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一元二次方程及其应用
一、选择题
1. （2018•山东菏泽•3 分）关于 x 的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1=0 有两个实数根，则 k 的取值范围是（ ）
A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0 且 k≠﹣1 D．k≤0 且 k≠﹣1
【考点】AA：根的判别式；A1：一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k+1≠0 且△=（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，然后求出两个不等式
的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得 k+1≠0 且△=（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，
解得 k≤0 且 k≠﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0 时，方
程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程无实数根．
2. （2018•江苏盐城•3 分）已知一元二次方程 有一个根为 1，则 的值为（ ）
A. -2 B. 2 C. -4 D. 4
8.【答案】B
【考点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把 x=1 代入方程可得 1+k-3=0，解得 k=2。故答案为：B
【分析】将 x=1 代入原方程可得关于 k 的一元一次方程，解之即可得 k 的值。
3．（2018•山西•3 分）用配方法将二次函 数 y = x2 − 8x − 9 化为 y = a(x − h)2 + k 的形式为（）
A. y = (x − 4)2 + 7 B. y = (x − 4)2 − 25 C. y = (x + 4)2 + 7 D. y = (x + 4)2 − 25
【答案】 B
【考点】 二 次 函 数 的 顶 点 式
【解析】 y = x2 − 8x − 9 = x2 − 8x +16 −16 − 9 = (x − 4)2 − 25
4． （2018•山西•3 分）下列一元二次方程 中 ，没有实数根的是 （ ）
A. x2 − 2x = 0 B. x2 + 4x −1 = 0 C. 2x2 − 4x + 3 = 0 D. 3x2 = 5x − 22
【答案】 C
【考点】 一 元 二 次 方 程 根 的 判 别 式
【解析 】△＞ 0，有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ，△ =0，有 两 个 相 等 的 实
数 根 ，△ ＜ 0，没 有 实 数 根 .
A.△ =4 B.△ =20 C. △ =-8 D. △ =1
5.（2018·山东临沂·3 分）一元二次方程 y2﹣y﹣ =0 配方后可化为（ ）
A．（y+ ）2=1 B．（y﹣ ）2=1 C．（y+ ）2= D．（y﹣ ）2=
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：y2﹣y﹣ =0
y2﹣y=
y2﹣y+ =1
（y﹣ ）2=1
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题
型．
6. （2018•安徽•4 分） 若关于的一元二次方程 x(x+1)+ax=0 有两个相等的实数根，则实数
a 的值为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】【分析】整理成一般式后，根据方程有两个相等的实数根，可得△=0，得到关于 a
的方程，解方程即可得.
【详解】x(x+1)+ax=0，
x2+(a+1)x=0，
由方程有两个相等的实数根，可得△=（a+1）2-4×1×0=0，
解得：a1=a2=-1，
故选 A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．3
7. （2018•甘肃白银，定西，武威•3 分） 关于 的一元二次方程 有两个实数根，
则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】关于 的一元二次方程 有两个实数根，得 解不
等式即可.
【解答】关于 的一元二次方程 有两个实数根，
得
解得：
故选 C.
【点评】考查一元二次方程 根的判别式 ，
当 时，方程有两个不相等的实数根.
当 时，方程有两个相等的实数根.
当 时，方程没有实数根.
8. （2018•安徽•4 分） 据省统计局发布，2017 年我省有效发明专利数比 2016 年增长 22.1%
假定 2018 年的平均增长率保持不变，2016 年和 2018 年我省有效发明专利分别为 a 万件和
b 万件，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】根据题意可知 2017 年我省有效发明专利数为（1+22.1%）a 万件，2018 年
我省有效发明专利数为（1+22.1%）•（1+22.1%）a，由此即可得.
【详解】由题意得：2017 年我省有效发明专利数为（1+22.1%）a 万件，
2018 年我省有效发明专利数为（1+22.1%）•（1+22.1%）a 万件，即 b=（1+22.1%）
2a 万件，
故选 B.
【点睛】本题考查了增长率问题，弄清题意，找到各量之间的数量关系是解题的关键.
