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贵港单元测试(四) 图形的初步认识与三角形
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．若∠A＝34°，则∠A的补角为( B )
A．56° B．146° C．156° D．166°
2．如图，直线a∥b，直线c与a，b相交，∠1＝70°，则∠2的大小是( D )
A．20° B．30° C．50° D．70°
3．如果一个三角形的两边长分别为2和4，那么第三边长可能是( B )
A．2 B．4 C．6 D．8
4．下列命题中，是假命题的是( B )
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．两点确定一条直线
D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
5．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于( D )
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝( C )
A. B．2 C．3 D.＋2
7．(2016·随州)如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△CDE的比是( B )
A．1∶3 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶25
8．(2016·长沙)如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( A )
A．160 m B．120 m C．300 m D．160 m
二、填空题(每小题4分，共16分)
9．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝20．
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10．如图，等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为36°．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝∠BAC，则tan∠BPC＝．
12．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝3，CD＝2，点P是四边形ABCD四条边上的一个动点．若P到BD的距离为，则满足条件的点P有2个．
三、解答题(共60分)
13．(10分)如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D.
(1)求证：AB＝CD；
(2)若AB＝CF，∠B＝30°，求∠D的度数．
解：(1)证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.
又∵∠A＝∠D，AE＝DF，
∴△ABE≌△DCF.
∴AB＝CD.
(2)∵AB＝CF，AB＝CD，
∴CD＝CF.∴∠D＝∠CFD.
∵∠B＝∠C＝30°，∴∠D＝75°.
14．(12分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，
D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC＝12，BC＝5.
(1)求cos∠ADE的值；
(2)当DE＝DC时，求AD的长．
解：(1)∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°.
∴∠A＋∠ADE＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°.
∴∠ADE＝∠B.
在Rt△ABC中，∵AC＝12，BC＝5，
∴AB＝13.
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∴cosB＝＝.
∴cos∠ADE＝cosB＝.
(2)由(1)得cos∠ADE＝＝，
设AD为x，则DE＝DC＝x.
∵AC＝AD＋DC＝12，
∴x＋x＝12.解得x＝.
∴AD＝.
15．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
(1)求证：△BDE∽△BAC；
(2)已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长度．
解：(1)证明：∵∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，
∴∠C＝∠AED＝90°.
∴∠DEB＝∠C＝90°.
又∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC.
(2)由勾股定理，得AB＝10.
由折叠的性质，得AE＝AC＝6，DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°.
∴BE＝AB－AE＝10－6＝4.
在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE2＋BE2＝BD2，即CD2＋42＝(8－CD)2.解得CD＝3.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2＋CD2＝AD2，即32＋62＝AD2.
解得AD＝3.
16．(12分)为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我国两艘海监船刚好在我国某岛东西海岸线上的A，B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域．如图所示，AB＝60(＋)海里，在B处测得C在北偏东45°的方向上，A处测得C在北偏西30°的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD＝120(－)海里．
(1)分别求出A与C及B与C的距离AC，BC；(结果保留根号)；
(2)已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，海监船从A处出发沿AC前往C处盘查，途中有无触礁的危险？(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)
解：(1)作CE⊥AB于点E，设AE＝x，
则在△ACE中，CE＝x，AC＝2x.
在△BCE中，BE＝CE＝x，BC＝x.
∵AB＝AE＋BE，
∴x＋x＝60(＋)，解得x＝60.
∴AC＝120海里，BC＝120海里．
(2)作DF⊥AC于点F.
在△AFD中，DF＝DA，
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∴DF＝×120×(－)＝60(3－)≈106.8>100.
∴无触礁危险．
17．(14分)已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.
(1)当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；
(2)当△PQB是等腰三角形时，求AP的长．
解：(1)证明：在△AQP与△ABC中，
∵∠AQP＝∠ABC＝90°，∠A＝∠A，
∴△AQP∽△ABC.
(2)在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，则AC＝5.
∵∠BPQ或∠PBQ为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝PQ或BP＝BQ.
①当点P在线段AB上时，
由(1)可知，△AQP∽△ABC，PB＝PQ.
∴＝，即＝.解得PB＝.
∴AP＝AB－PB＝3－＝；
②当点P在线段AB的延长线上时，
∵BP＝BQ，
∴∠BQP＝∠P.
∵∠BQP＋∠AQB＝90°，∠A＋∠P＝90°，
∴∠AQB＝∠A.
∴BQ＝AB.
∴AB＝BP，点B为线段AP的中点．
∴AP＝2AB＝2×3＝6.
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6.
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