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类型2 探究线段的数量关系及最值问题
1．(2012·贵港)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M(2，－1)，交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为(3，0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；
(3)在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2＋PB2＋PC2＝35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数．
解：(1)将M(2，－1)，B(3，0)代入抛物线的解析式中，得：
解得
∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3.
(2)由抛物线的解析式知：B(3，0)，C(0，3)．
∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°.
过B作BE⊥x轴，交直线CD于E，则∠EBC＝∠ABC＝45°.
由于直线CD和直线CA关于直线CB对称，
∴点A，E关于直线BC对称，则BE＝AB＝2.
∴E(3，2)．
由于直线CD经过点C(0，3)，可设该直线的解析式为y＝kx＋3，代入E(3，2)后，得：
3k＋3＝2，k＝－，
∴直线CD的解析式：y＝－x＋3.
(3)设P(2，m)，已知M(2，－1)，B(3，0)，C(0，3)，则
PM2＝(2－2)2＋(m＋1)2＝m2＋2m＋1，PB2＝(3－2)2＋(0－m)2＝m2＋1，PC2＝(0－2)2＋(3－m)2＝m2－6m＋13.
已知：PM2＋PB2＋PC2＝35，则m2＋2m＋1＋m2＋1＋m2－6m＋13＝35，
化简得：3m2－4m－20＝0，解得m1＝－2，m2＝.∴P1(2，－2)，P2(2，)．
当点P坐标为(2，)时，由图可知，直线OP与抛物线必有两个交点；
当点P坐标为(2，－2)时，直线OP：y＝－x，联立抛物线的解析式有：x2－4x＋3＝－x，即x2－3x＋3＝0.
Δ＝(－3)2－4×3＜0，
∴该直线与抛物线没有交点．
综上，直线OP与抛物线的解析式有两个交点．
2．(2016·淄博)已知点M是二次函数y＝ax2(a＞0)图象上的一点，点F的坐标为(0，)，直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为.
(1)求a的值；
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(2)当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；
(3)当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF＝MN＋OF.
解：(1)∵圆心Q的纵坐标为，
∴设Q(m，)，F(0，)．
∵QO＝QF，
∴m2＋()2＝m2＋(－)2，即a＝1.
(2)∵M在抛物线上，设M(t，t2)，Q(m，)，
∵O，Q，M在同一直线上，
∴设直线QM的方程为y＝kx＋b，将点O，点Q以及点M的坐标代入可得＝，即m＝.
∵QO＝QM，∴m2＋()2＝(m－t)2＋(－t2)2.
整理得－t2＋t4＋t2－2mt＝0，∴4t4＋3t2－1＝0，解得t1＝，t2＝－.
当t1＝时，m1＝；当t2＝－时，m2＝－.
∴M1(，)，Q1(，)；M2(－，)，Q2(－，)．
(3)设M(n，n2)(n＞0)，∴N(n，0)，F(0，)．
∴MF＝＝＝n2＋，MN＋OF＝n2＋.
∴MF＝MN＋OF.
3．(2016·烟台)如图1，已知▱ABCD顶点A的坐标为(2，6)，点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(2，2)，点F(m，6)是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E.
(1)求抛物线的表达式；
(2)设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
(3)如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(2，2)，
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∴设抛物线解析式为y＝a(x－2)2＋2.
∴抛物线的对称轴方程为x＝2.
∵BC∥x轴，∴BC＝4.
∵AD∥x轴，A(2，6)，∴D(6，6)．
∵点D在此抛物线上，∴6＝a(6－2)2＋2.∴a＝.
∴抛物线解析式为y＝(x－2)2＋2＝x2－x＋3.
(2)当x＝0时，则y＝(x－2)2＋2＝(0－2)2＋2＝3，
∴B(0，3)．∴OB＝3.
作FQ⊥BC，垂足为Q，∴FQ＝3.
设直线OF为y＝kx，
∵F(m，6)，∴mk＝6，k＝.∴y＝x.
∴解得
∴E(，3)，BE＝.
∵AF＝m－2，∴S＝(AF＋BE)·FQ＝(m－2＋)×3＝m－3.
∵点F(m，6)在线段AD上，∴2≤m≤6.
即S＝m－3(2≤m≤6)．
(3)∵抛物线解析式为y＝x2－x＋3，
∴B(0，3)，C(4，3)．
∵A(2，6)，∴直线AC解析式为y＝－x＋9.
∵FM⊥x轴，垂足为点M，交直线AC于点P，
∴P(m，－m＋9)(2≤m≤6)．
∴PN＝m，PM＝－m＋9.
∵FM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴∠MPN＝90°.
∴MN＝＝
＝.
∵2≤m≤6，
∴当m＝时，MN最大＝＝.
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