9. （2018 年江苏省泰州市•3 分）已知 x1、x2 是关于 x 的方程 x2﹣ax﹣2=0 的两根，下列结
论一定正确的是（ ）
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出 x1≠x2，结论 A
正确；4
B、根据根与系数的关系可得出 x1+x2=a，结合 a 的值不确定，可得出 B 结论不一定正确；
C、根据根与系数的关系可得出 x1•x2=﹣2，结论 C 错误；
D、由 x1•x2=﹣2，可得出 x1＜0，x2＞0，结论 D 错误．
综上即可得出结论．
【解答】解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，
∴x1≠x2，结论 A 正确；
B、∵x1、x2 是关于 x 的方程 x2﹣ax﹣2=0 的两根，
∴x1+x2=a，
∵a 的值不确定，
∴B 结论不一定正确；
C、∵x1、x2 是关于 x 的方程 x2﹣ax﹣2=0 的两根，
∴x1•x2=﹣2，结论 C 错误；
D、∵x1•x2=﹣2，
∴x1＜0，x2＞0，结论 D 错误．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0 时，方程有两个不相
等的实数根”是解题的关键．
10. （2018·四川宜宾·3 分）某市从 2017 年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，
该市 2017 年“竹文化”旅游收入约为 2 亿元．预计 2019“竹文化”旅游收入达到 2.88 亿
元，据此估计该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A．2% B．4.4% C．20% D．44%
【考点】AD：一元二次方程的应用．
【分析】设该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为 x，根据 2017 年及
2019 年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得
出结论．
【解答】解：设该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为 x，
根据题意得：2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为 20%．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
11. （2018·四川宜宾·3 分）一元二次方程 x 2﹣2x=0 的两根分别为 x1 和 x2，则 x1x2 为
（ ）5
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
【考点】AB：根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系可得出 x1x2=0，此题得解．
【解答】解：∵一元二次方程 x2﹣2x=0 的两根分别为 x1 和 x2，
∴x1x2=0．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于 是解题的关键．
12. （2018·台湾·分）若一元二次方程式 x2﹣8x﹣3×11=0 的两根为 a、b，且 a＞b，则
a﹣2b 之值为何？（ ）
A．﹣25 B．﹣19 C．5 D．17
【分析】先利用因式分解法解方程得到 a=11，b=﹣3，然后计算代数式 a﹣2b 的值．
【解答】解：（x﹣11）（x+3）=0，
x﹣11=0 或 x﹣3=0，
所以 x1=11，x2=﹣3，
即 a=11，b=﹣3，
所以 a﹣2b=11﹣2×（﹣3）=11+6=17．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为
0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能
为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方
程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
13.（2018·广东·3 分）关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+m=0 有两个不相等的实数根，则实
数 m 的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m≤ C．m＞ D．m≥
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围即
可．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+m=0 有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
∴m＜ ．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔6
方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没
有实数根．
14. （2018•广西桂林•3 分）已知关于 x 的一元二次方程 有两个相等的实根，
则 k 的值为（ ）
A. B. C. 2 或 3 D. 或
【答案】A
【解析】分析：根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于 k 的一元一次方
程，解之即可得出结论．
详解：∵方程 有两个相等的实根，
∴△=k2-4×2×3=k2-24=0，
解得：k= ．
故选：A．
点睛：本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0 时，方程有两个相等的两个实数根．”
是解题的关键．
15. (2018 四川省绵阳市)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，则参
加酒会的人数为（ ）
A.9 人
B.10 人
C.11 人
D.12 人
【答案】C
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设参加酒会的人数为 x 人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案为：C.
【分析】设参加酒会的人数为 x 人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，列出
一元二次方程，解之即可得出答案.
16. (2018 四川省眉山市 2 分 ) 我市某楼盘准备以每平方 6000 元的均价对外销售，由于国
务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价7
格经过连续两次下调后，决定以每平方 4860 元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率
是（ ）。
A.8%
B.9%
C.10%
D.11%
【答案】C
【考点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次下调的百分率是 x,依题可得：
6000（1-x）2=4860，
∴（1-x）2=0.81，
∴1-x= 0.9,
∴x1=0.1,x2=1.9（舍）,
故答案为:C.
【分析】设平均每次下调的百分率是 x,根据题意可列一元二次方程，解之即可得出答案.
17（2018 四川省泸州市 3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+k﹣1=0 有两个不相等的
实数根，则实数 k 的取值范围是（ ）
A．k≤2 B．k≤0 C．k＜2 D．k＜0
【分析】利用判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，
解得 k＜2．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac 有
如下关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两个相等的实数根；
当△＜0 时，方程无实数根．
18. (2018 四川省眉山市 2 分 ) 若 α，β 是一元二次方程 3x2+2x－9=0 的两根，则 +
的值是（ ）。
A.
