3D1 中，根据勾股定理，就可以求出 O1D1，进而求出 D1D 的长，得到平移的时
间．
【解答】解：（1）由题意得 OA=|﹣4|+|8|=12，
1
2
3
5
3
5
12
520
∴A 点坐标为（﹣12，0）．
∵在 Rt△AOC 中，∠OAC=60°，
OC=OAtan∠OAC=12×tan60°=12 ．
∴C 点的坐标为（0，﹣12 ）．
设直线 l 的解析式为 y=kx+b，
由 l 过 A、C 两点，
得 ，解得
∴直线 l 的解析式为：y=﹣ x﹣12 ．
（2）如图，设⊙O2 平移 t 秒后到⊙O3 处与⊙O1 第一次外切于点 P，⊙O3 与 x 轴相切于 D1 点，
连接 O1O3，O3D1．
则 O1O3=O1P+PO3=8+5=13．
∵O3D1⊥x 轴，∴O3D1=5，
在 Rt△O1O3D1 中， ．
∵O1D=O1O+OD=4+13=17，∴D1D=O1D﹣O1D1=17﹣12=5，
∴ （秒）．
∴⊙O2 平移的时间为 5 秒．
【点评】本题综合了待定系数法求函数解析式，以及圆的位置关系，其中两圆相切时的辅助
线的作法是经常用到的．
2. （2018•山东枣庄•8 分）如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以 BC 为直
径作⊙O 交 AB 于点 D．
（1）求线段 AD 的长度；
（2）点 E 是线段 AC 上的一点，试问：当点 E 在什么位置时，直线 ED 与⊙O 相切？请说明
理由．21
【分析】（1）由勾股定理易求得 AB 的长；可连接 CD，由圆周角定理知 CD⊥AB，易知△ACD∽
△ABC，可得关于 AC、AD、AB 的比例关系式，即可求出 AD 的长．
（2）当 ED 与⊙O 相切时，由切线长定理知 EC=ED，则∠ECD=∠EDC，那么∠A 和∠DEC 就是
等角的余角，由此可证得 AE=DE，即 E 是 AC 的中点．在证明时，可连接 OD，证 OD⊥DE 即
可．
【解答】解：（1）在 Rt△ACB 中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm；
连接 CD，∵BC 为直径，
∴∠ADC=∠BDC=90°；
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB；
∴ ，∴ ；
（2）当点 E 是 AC 的中点时，ED 与⊙O 相切；
证明：连接 OD，
∵DE 是 Rt△ADC 的中线；
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD；
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD；
∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°；
∴ED⊥OD，
∴ED 与⊙O 相切．
【点评】此题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、切线
的判定等知识．22
3. （2018•四川成都•8 分）如图，在 中， ， 平分 交
于点 ， 为 上一点，经过点 ， 的 分别交 ， 于点 ， ，连接
交 于点 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）设 ， ，试用含 的代数式表示线段 的长；
（3）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）如图，链接 CD
∵AD 为∠BAC 的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD.
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠CAD.
∴OD∥AC.
又∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC 是⊙O 的切线.23
（2）连接 DF，
由（1）可知，BC 为切线，
∴∠FDC=∠DAF.
∴∠CDA=∠CFD.
∴∠AFD=∠ADB.
又∵∠BAD=∠DAF，
∴∆ABD∽∆ADF,
∴ ,
∴AD2=AB·AF.
∴AD2=xy,
∴AD=
（3）连接 EF
在 Rt∆BOD 中，sinB= ,
设圆的半径为 r，∴ ，
∴r=5.
∴AE=10,AB=18.
∵AE 是直径，∠AFE=90°,而∠C=90°，
∴EF∥BC,
∴∠AEF=∠B,24
∴sin∠AEF= .
∴AF=AE·sin∠AEF=10× = .
∵AF∥OD,
∴ ,
∴DG= AD.
∴AD= ,
∴DG=
【考点】切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接 OD，根据角平分线的性质及等腰三角形的性质，去证明∠ODC=90°
即可。(2)连接 DF，DE，根据圆的切线，可证得∠FDC=∠DAF，再证∠CDA=∠CFD=∠AED，根
据平角的定义可证得∠AFD=∠ADB，从而可证得△ABD∽△ABF，得出对应边成比例，可得出
答案。（3）连接 EF，在 Rt△BOD 中，利用三角函数的定义求出圆的半径、AE、AB 的长，再
证明 EF∥BC，得出∠B=∠AEF，利用锐角三角函数的定义求出 AF 的长，再根据 AF∥OD，得
出线段成比例，求出 DG 的长，然后可求出 AD 的长，从而可求得 DG 的长。
4（2018•山东菏泽•10 分）如图，△ABC 内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，过点 A 作 AD∥
BC，与∠ABC 的平分线交于点 D，BD 与 AC 交于点 E，与⊙O 交于点 F．
（1）求∠DAF 的度数；
（2）求证：AE2=EF•ED；
（3）求证：AD 是⊙O 的切线．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M5：圆周角定理；MD：切线的判定．
【分析】（1）求出∠ABC、∠ABD、∠CBD 的度数，求出∠D 度数，根据三角形内角和定理求
出∠BAF 和∠BAD 度数，即可求出答案；
（2）求出△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质得出即可；
（3）连接 AO，求出∠OAD=90°即可．
【解答】（1）解：∵AD∥BC，25
∴∠D=∠CBD，
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB= ×（180°﹣∠BAC）=72°，
∴∠AFB=∠ACB=72°，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC= 72°=36°，
