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第16讲 等腰三角形与直角三角形
1．(2014·滨州)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( B )
A．4、5、6 B．1.5、2、2.5
C．2、3、4 D．1、、3
2．(2015·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为( C )
A．35° B．45° C．55° D．60°
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5 cm，则EF为( A )
A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．20 cm
4．(2016·荆门)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( C )
A．5 B．6 C．8 D．10
5．(2016·南宁模拟)如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD＝CE，∠D＝72°，则∠B的度数为( A )
A．36° B．68° C．22° D．16°
6．(2016·滨州)如图，在△ABC中，点D为AB上一点，点E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为( D )
A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
7．(2016·桂林模拟)如图，在边长为3的等边△ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为( A )
A. B. C. D．1
8．已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，则∠A＝60度．
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9．(2016·烟台)如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3、3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为．
10．(2016·西宁)如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝2．
11．(2016·台湾中考改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，∠BAD＝30°，且∠ADC＝60°.
求证：(1)AD＝BD；
(2)CD＝2BD.
证明：(1)令∠1＝∠BAD，∠4＝∠ADC，
∵∠4＝60°，∠1＝30°，
根据三角形外角定理可得∠B＝∠4－∠1＝60°－30°＝30°＝∠1.
∴BD＝AD.
(2)∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝30°.
∴∠2＝180°－∠3－∠C＝180°－60°－30°＝90°.
∵∠C＝30°，
∴CD＝2AD＝2BD.
12．(2016·宁夏)在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°.
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°.
∴△EDC是等边三角形．
∴DE＝DC＝2.
在Rt△DEC中，
∵∠DEC＝90°，DE＝2，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝4.
∴EF＝＝＝2.
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13．(2016·泰州)如图，在△ABC中，AB＝AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE.
(1)求证：AD∥BC；
(2)过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G.若AF＝4，求BC的长．
解：(1)证明：∵AD平分∠CAE，
∴∠DAG＝∠CAG.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB.
∵∠CAG＝∠B＋∠ACB，
∴∠B＝∠CAG.
∴∠B＝∠DAG.
∴AD∥BC.
(2)∵CG⊥AD，
∴∠AFC＝∠AFG＝90°.
在△AFC和△AFG中，
∴△AFC≌△AFG(ASA)．
∴CF＝GF.
∵AD∥BC，
∴AF是△BCG的中位线．
∴BC＝2AF＝2×4＝8.
14．(2016·陕西)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角平分线于点F，则线段DF的长为( B )
A．7 B．8 C．9 D．10
15．(2016·雅安)如图所示，底边BC为2，在顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于点D，则△ACE的周长为( A )
A．2＋2 B．2＋ C．4 D．3
16．(2016·连云港)如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6.其中S1＝16，S2＝45，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4＝( C )
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A．86 B．64 C．54 D．48
17．(2016·河北)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
18．(2016·鄂州)如图，AB＝6，点O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，点P是直线l上一点．当△APB为直角三角形时，AP＝3或3或3．
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