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第21讲 矩形、菱形和正方形
1．(2016·无锡)下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( C )
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直
2．(2016·黔东南)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为( D )
A．2 B．3 C. D．2
3．(2016·台湾)如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数为( C )
A．50° B．55° C．70° D．75°
4．(2016·荆门)如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是( B )
A．△AFE≌△DCE B．AF＝AD
C．AB＝AF D．BE＝AD－DF
5．(2016·绥化)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形OCED的周长为( B )
A．4 B．8 C．10 D．12
6．(2016·枣庄)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH等于( A )
A. B. C．5 D．4
7．(2016·龙东)如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB.请你添加一个条件
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答案不唯一，如：CD＝BE，使四边形DBCE是矩形．
8．(2016·扬州)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为24．
9．(2016·昆明)如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形EFGH的面积是24．
10．(2016·青岛)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为3.5．
11．(2016·云南)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.
(1)求tan∠DBC的值；
(2)求证：四边形OBEC是矩形．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠DBC＝∠ABC.
∴∠ABC＋∠BAD＝180°.
又∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2，
∴∠ABC＝60°.
∴∠DBC＝∠ABC＝30°.
∴tan∠DBC＝tan30°＝.
(2)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠BOC＝90°.
∵BE∥AC，CE∥BD，
∴BE∥OC，CE∥OB.
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∴四边形OBEC是平行四边形，且∠BOC＝90°.
∴四边形OBEC是矩形．
12．(2016·遵义)如图，在矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE＝DF，连接EF，与BC，AD分别相交于P，Q两点．
(1)求证：CP＝AQ；
(2)若BP＝1，PQ＝2，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC.
∴∠E＝∠F.
∵BE＝DF，∴AE＝CF.
在△CFP和△AEQ中，
∴△CFP≌△AEQ(ASA)．
∴CP＝AQ.
(2)∵AD∥BC，∴∠PBE＝∠A＝90°.
∵∠AEF＝45°，
∴△BEP，△AEQ是等腰直角三角形．
∴BE＝BP＝1，AQ＝AE.
∴PE＝BP＝.
∴EQ＝PE＋PQ＝＋2＝3.
∴AQ＝AE＝3.
∴AB＝AE－BE＝2.
∵CP＝AQ，AD＝BC，∴DQ＝BP＝1.
∴AD＝AQ＋DQ＝3＋1＝4.
∴S矩形ABCD＝AB·AD＝2×4＝8.
13．(2016·菏泽)在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有( B )
①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
14．(2016·舟山)如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是( D )
A. B. C．1 D.
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15．(2016·张家界)如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于点F.若AD＝8 cm，AB＝6 cm，AE＝4 cm.则△EBF的周长是8 cm.
16．(2016·株洲)已知正方形ABCD，BC＝3，点E，F分别是CB，CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE，AF，过点A作AH⊥ED于H点．
(1)求证：△ADF≌△ABE；
(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．
解：(1)在正方形ABCD中，
∵AD＝AB，∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ADF＝∠ABE＝90°.
在△ADF与△ABE中，
∴△ADF≌△ABE.
(2)过点A作AH⊥DE于点H，
在Rt△ABE中，∵AB＝BC＝3，BE＝1，
∴AE＝，ED＝＝5.
∴S△AED＝AD·BA＝，
S△ADE＝DE·AH＝.
解得AH＝1.8.
在Rt△AHE中，∵AE＝，AH＝1.8，
∴EH＝2.6.
∴tan∠AED＝＝＝.
17．如图，在正方形ABCD的边长为2，∠DAC的平分线交DC于点E，点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值为．
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