∴∠D=∠CBD=36°，
∴∠BAD=180°﹣∠D﹣∠ABD=180°﹣36°﹣36°=108°，
∠BAF=180°﹣∠ABF﹣∠AFB=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴∠DAF=∠DAB﹣∠FAB=108°﹣72°=36°；
（2）证明：∵∠CBD=36°，∠FAC=∠CBD，
∴∠FAC=36°=∠D，
∵∠AED=∠AEF，
∴△AEF∽△DEA，
∴ = ，
∴AE2=EF×ED；
（3）证明：连接 OA、OF，
∵∠ABF=36°，
∴∠AOF=2∠ABF=72°，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA= ×（180°﹣∠AOF）=54°，
由（1）知∠ADF=36°，
∴∠OAD=36°+54°=90°，
即 OA⊥AD，
∵OA 为半径，
∴AD 是⊙O 的切线．26
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知
识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
5（2018•江苏扬州•10 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，AO⊥BC 于点 O，OE⊥AB 于点 E，以点
O 为圆心，OE 为半径作半圆，交 AO 于点 F．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若点 F 是 A 的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点 P 是 BC 边上的动点，当 PE+PF 取最小值时，直接写出 BP 的
长．
【分析】（1）作 OH⊥AC 于 H，如图，利用等腰三角形的性质得 AO 平分∠BAC，再根据角平
分线性质得 OH=OE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）先确定∠OAE=30°，∠AOE=60°，再计算出 AE=3 ，然后根据扇形面积公式，利用
图中阴影部分的面积=S△AOE﹣S 扇形 EOF 进行计算；
（3）作 F 点关于 BC 的对称点 F′，连接 EF′交 BC 于 P，如图，利用两点之间线段最短得
到此时 EP+FP 最小，通过证明∠F′=∠EAF′得到 PE+PF 最小值为 3 ，然后计算出 OP 和 OB
得到此时 PB 的长．
【解答】（1）证明：作 OH⊥AC 于 H，如图，
∵AB=AC，AO⊥BC 于点 O，
∴AO 平分∠BAC，
∵OE⊥AB，OH⊥AC，
∴OH=OE，
∴AC 是⊙O 的切线；
（2）解：∵点 F 是 AO 的中点，
∴AO=2OF=3，
而 OE=3，
∴∠OAE=30°，∠AOE=60°，
∴AE= OE=3 ，
∴图中阴影部分的面积=S△AOE﹣S 扇形 EOF= ×3×3 ﹣ = ；27
（3）解：作 F 点关于 BC 的对称点 F′，连接 EF′交 BC 于 P，如图，
∵PF=PF′，
∴PE+PF=PE+PF′=EF′，此时 EP+FP 最小，
∵OF′=OF=OE，
∴∠F′=∠OEF′，
而∠AOE=∠F′+∠OEF′=60°，
∴∠F′=30°，
∴∠F′=∠EAF′，
∴EF′=EA=3 ，
即 PE+PF 最小值为 3 ，
在 Rt△OPF′中，OP= OF′= ，
在 Rt△ABO 中，OB= OA= ×6=2 ，
∴BP=2 ﹣ = ，
即当 PE+PF 取最小值时，BP 的长为 ．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切
线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆
心作这条直线的垂线”．也考查了等腰三角形的性质和最短路径问题．
6 （2018•山东滨州•12 分）如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，AD⊥CD 于点 D，且 AC
平分∠DAB，求证：
（1）直线 DC 是⊙O 的切线；
（2）AC2=2AD•AO．28
【分析】（1）连接 OC，由 OA=OC、AC 平分∠DAB 知∠OAC=∠OCA=∠DAC，据此知 OC∥AD，根
据 AD⊥DC 即可得证；
（2）连接 BC，证△DAC∽△CAB 即可得．
【解答】解：（1）如图，连接 OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC 平分∠DAB，
∴∠OAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
又∵AD⊥CD，
∴OC⊥DC，
∴DC 是⊙O 的切线；
（2）连接 BC，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴AB=2AO，∠ACB=90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴ = ，即 AC2=AB•AD，
∵AB=2AO，
∴AC2=2AD•AO．29
【点评】本题主要考查圆的切线，解题的关键是掌握切线的判定、圆周角定理及相似三角形
的判定与性质．
7（2018•江西•8 分）如图，在 中， 为 上一点，以 为圆心， 长为半径作圆，与
相切于点 ，过点 作
交 的延长线于点 ,且 .
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 ， ,求 的长.
【解析】 （1）作 OE⊥AB 于点 E
∵ 切 BC 于点 C
∴OC⊥BC ∠ACB=90°
∵ AD⊥BD ∴∠D=90°
∴∠ABD＋∠BAD =90°
∠CBD＋∠BOC=90°
∵∠BOC=∠AOD ∠AOD=∠BAD
∴∠BOC=∠BAD
∴∠ABD=∠CBD
在△OBC 和△OBE 中
∴△OBC≌△OBE
∴OE=OC ∴OE 是⊙O 的半径
. ∵OE⊥AB ∴AB 为⊙O 的切线. ★★★
DO
A
CB
E
DO
A
CB30
（2） ∵tan∠ABC= ，BC=6
∴AC=8 ∴AB=
∵BE=BC=6 ∴AE=4
∵∠AOE=∠ABC ∴tan∠AOE= ∴EO=3
∴AO=5 OC=3 ∴BO=
在△AOD 和△BOC 中
∴△AOD∽△BOC ∴
即 ∴AD=
8（2018•江苏盐城•10 分）如图，在以线段 为直径的 上取一点，连接 、 .将
沿 翻折后得到 .
（1）试说明点 在 上；
（2）在线段 的延长线上取一点 ，使 .求证： 为 的切线；
（3）在（2）的条件下，分别延长线段 、 相交于点 ，若 ， ，求
线段 的长.
