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第18讲 相似三角形
1．(2016·重庆A卷)若△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为( C )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶16
2．(2015·东营)若＝，则的值为( D )
A．1 B. C. D.
3．(2016·杭州)如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若＝，则＝( B )
A. B. C. D．1
4．(2016·新疆建设兵团)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，下列说法中不正确的是( D )
A．DE＝BC B.＝
C．△ADE∽△ABC D．S△ADE∶S△ABC＝1∶2
5．(2015·青海)如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则等于( A )
A. B. C. D.
6．(2016·娄底)如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是答案不唯一，如：AB∥DE．(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)
7．(2016·滨州)如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长交DC于点F，则＝．
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8．(2016·毕节)如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝2，AB＝3，则BD＝．
9．(2016·北京)如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m、1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m、1.5 m，则路灯的高为3m.
10．(2015·南京)如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且＝.
(1)求证：△ACD∽△CBD；
(2)求∠ACB的大小．
解：(1)证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°.
∵＝.
∴△ACD∽△CBD.
(2)∵△ACD∽△CBD，
∴∠A＝∠BCD.
在△ACD中，∠ADC＝90°，
∴∠A＋∠ACD＝90°.
∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.
11．如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.
(1)求证：△ABM∽△EFA；
(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
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解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC.
∴∠AMB＝∠EAF.
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°.
∴∠B＝∠AFE.
∴△ABM∽△EFA.
(2)∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，
∴AM＝＝13，AD＝12.
∵F是AM的中点，
∴AF＝AM＝6.5.
∵△ABM∽△EFA，
∴＝，即＝.
∴AE＝16.9.
∴DE＝AE－AD＝4.9.
12．(2016·山西)宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线与点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H.下列矩形是黄金矩形的是( D )
A．矩形ABFE B．矩形EFCD
C．矩形EFGH D．矩形DCGH
13．(2016·包头)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点E是AB上一点，且DE⊥CE.若AD＝1，BC＝2，CD＝3，则CE与DE的数量关系正确的是( B )
A．CE＝DE B．CE＝DE
C．CE＝3DE D．CE＝2DE
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14．如图，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形，PQ与AC相交于点M，则下列结论中正确的是( D )
①AB∥CQ；②∠ACQ＝60°；③AP2＝AM·AC；④若BP＝PC，则PQ⊥AC.
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
15．(2016·舟山)如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝12，EF＝9，则DF的长是7．
16．如图，平面直角坐标系中，已知点A(4，0)和点B(0，3)，点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是(0，)，(2，0)，(，0)．
17．(2016·龙东)已知，在▱ABCD中，点E在直线AD上，AE＝AD，连接CE交BD于点F，则EF∶FC的值是或．
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