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题型专项(五) 四边形中的简单证明与计算
1．(2015·桂林)如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．
(1)求证：四边形EBFD为平行四边形；
(2)对角线AC分别与DE，BF交于点M，N，求证：△ABN≌△CDM.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD.
∴BE＝DF.
∵BE∥DF，
∴四边形EBFD为平行四边形．
(2)∵四边形EBFD为平行四边形，
∴DE∥BF.
∴∠CDM＝∠CFN.
由(1)知AB∥CD，AB＝CD.
∴∠BAC＝∠DCA，∠ABN＝∠CFN.
∴∠ABN＝∠CDM.
在△ABN与△CDM中，
∴△ABN≌△CDM(ASA)．
2．(2016·遵义)如图，矩形ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，BE＝DF，连接EF，与BC，AD分别相交于P，Q两点．
(1)求证：CP＝AQ；
(2)若BP＝1，PQ＝2，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°.
∵BE＝DF，
∴AB＋BE＝CD＋DF，即AE＝CF.
又∵∠AQE＝∠CPF，
∴△AEQ≌△CFP(AAS)．
∴AQ＝CP.
(2)∵四边形ABCD是矩形，
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∴∠ABC＝∠PBE＝90°.
∵∠AEF＝45°，
∴EB＝BP＝1.
∴PE＝.
同理DF＝DQ＝1，FQ＝.
∴EQ＝3.
∴AQ＝AE＝3.
∴AB＝2，AD＝4.
∴矩形ABCD的面积为2×4＝8.
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作AC的平行线交∠CAB的平分线于点D，过点D作AB的平行线交AC于点E，交BC于点F，连接BE，交AD于点G.
(1)求证：四边形ABDE是菱形；
(2)若BD＝14，cos∠GBH＝，求GH的长．
解：(1)证明：∵AC∥BD，AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD.
∵AC∥BD，
∴∠CAD＝∠ADB.
∴∠BAD＝∠ADB.
∴AB＝BD.
∴四边形ABDE是菱形．
(2)∵∠ABC＝90°，
∴∠GBH＋∠ABG＝90°.
∵四边形ABDE是菱形，
∴AD⊥BE.
∴∠GAB＋∠ABG＝90°.
∴∠GAB＝∠GBH.
又∵cos∠GBH＝，
∴cos∠GAB＝.
∴＝＝.
∵四边形ABDE是菱形，BD＝14，
∴AB＝BD＝14.
∴AH＝16，AG＝.
∴GH＝AH－AG＝.
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