【答案】（1）解：连接 OC，OD，
由翻折可得 OD=OC，31
∵OC 是⊙O 的半径，
∴点 D 在⊙O 上。
（2）证明：∵点 D 在⊙O 上，∴∠ADB=90°，
由翻折可得 AC=AD，
∵AB2=AC·AE，
∴AB2=AD·AE，
∴ ，又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE~△ADB，
∴∠ABE=∠ADB=90°，
∵OB 是半径，
∴BE 为的⊙O 切线。
（3）解：设 EF=x，∵AB2=AC2+BC2=AC·AE，∴AE=5，DE=AE-AD=5-4=1，
∵∠BDF=∠C=90°，∠BFD=∠AFC，
∴△BDF~△ACF，
∴ 即
则 BF= ，
在 Rt△BDF 中，由勾股定理得 BD2+DF2=BF2 ，
则 22+（1+x）2=( )2 ，
解得 x1= ,x2=-1（舍去）,
则 EF=
【考点】点与圆的位置关系，切线的判定，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）要证明点 D 在⊙O 上，则需要证明点 D 到圆心的距离 OD 要等于半径，
由折叠易知 OD=OC；（2）证明 BE 为的⊙O 切线，由切线判定定理可得需要证明∠ABE=90°；
易知∠ADB=90°，由公共角∠BAE=∠DAB，则需要△ABE~△ADB，由 AB 2=AC·AE 和 AC=AD 可
证明；（3 ）易知∠BDF= ∠ADB=90° ，则△BDF 是一个直角三角形，由勾股定理可得
BD2+DF2=BF2 ，而 BD=BC=2，DF=DE+EF，EF 就是要求的，不妨先设 EF=x，看能否求出 DE 或
都 BF，求不出的话可用 x 表示出来，再代入 BD2+DF2=BF2 解得即可。
9．（2018·湖北省孝感·10 分）如图，△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，
交 AC 于点 E，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）已知 BD=2 ，CF=2，求 AE 和 BG 的长．32
【分析】（1）连接 OD，AD，由圆周角定理可得 AD⊥BC，结合等腰三角形的性质知 BD=CD，
再根据 OA=OB 知 OD∥AC，从而由 DG⊥AC 可得 OD⊥FG，即可得证；
（2）连接 BE．BE∥GF，推出△AEB∽△AFG，可得 = ，由此构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）连接 OD，AD，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，即 AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
又∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∵DG⊥AC，
∴OD⊥FG，
∴直线 FG 与⊙O 相切；
（2）连接 BE．∵BD=2 ，
∴ ，
∵CF=2，
∴DF= =4，
∴BE=2DF=8，
∵cos∠C=cos∠ABC，
∴ = ，
∴ = ，
∴AB=10，
∴AE= =6，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，33
∴BE∥GF，
∴△AEB∽△AFG，
∴ = ，
∴ = ，
∴BG= ．
【点评】本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及中位线定
理等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
10（2018·湖北省武汉· 8 分）如图，PA 是⊙O 的切线，A 是切点，AC 是直径，AB 是弦，
连接 PB、PC，PC 交 AB 于点 E，且 PA=PB．
（1）求证：PB 是⊙O 的切线；
（2）若∠APC=3∠BPC，求 的值．
【分析】（1）想办法证明△PAO≌△PBO．可得∠PAO=∠PBO=90°；
（2）首先证明 BC=2OK，设 OK=a，则 BC=2a，再证明 BC=PB=PA=2a，由△PAK∽△POA，可得
PA2=PK•PO，设 PK=x，则有：x 2+ax﹣4a2=0，解得 x= a（负根已经舍弃），推出 PK=
a，由 PK∥BC，可得 = = ；
【解答】（1）证明：连接 OP、OB．
∵PA 是⊙O 的切线，
∴PA⊥OA，
∴∠PAO=90°，
∵PA=PB，PO=PO，OA=OB，34
∴△PAO≌△PBO．
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴PB⊥OB，
∴PB 是⊙O 的切线．
（2）设 OP 交 AB 于 K．
∵AB 是直径，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵PA、PB 都是切线，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO，
∵OA=OB，
∴OP 垂直平分线段 AB，
∴OK∥BC，
∵AO=OC，
∴AK=BK，
∴BC=2OK，设 OK=a，则 BC=2a，
∵∠APC=3∠BPC，∠APO=∠OPB，
∴∠OPC=∠BPC=∠PCB，
∴BC=PB=PA=2a，
∵△PAK∽△POA，
∴PA2=PK•PO，设 PK=x，
则有：x2+ax﹣4a2=0，
解得 x= a（负根已经舍弃），
∴PK= a，
∵PK∥BC，
∴ = = ．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定和性质等知识，解题35
的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决
问题，属于中考常考题型．
11．（2018·湖南省常德·8 分）如图，已知⊙O 是等边三角形 ABC 的外接圆，点 D 在圆上，
在 CD 的延长线上有一点 F，使 DF=DA，AE∥BC 交 CF 于 E．
（1）求证：EA 是⊙O 的切线；
（2）求证：BD=CF．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，证明∠OAE=90°，可
得：AE 是⊙O 的切线；
（2）先根据等边三角形性质得：AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由四点共圆的性质得：∠ADF=
∠ABC=60°，
得△ADF 是等边三角形，证明△BAD≌△CAF，可得结论．
【解答】证明：（1）连接 OD，
∵⊙O 是等边三角形 ABC 的外接圆，
∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠BCA=60°，
∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，
∴AE 是⊙O 的切线；
（2）∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，
∵A、B、C、D 四点共圆，
∴∠ADF=∠ABC=60°，
∵AD=DF，
∴△ADF 是等边三角形，
∴AD=AF，∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠BAF=∠CAF，
在△BAD 和△CAF 中，36
∵ ，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形及外接圆，四点共圆等知识点的
综合运用，属于基础题，熟练掌握等边三角形的性质是关键．
12．（2018·湖南省衡阳·8 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠BAC 的平分线
交⊙O 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC 分别交 AC、AB 的延长线于点 E、F．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）若 AC=4，CE=2，求 的长度．（结果保留π）
【解答】解：（1）如图，连接 OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD 平分∠EAF，
∴∠DAE=∠DAO，
∴∠DAE=∠ADO，
∴OD∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF 是⊙O 的切线；
（2）如图，作 OG⊥AE 于点 G，
则 AG=CG= AC=2，∠OGE=∠E=∠ODE=90°，
∵OD=OG，37
∴四边形 ODEG 是正方形，
∴OA=OD=OG=CG+CE=2+2=4，∠DOG=90°，
在 Rt△AOG 中，∵OA=2AG，
∴∠AOG=30°，
∴∠BOD=60°，
则 的长度为 = ．
13.（2018·山东临沂·9 分）如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙
O 相切于点 D，OB 与⊙O 相交于点 E．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若 BD= ，BE=1．求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接 OD，作 OF⊥AC 于 F，如图，利用等腰三角形的性质得 AO⊥BC，AO 平分∠
BAC，再根据切线的性质得 OD⊥AB，然后利用角平分线的性质得到 OF=OD，从而根据切线的
判定定理得到结论；
（2）设⊙O 的半径为 r，则 OD=OE=r，利用勾股定理得到 r2+（ ）2=（r+1）2，解得 r=1，
则 OD=1，OB=2，利用含 30 度的直角三角三边的关系得到∠B=30°，∠BOD=60°，则∠
AOD=30°，于是可计算出 AD= OD= ，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S△
AOD﹣S 扇形 DOF 进行计算．
【解答】（1）证明：连接 OD，作 OF⊥AC 于 F，如图，
∵△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，
∴AO⊥BC，AO 平分∠BAC，
∵AB 与⊙O 相切于点 D，
∴OD⊥AB，
而 OF⊥AC，
∴OF=OD，
∴AC 是⊙O 的切线；
（2）解：在 Rt△BOD 中，设⊙O 的半径为 r，则 OD=OE=r，
∴r2+（ ）2=（r+1）2，解得 r=1，
∴OD=1，OB=2，38
∴∠B=30°，∠BOD=60°，
∴∠AOD=30°，
在 Rt△AOD 中，AD= OD= ，
∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S 扇形 DOF
=2× ×1× ﹣
= ﹣ ．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切
线．圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆
心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了等腰三角形
的性质．
14（2018·山东潍坊·8 分）如图，BD 为△ABC 外接圆⊙O 的直径，且∠BAE=∠C．
（1）求证：AE 与⊙O 相切于点 A；
（2）若 AE∥BC，BC=2 ，AC=2 ，求 AD 的长．
【分析】（1）连接 OA，根据同圆的半径相等可得：∠D=∠DAO，由同弧所对的圆周角相等及
已知得：∠BAE=∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD=90°，可得结论；
（2）先证明 OA⊥BC，由垂径定理得： ，FB= BC，根据勾股定理计算 AF、OB、AD 的
长即可．
【解答】证明：（1）连接 OA，交 BC 于 F，则 OA=OB，
∴∠D=∠DAO，
∵∠D=∠C，
∴∠C=∠DAO，39
∵∠BAE=∠C，
∴∠BAE=∠DAO，（2 分）
∵BD 是⊙O 的直径，
∴∠BAD=90°，
即∠DAO+∠BAO=90°，（3 分）
∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，
∴AE⊥OA，
∴AE 与⊙O 相切于点 A；（4 分）
（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，
∴OA⊥BC，（5 分）
∴ ，FB= BC，
∴AB=AC，
∵BC=2 ，AC=2 ，
∴BF= ，AB=2 ，
在 Rt△ABF 中，AF= =1，
在 Rt△OFB 中，OB2=BF2+（OB﹣AF）2，
∴OB=4，（7 分）
∴BD=8，
∴在 Rt△ABD 中，AD= = = =2 ．（8 分）
【点评】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握
切线的判定方法是关键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”．
15. （2018 年江苏省南京市）结果如此巧合!
下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，Rt△ABC 的内切圆与斜边 AB 相切于点 D，AD=3，BD=4，
求△ABC 的面积．
解：设△ABC 的内切圆分别与 AC、BC 相切于点 E、F，CE 的长为 x．
根据切线长定理，得 AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．40
根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2．
整理，得 x2+7x=12．
所以 S△ABC= AC•BC
= （x+3）（x+4）
= （x2+7x+12）
= ×（12+12）
=12．
小颖发现 12 恰好就是 3×4，即△ABC 的面积等于 AD 与 BD 的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：△ABC 的内切圆与 AB 相切于点 D，AD=m，BD=n．
可以一般化吗？
（1）若∠C=90°，求证：△ABC 的面积等于 mn．
倒过来思考呢？
（2）若 AC•BC=2mn，求证∠C=90°．
改变一下条件……
（3）若∠C=60°，用 m、n 表示△ABC 的面积．
【分析】（1）由切线长知 AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x，根据勾股定理得（x+m）2+（x+n）
2=（m+n）2，即 x2+（m+n）x=mn，再利用三角形的面积公式计算可得；
（2）由由 AC•BC=2mn 得（x+m）（x+n）=2mn，即 x2+（m+n）x=mn，再利用勾股定理逆定理
求证即可；
（3）作 AG⊥BC，由三角函数得 AG=AC•sin60°= （x+m），CG=AC•cos60°= （x+m）、
BG=BC﹣CG=（x+n）﹣ （x+m），在 Rt△ABG 中，根据勾股定理可得 x2+（m+n）x=3mn，最
后利用三角形的面积公式计算可得．
【解答】解：设△ABC 的内切圆分别与 AC、BC 相切于点 E、F，CE 的长为 x，41
根据切线长定理，得：AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x，
（1）如图 1，
在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，得：（x+m）2+（x+n）2=（m+n）2，
整理，得：x2+（m+n）x=mn，
所以 S△ABC= AC•BC
= （x+m）（x+n）
= [x2+（m+n）x+mn]
= （mn+mn）
=mn，
（2）由 AC•BC=2mn，得：（x+m）（x+n）=2mn，