B.－
C.－ 8
D.
【答案】C
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵α，β是一元二次方程 3x2+2x－9=0 的两根，
∴α+β=- ，αβ=- =-3，
∴ + = .
故答案为:C.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出 α+β=- ，αβ=- =-3，再将原式通分
变形，代入数值即可得出答案.
19.（2018·山东泰安·3 分）一元二次方程（x+1）（x﹣3）=2x﹣5根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于 3 D．有两个正根，且有一根大于 3
【分析】直接整理原方程，进而解方程得出 x 的值．
【解答】解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5
整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，
则 x2﹣4x+2=0，
（x﹣2）2=2，
解得：x1=2+ ＞3，x2=2﹣ ，
故有两个正根，且有一根大于 3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键．
20.（2018•河南•3 分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A.x2+6x+9=0 B.x2=x C.x2+3=2x D.(x-1)2+1=0
21.（2018·山东潍坊·3 分）已知关于 x 的一元二次方程 mx2﹣（m+2）x+ =0 有两个不相
等的实数根 x1，x2．若 + =4m，则 m 的值是（ ）9
A．2 B．﹣1 C．2 或﹣1 D．不存在
【分析】先由二次项系数非零及根的判别式△＞0，得出关于 m 的不等式组，解之得出 m 的
取值范围，再根据根与系数的关系可得出 x1+x2= ，x1x2= ，结合 + =4m，即可求
出 m 的值．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 mx2﹣（m+2）x+ =0 有两个不相等的实数根 x1、x2，
∴ ，
解得：m＞﹣1 且 m≠0．
∵x1、x2 是方程 mx2﹣（m+2）x+ =0 的两个实数根，
∴x1+x2= ，x1x2= ，
∵ + =4m，
∴ =4m，
∴m=2 或﹣1，
∵m＞﹣1，
∴m=2．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：
（1）根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于 m 的不等式组；（2）牢记两根之
和等于﹣ 、两根之积等于 ．
二.填空题
(要求同上一.)
1．（2018 年四川省南充市）若 2n（n≠0）是关于 x 的方程 x2﹣2mx+2n=0 的根，则 m﹣n 的10
值为 ﹣ ．
【考点】A3：一元二次方程的解．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把 x=2n 代入方程得到 x2﹣2mx+2n=0，然后把等式
两边除以 n 即可．
【解答】解：∵2n（n≠0）是关于 x 的方程 x2﹣2mx+2n=0 的根，
∴4n2﹣4mn+2n=0，
∴4n﹣4m+2=0，
∴m﹣n=﹣ ．
故答案是：﹣ ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一
元二次方程的解．
2．（2018 年四川省内江市）已知关于 x 的方程 ax2+bx+1=0 的两根为 x1=1，x2=2，则方程 a
（x+1）2+b（x+1）+1=0 的两根之和为 1 ．
【考点】AB：根与系数的关系；A9：换元法解一元二次方程．
【分析】利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：设 x+1=t，方程 a（x+1）2+b（x+1）+1=0 的两根分别是 x3，x4，
∴at2+bt+1=0，
由题意可知：t1=1，t2=2，
∴t1+t2=3，
∴x3+x4+2=3
故答案为：1
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础
题型．
3．（2018 四川省泸州市 3 分）已知 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣2x﹣1=0 的两实数根，则
的值是 6 ．
【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出 x1+x2=2、x1x2=﹣1、 =2x1+1、
=2x2+1，将其代入 = 中即可得出结论．
【解答】解：∵x1、x2 是一元二次方程 x2﹣2x﹣1=0 的两实数根，11
∴x1+x2=2，x1x2=﹣1， =2x1+1， =2x2+1，
∴ = + = = = =6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，将代数式 变
形为 是解题的关键．
4．（2018 年四川省内江市）关于 x 的一元二次方程 x2+4x﹣k=0 有实数根，则 k 的取值范
围是 k≥﹣4 ．
【考点】AA：根的判别式．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于 k 的一元一次不等式，解之
即可得出结论．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2+4x﹣k=0 有实数根，
∴△=42﹣4×1×（﹣k）=16+4k≥0，
解得：k≥﹣4．
故答案为：k≥﹣4．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0 时，方程有实数根”是解题的关键．
5. （2018·湖南省常德·3 分）若关于 x 的一元二次方程 2x2+bx+3=0 有两个不相等的实数
根，则 b 的值可能是 6 （只写一个）．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于 b 的一元二次不等式，解之
