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拓展类型6 探究相似三角形的存在性问题
1．(2016·河池模拟)如图，抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；
(3)连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)由题意，可设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋1，
∵抛物线过原点，
∴a(0－2)2＋1＝0，
a＝－.
∴抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋1＝－x2＋x.
(2)△AOB和所求△MOB同底不等高，且S△MOB＝3S△AOB，
∴△MOB的高是△AOB高的3倍，即M点的纵坐标是－3.
∴－3＝－x2＋x，即x2－4x－12＝0.
解得x1＝6，x2＝－2.
∴满足条件的点有两个：M1(6，－3)，M2(－2，－3)．
(3)不存在．
由抛物线的对称性，知AO＝AB，∠AOB＝∠ABO.
若△OBN与△OAB相似，必有∠BON＝∠BOA＝∠BNO，
即OB平分∠AON.
设ON交抛物线的对称轴于点A′，则A，A′关于x轴对称，
∴A′(2，－1)．∴直线ON的解析式为y＝－x.
由－x＝－x2＋x，得x1＝0，x2＝6.
∴N(6，－3)．
过点N作NE⊥x轴，垂足为点E.
在Rt△BEN中，BE＝2，NE＝3，
∴NB＝＝.
又∵OB＝4，
∴NB≠OB，∠BON≠∠BNO，△OBN与△OAB不相似．
同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点．
∴在该抛物线上不存在点N，使△OBN与△OAB相似．
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