整理，得：x2+（m+n）x=mn，
∴AC2+BC2=（x+m）2+（x+n）2
=2[x2+（m+n）x]+m2+n2
=2mn+m2+n2
=（m+n）2
=AB2，
根据勾股定理逆定理可得∠C=90°；
（3）如图 2，过点 A 作 AG⊥BC 于点 G，42
在 Rt△ACG 中，AG=AC•sin60°= （x+m），CG=AC•cos60°= （x+m），
∴BG=BC﹣CG=（x+n）﹣ （x+m），
在 Rt△ABG 中，根据勾股定理可得：[ （x+m）]2+[（x+n）﹣ （x+m）]2=（m+n）2，
整理，得：x2+（m+n）x=3mn，
∴S△ABC= BC•AG
= ×（x+n）• （x+m）
= [x2+（m+n）x+mn]
= ×（3mn+mn）
= mn．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握切线长定理的运用、三角函数的应
用及勾股定理及其逆定理等知识点．
16（2018 年江苏省泰州市•10 分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠ABC 的平分
线交⊙O 于点 D，DE⊥BC 于点 E．
（1）试判断 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，若 BE=3 ，DF=3，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，
进而得出答案；43
（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．
【解答】解：（1）DE 与⊙O 相切，
理由：连接 DO，
∵DO=BO，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D，
∴∠EBD=∠DBO，
∴∠EBD=∠BDO，
∴DO∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠EDO=90°，
∴DE 与⊙O 相切；
（2）∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D，DE⊥BE，DF⊥AB，
∴DE=DF=3，
∵BE=3 ，
∴BD= =6，
∵sin∠DBF= = ，
∴∠DBA=30°，
∴∠DOF=60°，
∴sin60°= = = ，
∴DO=2 ，
则 FO= ，
故图中阴影部分的面积为： ﹣ × ×3=2π﹣ ．
【点评】此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出 DO 的长是解
题关键．44
17 （2018•湖南省永州市•10 分）如图，线段 AB 为⊙O 的直径，点 C，E 在⊙O 上， = ，
CD⊥AB，垂足为点 D，连接 BE，弦 BE 与线段 CD 相交于点 F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若 cos∠ABE= ，在 AB 的延长线上取一点 M，使 BM=4，⊙O 的半径为 6．求证：直线 CM
是⊙O 的切线．
【分析】（1）延长 CD 交⊙O 于 G，如图，利用垂径定理得到 = ，则可证明 = ，然
后根据圆周角定理得∠CBE=∠GCB，从而得到 CF=BF；
（2）连接 OC 交 BE 于 H，如图，先利用垂径定理得到 OC⊥BE，再在 Rt△OBH 中利用解直角
三角形得到 BH= ，OH= ，接着证明△OHB∽△OCM 得到∠OCM=∠OHB=90°，然后根据切
线的判定定理得到结论．
【解答】证明：（1）延长 CD 交⊙O 于 G，如图，
∵CD⊥AB，
∴ = ，
∵ = ，
∴ = ，
∴∠CBE=∠GCB，
∴CF=BF；
（2）连接 OC 交 BE 于 H，如图，
∵ = ，
∴OC⊥BE，
在 Rt△OBH 中，cos∠OBH= = ，
∴BH= ×6= ，
∴OH= = ，45
∵ = = ， = = ，
∴ = ，
而∠HOB=∠COM，
∴△OHB∽△OCM，
∴∠OCM=∠OHB=90°，
∴OC⊥CM，
∴直线 CM 是⊙O 的切线．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也
考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．
18. （2018·新疆生产建设兵团·12 分）如图，PA 与⊙O 相切于点 A，过点 A 作 AB⊥OP，垂
足为 C，交⊙O 于点 B．连接 PB，AO，并延长 AO 交⊙O 于点 D，与 PB 的延长线交于点 E．
（1）求证：PB 是⊙O 的切线；
（2）若 OC=3，AC=4，求 sinE 的值．
【分析】（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接 OBB，证明 OB⊥PE
即可．
（2）要求 sinE，首先应找出直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可．而 sinE 既可
放在直角三角形 EAP 中，也可放在直角三角形 EBO 中，所以利用相似三角形的性质求出 EP
或 EO 的长即可解决问题46
【解答】（1）证明：连接 OB∵PO⊥AB，
∴AC=BC，
∴PA=PB
在△PAO 和△PBO 中
∴△PAO 和≌△PBO
∴∠OBP=∠OAP=90°
∴PB 是⊙O 的切线．
（2）连接 BD，则 BD∥PO，且 BD=2OC=6
在 Rt△ACO 中，OC=3，AC=4
∴AO=5
在 Rt△ACO 与 Rt△PAO 中，
∠APO=∠APO，
∠PAO=∠ACO=90°
∴△ACO∼△PAO
=
∴PO= ，PA=
∴PB=PA=
在△EPO 与△EBD 中，
BD∥PO
∴△EPO∽△EBD
∴ = ，
解得 EB= ，
PE= ，
∴sinE= =47
【点评】本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质．能够通过作辅助线将所求的
角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．
19. （2018·四川宜宾·10 分）如图，AB 为圆 O 的直径，C 为圆 O 上一点，D 为 BC 延长线
一点，且 BC=CD，CE⊥AD 于点 E．
（1）求证：直线 EC 为圆 O 的切线；
（2）设 BE 与圆 O 交于点 F，AF 的延长线与 CE 交于点 P，已知∠PCF=∠CBF，PC=5，PF=4，
求 sin∠PEF 的值．
【考点】ME：切线的判定与性质；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形．
【分析】（1）说明 OC 是△BDA 的中位线，利用中位线的性质，得到∠OCE=∠CED=90°，从
而得到 CE 是圆 O 的切线．
（2）利用直径上的圆周角，得到△PEF 是直角三角形，利用角相等，可得到△PEF∽△PEA、△PCF
∽△PAC，从而得到 PC=PE=5．然后求出 sin∠PEF 的值．
【解答】解：（1）证明：∵CE⊥AD 于点 E
∴∠DEC=90°，
∵BC=CD，
∴C 是 BD 的中点，又∵O 是 AB 的中点，
∴OC 是△BDA 的中位线，
∴OC∥AD48
∴∠OCE=∠CED=90°
∴OC⊥CE，又∵点 C 在圆上，
∴CE 是圆 O 的切线．
（2）连接 AC
∵AB 是直径，点 F 在圆上
∴∠AFB=∠PFE=90°=∠CEA
∵∠EPF=∠EPA
∴△PEF∽△PEA
∴PE2=PF×PA
∵∠FBC=∠PCF=∠CAF
又∵∠CPF=∠CPA
∴△PCF∽△PAC
∴PC2=PF×PA
∴PE=PC
在直角△PEF 中，sin∠PEF= = ．
【点评】本题考查了切线的判定、三角形的中位线定理、相似三角形的性质和判定等知识
点．利用三角形相似，说明 PE=PC 是解决本题的难点和关键．
20. （2018·天津·10 分）已知 是 的直径，弦 与 相交， .