即可得出 b 的取值范围，取其内的任意一值即可得出结论．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 2x2+bx+3=0 有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4×2×3＞0，
解得：b＜﹣2 或 b＞2 ．
故答案可以为：6．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题
的关键．
6.（2018·山东威海·3 分）关于 x 的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0 有实根，则 m 的最12
大整数解是 m=4 ．
【分析】若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于 m 的不等式，求
出 m 的取值范围．还要注意二次项系数不为 0．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0 有实根，
∴△=4﹣8（m﹣5）＞0，且 m﹣5≠0，
解得 m＜5.5，且 m≠5，
则 m 的最大整数解是 m=4．
故答案为：m=4．
【点评】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
7. （2018·四川自贡·4 分）若函数 y=x2+2x﹣m 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 m 的
值为 ﹣1 ．
【分析】由抛物线与 x 轴只有一个交点，即可得出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出 m
的值．
【解答】解：∵函数 y=x2+2x﹣m 的图象与 x 轴有且只有一个交点，
∴△=22﹣4×1×（﹣m）=0，
解得：m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，牢记“当△=b2﹣4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1
个交点”是解题的关键．
8. （2018•江苏扬州•3 分）若 m 是方程 2x 2﹣3x﹣1=0 的一个根，则 6m2﹣9m+2015 的值为
2018 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1=0，
∴2m2﹣3m=1
∴原式=3（2m2﹣3m）+2015=2018
故答案为：201813
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本
题属于基础题型．
9.（2018•江苏扬州•3 分）关于 x 的方程 mx2﹣2x+3=0 有两个不相等的实数根，那么 m 的取
值范围是 m＜ 且 m≠0 ．
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=4﹣12m＞0 且 m≠0，求出 m
的取值范围即可．
【解答】解：∵一元二次方程 mx2﹣2x+3=0 有两个不相等的实数根，
∴△＞0 且 m≠0，
∴4﹣12m＞0 且 m≠0，
∴m＜ 且 m≠0，
故答案为：m＜ 且 m≠0．
【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）根的判别式△
=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜
0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
10. （2018 年江苏省南京市•2 分）设 x1、x2 是一元二次方程 x2﹣mx﹣6=0 的两个根，且
x1+x2=1，则 x1= ﹣2 ，x2= 3 ．
【分析】根据根与系数的关系结合 x1+x2=1 可得出 m 的值，将其代入原方程，再利用因式分
解法解一元二次方程，即可得出结论．
【解答】解：∵x1、x2 是一元二次方程 x2﹣mx﹣6=0 的两个根，且 x1+x2=1，
∴m=1，
∴原方程为 x2﹣x﹣6=0，即（x+2）（x﹣3）=0，
解得：x1=﹣2，x2=3．
故答案为：﹣2；3．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，利用根与系数的关系
求出 m 的值是解题的关键．
11.（2018 年江苏省泰州市•3 分）已知 3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若 x≤y，则实数
a 的值为 3 ．
【分析】根据题意列出关于 x、y 的方程组，然后求得 x、y 的值，结合已知条件 x≤y 来求 a
的取值．14
【解答】解：依题意得： ，
解得
∵x≤y，
∴a2≤6a﹣9，
整理，得（a﹣3）2≤0，
故 a﹣3=0，
解得 a=3．
故答案是：3．
【点评】考查了配方法的应用，非负数的性质以及解二元一次方程组．配方法的理论依据是
公式 a2±2ab+b2=（a±b）2．
12．（2018•湖北荆门•3 分）已知 x=2 是关于 x 的一元二次方程 kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0 的一
个根，则 k 的值为 ．
【分析】把 x=2 代入 kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0 得 4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于 k 的方程，然
后根据一元二次方程的定义确定 k 的值．
【解答】解：把 x=2 代入 kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0 得 4k+2k2﹣4+2k+4=0，
整理得 k2+3k=0，解得 k1=0，k2=﹣3，
因为 k≠0，
所以 k 的值为﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一
元二次方程的解．
13. （ 2018• 湖 北 黄 冈 •3 分 ） 一 个 三 角 形 的 两 边 长 分 别 为 3 和 6 ， 第 三 边 长 是 方 程
x2-10x+21=0 的根，则三角形的周长为______________.
【考点】解一元二次方程，三角形三边的关系.
