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第24讲 与圆相关的计算
1．(2016·宜宾)半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是( D )
A．3π B．6π C．9π D．12π
2．(2016·泉州)如图，圆锥底面圆半径为r cm，母线长为10 cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为( B )
A．3 B．6 C．3π D．6π
3．(2016·青岛)如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm，若纸扇两面帖纸，则贴纸的面积为( B )
A．175π cm2 B．350π cm2 C.π cm2 D．150π cm2
4．(2016·临沂)如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D，C.若∠ACB＝30°，AB＝，则阴影部分面积是( C )
A B. C.－ D.－
5．(2016·十堰)如图，从一张腰长为60 cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为( D )
A．10 cm B．15 cm C．10 cm D．20 cm
6．(2016·衡阳)若圆锥底面圆的周长为8π，侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的母线长为16．
7．(2016·台州)如图，△ABC的外接圆O的半径为2，∠C＝40°，则劣弧AB的长是π．
8．(2016·邵阳)如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，
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则扇形OAB的面积是．
9．(2016·襄阳)如图，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆O的三等分点．若弦CD＝2，则图中阴影部分的面积为．
10．(2016·淮安)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM＝2∠A.
(1)判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若OA＝4，∠BCM＝60°，求图中阴影部分的面积．
解：(1)MN与⊙O相切．
理由：连接OC.
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA.
∴∠BOC＝∠OAC＋∠OCA＝2∠A.
∵∠BCM＝2∠A，
∴∠BOC＝∠BCM.
又∵∠B＝90°，
∴∠BOC＋∠BCO＝90°.
∴∠BCO＋∠BCM＝90°.
∴直线MN与⊙O相切．
(2)∵OA＝4，∠BCM＝60°，
∴∠AOC＝120°，∠BCO＝30°.
∴BC＝2.
S阴＝S扇形OAC－S△OAC
＝－·OA·BC
＝－×4×2
＝－4.
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11．(2016·重庆B卷)如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是( A )
A．18－9π B．18－3π
C．9－ D．18－3π
12．(2016·南宁模拟)如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点M，弦MN∥AC且MN交BC于点E，ME＝1，BM＝2，BE＝.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)求弧NC的长度．
解：(1)证明：∵ME＝1，BM＝2，BE＝，
∴ME2＋BE2＝1＋3＝4，BM2＝4.
∴ME2＋BE2＝BM2.
∴∠BEM＝90°.
又MN∥AC，
∴∠ACB＝∠BEM＝90°.
∴AC是⊙O的切线．
(2)连接ON，
∵∠BEM＝90°，ME＝1，BM＝2，
∴∠B＝30°，＝，NE＝ME＝1.
∴∠CON＝60°.
∴ON＝＝.
故弧NC的长度为＝.
13．(2016·宜昌)如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD∥AB.连接AC，AD，OD，其中AC＝CD.过点B的切线交CD的延长线于点E.
(1)求证：DA平分∠CDO；
(2)若AB＝12，求图中阴影部分的周长之和(参考数据：π≈3.1，≈1.4，≈1.7)．
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解：(1)证明：∵CD∥AB，
∴∠CDA＝∠BAD.
又∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠BAD.
∴∠ADO＝∠CDA.
∴DA平分∠CDO.
(2)连接BD.
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°.
∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA.
又∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠BAD.
∴∠CDA＝∠BAD＝∠CAD.
∴＝＝.
又∵∠AOB＝180°，∴∠DOB＝60°.
∴∠BAD＝∠DOB＝30°.
在△ADB中，∠DAB＝30°，∠ADB＝90°，∠ABD＝60°，AB＝12，∴BD＝AB＝6.
∵＝，∴AC＝BD＝6.
∵BE切⊙O于B，∴BE⊥AB.
∴∠DBE＝∠ABE－∠ABD＝30°.
又∵CD∥AB，∴BE⊥CE.
∴DE＝BD＝3.BE＝BD·cos∠DBE＝6×＝3.
∴的长为＝2π.
又＝，∴的长为2π.
∴图中阴影部分周长之和为
2π＋6＋2π＋3＋3＝4π＋9＋3≈4×3.1＋9＋3×1.7＝26.5.
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