（Ⅰ）如图①，若 为 的中点，求 和 的大小；
（Ⅱ）如图②，过点 作 的切线，与 的延长线交于点 ，若 ，求 的大小.
【答案】（1）52°，45°；（2）26°49
【解析】分析：（Ⅰ）运用直径所对的圆周角是直角以及圆周角的度数等于它所对弧的度数
求解即可；
（Ⅱ）运用圆周角定理求解即可.
详解：（Ⅰ）∵ 是 的直径，∴ .
∴ .
又∴ ，∴ .
由 为 的中点，得 .
∴ .
∴ .
（Ⅱ）如图，连接 .
∵ 切 于点 ，
∴ ，即 .
由 ，又 ，
∴ 是 的外角，
∴ .
∴ .
又 ，得 .
∴ .
点睛：本题考查了圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解
题的关键．
21. （2018·四川自贡·10 分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°．50
（1）作出经过点 B，圆心 O 在斜边 AB 上且与边 AC 相切于点 E 的⊙O（要求：用尺规作图，
保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设（1）中所作的⊙O 与边 AB 交于异于点 B 的另外一点 D，若⊙O 的直径为 5，BC=4；
求 DE 的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）
【分析】（1）作∠ABC 的角平分线交 AC 于 E，作 EO⊥AC 交 AB 于点 O，以 O 为圆心，OB 为半
径画圆即可解决问题；
（2）作 OH⊥BC 于 H．首先求出 OH、EC、BE，利用△BCE∽△BED，可得 = ，解决问题；
【解答】解：（1）⊙O 如图所示；
（2）作 OH⊥BC 于 H．
∵AC 是⊙O 的切线，
∴OE⊥AC，
∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°，
∴四边形 ECHO 是矩形，
∴OE=CH= ，BH=BC﹣CH= ，
在 Rt△OBH 中，OH= =2，
∴EC=OH=2，BE= =2 ，
∵∠EBC=∠EBD，∠BED=∠C=90°，
∴△BCE∽△BED，
∴ = ，
∴ = ，51
∴DE= ．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定
理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解
决问题，属于中考常考题型．
22．（2018•湖北黄石•8 分）如图，已知 A、B、C、D、E 是⊙O 上五点，⊙O 的直径 BE=2 ，∠
BCD=120°，A 为 的中点，延长 BA 到点 P，使 BA=AP，连接 PE．
（1）求线段 BD 的长；
（2）求证：直线 PE 是⊙O 的切线．
【分析】（1）连接 DB，如图，利用圆内接四边形的性质得∠DEB=60°，再根据圆周角定理
得到∠BDE=90°，然后根据含 30 度的直角三角形三边的关系计算 BD 的长；
（2）连接 EA，如图，根据圆周角定理得到∠BAE=90°，而 A 为 的中点，则∠ABE=45°，
再根据等腰三角形的判定方法，利用 BA=AP 得到△BEP 为等腰直角三角形，所以∠
PEB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论．
【解答】（1）解：连接 DB，如图，
∵∠BCD+∠DEB=90°，
∴∠DEB=180°﹣120°=60°，
∵BE 为直径，
∴∠BDE=90°，
在 Rt△BDE 中，DE= BE= ×2 = ，
BD= DE= × =3；
（2）证明：连接 EA，如图，
∵BE 为直径，
∴∠BAE=90°，
∵A 为 的中点，
∴∠ABE=45°，
∵BA=AP，
而 EA⊥BA，52
∴△BEP 为等腰直角三角形，
∴∠PEB=90°，
∴PE⊥BE，
∴直线 PE 是⊙O 的切线．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连
过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
23.（2018•湖北黄冈•7 分）如图，AD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，OP⊥AD，OP 与 AB 的延
长线交于点 P，过 B 点的切线交 OP 于点 C.
（1）求证：∠CBP=∠ADB.
（2）若 OA=2，AB=1，求线段 BP 的长.
（第 18 题图）
【考点】圆，切线的性质，相似三角形.
【分析】（1）连接 OB，证明∠OBD=∠CBP，又 OD=OB，∠OBD=∠ODB，∴∠ODB=∠CBP，即∠ADB=∠
CBP.
（2）证明 Rt△ADB∽Rt△APO，即可求得线段 BP 的长.
【解答】证：（1）连接 OB，则 OB⊥BC，∠OBD＋∠DBC＝90°，53
又 AD 为直径，∠DBP=∠DBC+∠CBP＝90°，
∴∠OBD=∠CBP
又 OD=OB，∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠CBP，即∠ADB=∠CBP.
解：（2）在 Rt△ADB 与 Rt△APO 中，∠DAB＝∠PAO，
Rt△ADB∽Rt△APO
AB=1，AO=2，AD=4， = ，
AP=8，
∴BP=AP-AB=8-1=7.
【点评】本题考查了圆，直径所对的圆周角是直角，切线的性质，相似三角形的判定和性质.