【分析】将已知的方程 x2-10x+21=0 左边分解因式，利用两数相乘积为 0，两因式中至少有
一个为 0 转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为 3 或 7，利用三角
形 的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长，从而求得三角形的周
长．
【解答】解：x2-10x+21=0，
因式分解得：（x-3）（x-7）=0，15
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的第三边是 x2-10x+21=0 的根，
∴三角形的第三边为 3 或 7，
当三角形第三边为 3 时，3+3=6，不能构成三角形，舍去；
当三角形第三边为 7 时，三角形三边分别为 3，6，7，能构成三角形，
则第三边的长为 7．
∴三角形的周长为: 3+6+7=16.
故答案为：16.
【点评】本题考查了利用因式分解法求解解一元二次方程，以及三角形三边的关系. 利用因
式分解法求解解一元二次方程时，首先将方程右边化为 0，左边分解因式，然后利用两数相
乘积为 0，两因式中至少有一个为 0，转化为两个一元一次方程来求解。
14. （2018•江西•3 分）一元二次方程 的两根为 , ,则
的值为 .
【解析】 本题考察一元二次方程根与系数的关系，因为 ，所以
，
因为 ，所以原式值为 2，有一定的技巧性.
【答案】 2 ★★
三.解答题
(要求同上一)
1．（2018·湖北省孝感·9 分）已知关于 x 的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=p（p+1）．
（1）试证明：无论 p 取何值此方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两根 x1，x2，满足 x12+x22﹣x1x2=3p2+1，求 p 的值．
【分析】（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（2p+1）
2≥0，由此即可证出：无论 p 取何值此方程总有两个实数根；
（2）根据根与系数的关系可得出 x1+x2=5、x1x2=6﹣p2﹣p，结合 x12+x22﹣x1x2=3p2+1，即可
求出 p 值．
【解答】解：（1）证明：原方程可变形为 x2﹣5x+6﹣p2﹣p=0．
∵△=（﹣5）2﹣4（6﹣p2﹣p）=25﹣24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0，16
∴无论 p 取何值此方程总有两个实数根；
（2）∵原方程的两根为 x1、x2，
∴x1+x2=5，x1x2=6﹣p2﹣p．
又∵x12+x22﹣x1x2=3p2+1，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2=3p2+1，
∴52﹣3（6﹣p2﹣p）=3p2+1，
∴25﹣18+3p2+3p=3p2+1，
∴3p=﹣6，
∴p=﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0
时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合 x12+x22﹣x1x2=3p2+1，求出 p
值．
2.（2018·湖北省宜昌·10 分）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要
污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿
江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为 Q，沿江工厂用乙方案进
行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的 Q 值都以平均值 n
计算．第一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12．经过三年治理，境内长江水
质明显改善．
（1）求 n 的值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m，三年
来用乙方案治理的工厂数量共 190 家，求 m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的 Q 值比上一年都增加个相
同的数值 a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的 Q 值与当年因
甲方案治理降低的 Q 值相等，第三年，用甲方案使 Q 值降低了 39.5．求第一年用甲方案治
理降低的 Q 值及 a 的值．
【分析】（1）直接利用第一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12，得出等式求
出答案；
（2）利用从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m，
三年来用乙方案治理的工厂数量共 190 家得出等式求出答案；
（3）利用 n 的值即可得出关于 a 的等式求出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：40n=12，解得：n=0.3；
（2）由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m）2=190，17
解得：m1= ，m2=﹣ （舍去），
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）=40（1+50%）=60（家），
（3）设第一年用乙方案治理降低了 100n=100×0.3=30，
则（30﹣a）+2a=39.5，解得：a=9.5，则 Q=20.5．
设第一年用甲方案整理降低的 Q 值为 x，
第二年 Q 值因乙方案治理降低了 100n=100×0.3=30，
解法一：（30﹣a）+2a=39.5a=9.5
x=20.5
【点评】考查了一元二次方程和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据
题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
3（2018•湖北黄石•8 分）已知关于 x 的方程 x2﹣2x+m=0 有两个不相等的实数根 x1、x2
（1）求实数 m 的取值范围；
（2）若 x1﹣x2=2，求实数 m 的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出 x1+x2=2，和已知组成方程组，求出方程组的解，再根据根与
系数的关系求出 m 即可．
【解答】解：（1）由题意得：△=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0，
解得：m＜1，
即实数 m 的取值范围是 m＜1；
（2）由根与系数的关系得：x1+x2=2，
即 ，
解得：x1=2，x2=0，
由根与系数的关系得：m=2×0=0．
【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式、一元二次方程的解，能熟记根与系数的
关系的内容和根的判别式的内容是解此题的关键．
4. （2018•江苏盐城•10 分）一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元.
