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第13讲 二次函数的综合应用
1．如图，直线y＝x－3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y＝x2＋bx＋c同时经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P在线段BC上，且S△PAC＝S△PAB，求点P的坐标．
解：(1)∵点B在x轴上，
∴0＝x－3，∴x＝3.
∴点B的坐标为(3，0)．
∵点C在y轴上，
∴y＝0－3＝－3.
∴点C的坐标为(0，－3)．
∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过B(3，0)，C(0，－3)，
∴解得
∴此抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3.
(2)过点P作PM⊥OB于点M.
∵点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，－3)，∴OB＝3，OC＝3.
∵S△PAC＝S△PAB，∴S△PAB＝S△ABC.
∴·AB·PM＝×·AB·OC.
∴PM＝OC＝2.
由于点P在第四象限，可设点P(xP，－2)．
∵点P在直线y＝x－3上，
∴－2＝xP－3.解得xP＝1.
∴点P的坐标为(1，－2)．
2．(2016·青岛)如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，
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最左边的抛物线可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为 m，到墙边OA的距离分别为 m， m.
(1)求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；
(2)若该墙的长度为10 m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？
解：(1)由题意，得B(，)，C(，)，
代入抛物线的函数关系式，得
解得
故该抛物线的函数关系式为y＝－x2＋2x.
∵y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，
∴抛物线的顶点坐标为(1，1)．
∴图案最高点到地面的距离为1 m.
(2)由题意，令y＝－x2＋2x＝0，解得x1＝0，x2＝2.
∴抛物线与x轴两交点的坐标为(0，0)和(2，0)，即两交点之间的距离为2 m.
∴最多可连续绘制这样的抛物线型的个数为10÷2＝5(个)．
3．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值．
解：(1)∵AB＝2，对称轴为直线x＝2，
∴A(1，0)，B(3，0)．
∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，
∴1、3是方程x2＋bx＋c＝0的两个根．
由根与系数的关系，得1＋3＝－b，1×3＝c.
∴b＝－4，c＝3.
∴抛物线的函数表达式为y＝x2－4x＋3.
(2)连接AC，BC，BC交对称轴于点P，连接PA.
由(1)知抛物线的函数表达式为y＝x2－4x＋3，点A，B的坐标分别为(1，0)，(3，0)．
∴点C的坐标为(0，3)．
∴BC＝＝3，AC＝＝.
∵点A，B关于对称轴x＝2对称，
∴PA＝PB.
∴PA＋PC＝PB＋PC.此时，PB＋PC＝BC.
∴当P点在对称轴上运动时，PA＋PC的最小值等于BC.
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∴△APC周长的最小值为AC＋AP＋PC＝3＋.
4．(2016·泉州)某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销售量y(千克/天)与售价x(元/千克)的关系，如图所示．
(1)试求出y与x之间的一个函数关系式；
(2)利用(1)的结论：
①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润；
②进口产品检验，运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月(30天)，若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？
解：(1)根据图象可见，它近似地成一条直线，故可设y＝kx＋b(k≠0)，把点(40，32)，(39，34)代入，得
解得∴y＝－2x＋112.
(2)①设每天获得的销售利润为w元，依题意，得
w＝(x－20)y
＝(x－20)(－2x＋112)
＝－2x2＋152x－2 240
＝－2(x－38)2＋648.
∵－2
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