（1）连接 OB 是解决问题的关键；（2）证明 Rt△ADB∽Rt△APO 是解决问题的关键。
24（2018•河南•9 分）如图，AB 是圆 0 的直径，DO 垂直于点 O，连接 DA 交圆 O 于点 C，过
点 C 作圆 O 的切线交 DO 于点 E，连接 BC 交 DO 于点 F。
（1）求证：CE=EF；
（2）连接 AF 并延长，交圆 O 于点 G，填空：
①当∠D 的度数为______时，四边形 ECFG 为菱形；
②当∠D 的度数为______时，四边形 ECOG 为正方形。
AO
AB
AP
AD54
25．（2018•湖北恩施•10 分）如图，AB 为⊙O 直径，P 点为半径 OA 上异于 O 点和 A 点的一个
点，过 P 点作与直径 AB 垂直的弦 CD，连接 AD，作 BE⊥AB，OE∥AD 交 BE 于 E 点，连接 AE、
DE、AE 交 CD 于 F 点．
（1）求证：DE 为⊙O 切线；
（2）若⊙O 的半径为 3，sin∠ADP= ，求 AD；
（3）请猜想 PF 与 FD 的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）如图 1，连接 OD、BD，根据圆周角定理得：∠ADB=90°，则 AD⊥BD，OE⊥BD，
由垂径定理得：BM=DM，证明△BOE≌△DOE，则∠ODE=∠OBE=90°，可得结论；
（2）设 AP=a，根据三角函数得：AD=3a，由勾股定理得：PD=2 a，在直角△OPD 中，根据
勾股定理列方程可得：32=（3﹣a）2+（2 a）2，解出 a 的值可得 AD 的值；55
（3）先证明△APF∽△ABE，得 ，由△ADP∽△OEB，得 ，可得 PD=2PF，可
得结论．
【解答】证明：（1）如图 1，连接 OD、BD，BD 交 OE 于 M，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，AD⊥BD，
∵OE∥AD，
∴OE⊥BD，
∴BM=DM，
∵OB=OD，
∴∠BOM=∠DOM，
∵OE=OE，
∴△BOE≌△DOE（SAS），
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴DE 为⊙O 切线；
（2）设 AP=a，
∵sin∠ADP= = ，
∴AD=3a，
∴PD= = =2 a，
∵OP=3﹣a，
∴OD2=OP2+PD2，
∴32=（3﹣a）2+（2 a）2，
9=9﹣6a+a2+8a2，
a1= ，a2=0（舍），
当 a= 时，AD=3a=2，
∴AD=2；
（3）PF=FD，
理由是：∵∠APD=∠ABE=90°，∠PAD=∠BAE，
∴△APF∽△ABE，
∴ ，
∴PF= ，56
∵OE∥AD，
∴∠BOE=∠PAD，
∵∠OBE=∠APD=90°，
∴△ADP∽△OEB，
∴ ，
∴PD= ，
∵AB=2OB，
∴PD=2PF，
∴PF=FD．
【点评】本题考查了圆的综合问题，熟练掌握切线的判定，锐角三角函数，圆周角定理，垂
径定理等知识点的应用，难度适中，连接 BD 构造直角三角形是解题的关键．
26（2018•湖北荆门•10 分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，经过点 C 的切线交 AB
的延长线于点 E，AD⊥EC 交 EC 的延长线于点 D，AD 交⊙O 于 F，FM⊥AB 于 H，分别交⊙O、AC
于 M、N，连接 MB，BC．
（1）求证：AC 平分∠DAE；
（2）若 cosM= ，BE=1，①求⊙O 的半径；②求 FN 的长．
【分析】（1）连接 OC，如图，利用切线的性质得 OC⊥DE，则判断 OC∥AD 得到∠1=∠3，加
上∠2=∠3，从而得到∠1=∠2；
（2）①利用圆周角定理和垂径定理得到 = ，则∠COE=∠FAB，所以∠FAB=∠M=∠COE，57
设⊙O 的半径为 r，然后在 Rt△OCE 中利用余弦的定义得到 = ，从而解方程求出 r 即可；
②连接 BF，如图，先在 Rt△AFB 中利用余弦定义计算出 AF= ，再计算出 OC=3，接着证明△
AFN∽△AEC，然后利用相似比可计算出 FN 的长．
【解答】（1）证明：连接 OC，如图，
∵直线 DE 与⊙O 相切于点 C，
∴OC⊥DE，
又∵AD⊥DE，
∴OC∥AD．
∴∠1=∠3
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC 平方∠DAE；
（2）解：①∵AB 为直径，
∴∠AFB=90°，
而 DE⊥AD，
∴BF∥DE，
∴OC⊥BF，
∴ = ，
∴∠COE=∠FAB，
而∠FAB=∠M，
∴∠COE=∠M，
设⊙O 的半径为 r，
在 Rt△OCE 中，cos∠COE= = ，即 = ，解得 r=4，
即⊙O 的半径为 4；
②连接 BF，如图，
在 Rt△AFB 中，cos∠FAB= ，
∴AF=8× =
在 Rt△OCE 中，OE=5，OC=4，
∴CE=3，
∵AB⊥FM，58
∴ ，
∴∠5=∠4，
∵FB∥DE，
∴∠5=∠E=∠4，
∵ = ，
∴∠1=∠2，
∴△AFN∽△AEC，
∴ = ，即 = ，
∴FN= ．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连
过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理、圆周角定理和相似三角形
的判定与性质．
27.（2018•河北•10 分）如图 15，点 在数轴上对应的数为 26，以原点 为圆心， 为
半径作优弧 ，使点 在 右下方，且 .在优弧 上任取一点 ，且能
过 作直线 交数轴于点 ，设 在数轴上对应的数为 ，连接 .
（1）若优弧 上一段 的长为 ，求 的度数及 的值；
（2）求 的最小值，并指出此时直线与 所在圆的位置关系；
（3）若线段 的长为 ，直接写出这时 的值.