为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过18
一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件.
（1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？
23.【答案】（1）26
（2）解：解：设每件商品降价 x 元时，该商店每天销售利润为 1200 元，则平均每天销售数
量为（20+2x）件，每件盈利为（40-x）元，且 40-x≥25,即 x≤15.根据题意可得（40-x）
（20+2x）=1200，
整理得 x2-30x+200=0,
解得 x1=10,x2=20（舍去），
答：每件商品降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元。
【考点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据等量关系“原销售件数+2×降价数=降价后的销售件数”计算；
（2）根据等量关系“每件盈利×销量=利润”，可设降价 x 元，则销量根据（1）的等量关系
可得为（20+2x）件，而每件盈利为（40-x）元，利润为 1200 元，代入等量关系解答即可。
5. （2018•四川成都•6 分）若关于 的一元二次方程 有两个不相等
的实数根，求 的取值范围.
【答案】由题知： . 原方程有两个不相
等的实数根， ， .
【考点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】根据已知条件此方程有两个不相等的实数根，得出 b2-ac＞0,解不等式求
解即可。
6（2018•北京•5 分）关于 的一元二次方程 ．
（1）当 时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 ， 的值，并求此时方程的根．
【解析】（1）解：由题意： ．
∵ ，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）答案不唯一，满足 （ ）即可，例如：
解：令 ， ，则原方程为 ，
解得： ．
【考点】一元二次方程
x 2 1 0ax bx+ + =
2b a= +
a b
0a ≠
( )22 24 2 4 4 0b a a a a∆ = − = + − = + >
2 4 0b a− = 0a ≠
1a = 2b = − 2 2 1 0x x− + =
1 2 1x x= =19
7. （2018·新疆生产建设兵团·8 分）先化简，再求值：（ +1）÷ ，其中 x 是
方程 x2+3x=0 的根．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据 x2+3x=0 可以求得 x 的值，
注意代入的 x 的值必须使得原分式有意义．
【解答】解：（ +1）÷
=
=
=x+1，
由 x2+3x=0 可得，x=0 或 x=﹣3，
当 x=0 时，原来的分式无意义，
∴当 x=﹣3 时，原式=﹣3+1=﹣2．
【点评】本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式的化简
求值的计算方法．
8.（2018·重庆(A)·10 分）在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道
路拓宽改造。
（1） 原计划是今年 1 至 5 月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共 50 千米，其中道路硬
化的里程数至少是道路拓宽的里程数的 4 倍，那么，原计划今年 1 至 5 月，道路硬化
和里程数至少是多少千米？
（2） 到今年 5 月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程
数正好是原计划的最小值。2017 年通过政府投入 780 万元进行村级道路硬化和道路
拓宽的里程数共 45 千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为 1 : 2，且里程
数之比为 2 : 1，为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入。经测算：从今年 6 月起
至年底，如果政府投入经费在 2017 年的基础上增加 10a%（a>0），并全部用于道路硬
化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在 2017 年的基础上分别增加 a%，
5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年 1 至 5 月的基础上分别增加 5a%，
8a%，求 a 的值。
【考点】一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用
【解析】解：
（1） 设道路硬化的里程数至少是 x 千米。
则由题意得：20
x≥4(50-x)
解不等式得：
x≥40
答：道路硬化的里程数至少是 40 千米。
（2） 由题意得：
2017 年：道路硬化经费为：13 万/千米，里程为：30km
道路拓宽经费为：20 万/千米，里程为：15km
∴今年 6 月起：
道路硬化经费为：13（1+a%）万/千米，里程数：40（1+5a%）km
道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km
又∵政府投入费用为：780（1+10a%）万元
∴列方程：
13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%)
令 a%=t，方程可整理为：
13(1+t)×40(1+5t)+26(1+5t)×10(1+8t)=780(1+10t)
520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t)
化简得：
2(1+t)(1+5t)+(1+5t)(1+8t)=3 (1+10t)
t(10t-1)=0
∴ （舍去）， .