A O OA
AB B O 4tan 3AOB∠ = AB P
P / /l OB Q Q x OP
AB AP 13π AOP∠ x
x AB
PQ 12.5 x59
28．（2018 四川省泸州市 12 分）如图，已知 AB，CD 是⊙O 的直径，过点 C 作⊙O 的切线交 AB
的延长线于点 P，⊙O 的弦 DE 交 AB 于点 F，且 DF=EF．
（1）求证：CO2=OF•OP；
（2）连接 EB 交 CD 于点 G，过点 G 作 GH⊥AB 于点 H，若 PC=4 ，PB=4，求 GH 的长．
【分析】（1）想办法证明△OFD∽△OCP，可得 = ，由 OD=OC，可得结论；
（2）如图作 CM⊥OP 于 M，连接 EC、EO．设 OC=OB=r．在 Rt△POC 中，利用勾股定理求出 r，
再利用面积法求出 CM，由四边形 EFMC 是矩形，求出 EF，在 Rt△EOF 中，求出 OF，再求出
EC，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵PC 是⊙O 的切线，60
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∵AB 是直径，EF=FD，
∴AB⊥ED，
∴∠OFD=∠OCP=90°，
∵∠FOD=∠COP，
∴△OFD∽△OCP，
∴ = ，∵OD=OC，
∴OC2=OF•OP．
（2）解：如图作 CM⊥OP 于 M，连接 EC、EO．设 OC=OB=r．
在 Rt△POC 中，∵PC2+OC2=PO2，
∴（4 ）2+r2=（r+4）2，
∴r=2，
∵CM= = ，
∵DC 是直径，
∴∠CEF=∠EFM=∠CMF=90°，
∴四边形 EFMC 是矩形，
∴EF=CM= ，
在 Rt△OEF 中，OF= = ，
∴EC=2OF= ，
∵EC∥OB，
∴ = = ，
∵GH∥CM，61
∴ = = ，
∴GH= ．
【点评】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、平行线分线
段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考
题型．
29(2018 四川省绵阳市)如图，AB 是 的直径，点 D 在 上（点 D 不与 A，B 重合），直
线 AD 交过点 B 的切线于点 C，过点 D 作 的切线 DE 交 BC 于点 E。
（1）求证：BE=CE；
（2）若 DE 平行 AB，求 的值。
【答案】（1）证明：连接 OD、BD，
∵EB、ED 分别为圆 O 的切线，
∴ED=EB，
∴∠EDB=∠EBD，
又∵AB 为圆 O 的直径，
∴BD⊥AC，
∴∠BDE+∠CDE=∠EBD+∠DCE，
∴∠CDE=∠DCE，
∴ED=EC，
∴EB=EC.
（2）解：过 O 作 OH⊥AC，设圆 O 半径为 r，62
∵DE∥AB，DE、EB 分别为圆 O 的切线，
∴四边形 ODEB 为正方形，
∵O 为 AB 中点，
∴D、E 分别为 AC、BC 的中点，
∴BC=2r，AC=2 r，
在 Rt△COB 中，
∴OC= r，
又∵ = ·AO·BC= ·AC·OH，
∴r×2r=2 r×OH,
∴OH= r，
在 Rt△COH 中，
∴sin∠ACO= = = .
【考点】三角形的面积，正方形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数的定义，切线长
定理
【解析】【分析】（1）证明：连接 OD、BD，由切线长定理得 ED=EB，由等腰三角形性质得∠EDB=
∠EBD；根据圆周角定理得 BD⊥AC，由等角的余角相等得∠CDE=∠DCE，再由等腰三角形性
质和等量代换可得 EB=EC.（2）过 O 作 OH⊥AC，设圆 O 半径为 r，根据切线长定理和正方形
的判定可得四边形 ODEB 为正方形，从而得出 D、E 分别为 AC、BC 的中点，从而得 BC=2r，AC=2
r，在 Rt△COB 中，
再根据勾股定理得 OC= r；由 = ·AO·BC= .AC.OH 求出 OH= r，在 Rt△COH
中，
根据锐角三角函数正弦的定义即可得出答案.63
30. （2018•甘肃白银，定西，武威）如图，点 是 的边 上一点， 与边 相切
于点 ，与边 ， 分别相交于点 ， ，且 .
（1）求证： ；
（2）当 ， 时，求 的长.
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】【分析】（1）连接 OE,BE．证明 OE∥BC. OE⊥AC．根据平行线的性质得到
BC⊥AC,即可证明 ；
（2）在△ABC 中，∠C=90°，BC=3， ，求得 AB=5．在 Rt △AOE 中， ,
． ．
【解答】（1）证明：连接 OE,BE．
∵ DE=EF，
∴ = ,
∴
∵
∴
∴
∴OE∥BC.
∵⊙O 与边 AC 相切于点 E，
∴ OE⊥AC．
∴BC⊥AC,
∴∠C=90°.
（2）在△ABC 中，∠C=90°，BC=3， ，64
∴AB=5．
设⊙O 的半径为 r，则
在 Rt △AOE 中， ,
∴ ．
∴ ．
【点评】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形，题目比较典型，综合
性比较强，难度适中．
31. （2018•甘肃白银，定西，武威）如图，在 中， .
（1）作 的平分线交 边于点 ，再以点 为圆心， 的长为半径作 ；（要求：
不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中 与 的位置关系，直接写出结果.
【答案】（1）作图见解析；（2）AC 与⊙O 相切．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法求出角平分线 CO；
（2）过 O 作 OD⊥AC 交 AC 于点 D，先根据角平分线的性质求出 DO=BO，再根据切线的判定定
理即可得出答案．
【解答】（1）如图,作出角平分线 CO;
作出⊙O.65
（2）AC 与⊙O 相切.
【点评】考查作图—复杂作图，直线与圆的位置关系，熟练掌握角平分线的作法是解题的关
键.
32．（2018•北京•5 分）如图， 是 的直径，过 外一点 作 的两条切线 ，
，切点分别为 ， ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）连接 ， ，若 ， ， ，求 的长．
【解析】（1）证明：∵ 、 与 相切于 、 ．
∴ ， 平分 ．
在等腰 中， ， 平分 ．
∴ 于 ，即 ．
（2）解：连接 、 ．
∵
∴
∴
同理：
∴ ．
在等腰 中， ．
∴ ．
AB O O P O PC
PD C D OP CD
OP CD⊥
AD BC 50DAB∠ = ° 70CBA∠ = ° 2OA = OP
PD
C
O BA
PC PD O⊙ C D
PC PD= OP CPD∠
PCD△ PC PD= PQ CPD∠
PQ CD⊥ Q OP CD⊥
OC OD
OA OD=
50OAD ODA∠ = ∠ = °
180 80AOD OAD ODA∠ = ° − ∠ − ∠ = °
40BOC∠ = °
180 60COD AOD BOC∠ = ° − ∠ − ∠ = °
COD△ OC OD= OQ CD⊥
1 302DOQ COD∠ = ∠ = °
Q
PD
C
O BA66
∵ 与 相切于 ．
∴ ．
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
【考点】切线的性质，切线长定理，锐角三角函数
PD O⊙ D
OD DP⊥
90ODP∠ = °
Rt ODP△ 90ODP∠ = ° 30POD∠ = °
2 4 3cos cos30 33
2
OD OAOP POD
= = = =∠ °
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