∴a = 10
答：a 的值为 10。
【点评】
本题考查一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用。求出本题的关键是将道路硬化，
道路拓宽的里程数及每千米需要的经费求出。
（1） 利用“道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的 4 倍”列出不等式求解。
（2） 根据 2017 年道路硬化和道路拓宽的里程数及每千米经费，表示出 6 月起道路硬化及
道路拓宽的里程数及每千米经费。表示出总费用列方程求解。
9．（2018 年四川省南充市）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
1 0t = 2
1
10t =21
（2）如果方程的两实数根为 x1，x2，且 x12+x22=10，求 m 的值．
【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）
=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，
∴ + =（x1+x2）2﹣2x1x2=10，
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，
∴m2﹣2m﹣3=0，
∴m=﹣1 或 m=3
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方
程的解法，本题属于中等题型．
10.（2018·广东广州·14 分）已知抛物线 。
（1）证明：该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点。
（2）设该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A，B（点 A 在点 B 的右侧），与 y 轴交于点 C，A，
B，C 三点都在圆 P 上。①试判断：不论 m 取任何正数，圆 P 是否经过 y 轴上某个定点？若
是，求出该定点的坐标，若不是，说明理由；
②若点 C 关于直线 的对称点为点 E，点 D（0，1），连接 BE，BD，DE，△BDE 的周
长记为 ，圆 P 的半径记为 ，求 的值。
【答案】（1）证明：当抛物线与 x 轴相交时，令 y=0，得：
x2+mx-m-4=0
∴△=m2+4（2m+4）=m2+8m+16=（m+4）2
∵m＞0，
∴（m+4）2＞0，
∴该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点。
（2）解：①令 y=x2+mx-2m-4=（x-2）（x+m+2）=0，
解得：x1=2，x2=-m-2，
∵抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A，B（点 A 在点 B 的右侧），
∴A（2，0），B（-2-m，0），
∵抛物线与 y 轴交于点 C，22
∴C（0，-2m-4），
设⊙P 的圆心为 P（x0 ， y0），
则 x0= = ，
∴P（ ，y0），
且 PA=PC，则 PA2=PC2 ，
则
解得 ，
∴P（ ， ），
∴⊙P 与 y 轴的另一交点的坐标为（0，b）
则 ，
∴b=1，
∴⊙P 经过 y 轴上一个定点，该定点坐标为（0，1）
②由①知，D（0，1）在⊙P 上，
∵E 是点 C 关于直线 的对称点，且⊙P 的圆心 P（ ， ），
∴E（-m，-2m-4）且点 E 在⊙P 上，
即 D，E，C 均在⊙P 上的点，且∠DCE=90°，
∴DE 为⊙P 的直径，
∴∠DBE=90°，△DBE 为直角三角形，
∵D（0，1），E（-m，-2m-4），B（-2-m，0），
∴DB= ，
BE= = =
∴BE=2DB，
在 Rt△DBE 中，设 DB=x，则 BE=2x，
∴DE= = ，
∴△BDE 的周长 l=DB+BE+DE=x+2x+ =
⊙P 的半径 r= =
∴ = = 23
【考点】一元二次方程根的判别式及应用，二次函数图像与坐标轴的交点问题，两点间的距
离，勾股定理，圆周角定理
【解析】【分析】（1）当抛物线与 x 轴相交时，即 y=0，根据一元二次方程根的判别式△
=b2-4ac=m2+4（2m+4）=m2+8m+16=（m+4）2＞0，从而得出该抛物线与 x 轴总有两个不同的交
点.
（2）①抛物线与 x 轴的两个交点，即 y=0，因式分解得出 A（2，0），B（-2-m，0）；抛物线
与 y 轴交点，即 x=0，得出 C（0，-2m-4）；设⊙P 的圆心为 P（x0 ， y0），由 P 为 AB 中点，
得出 P 点横坐标，再 PA=PC，根据两点间距离公式得出 P 点纵坐标，即 P（ ，
）；设⊙P 与 y 轴的另一交点的坐标为（0，b），根据中点坐标公式得 b=1，即⊙P 经
过 y 轴上一个定点，该定点坐标为（0，1）.
②由①知，D（0，1）在⊙P 上，由）①知⊙P 的圆心 P（ ， ），由圆周角定理
得△DBE 为直角三角形，再根据两点间距离公式得 DB= ，BE= ，
由 BE=2DB，在 Rt△DBE 中，设 DB=x，则 BE=2x，根据勾股定理得 DE= ，由三角形周长
公式得
△BDE 的周长 l= ，又⊙P 的半径 r= ，从而得出 值.
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