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类型3 探究特殊四边形的存在性问题
1．(2014·桂林)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于A(－2，0)，B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝1.
(1)直接写出抛物线的解析式y＝－x2＋x＋4；
(2)把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A，C的对应点分别为A′，C′，当C`落在抛物线上时，求A′，C′的坐标；
(3)除(2)中的点A′，C′外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E，F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出E，F的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(2)由抛物线y＝－x2＋x＋4可知C(0，4)．
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，根据对称性，
∴C′(2，4)，∴A′(0，0)．
(3)存在．设F(x，－x2＋x＋4)．以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形．
图1
①若AC为平行四边形的边，如图1所示，则EF∥AC且EF＝AC.
过点F1作F1D⊥x轴于点D，则易证Rt△AOC≌Rt△E1DF1，
∴DE1＝2，DF1＝4.
∴－x2＋x＋4＝－4，
解得x1＝1＋，x2＝1－.
∴F1(1＋，－4)，F2(1－，－4)．
∴E1(3＋，0)，E2(3－，0)．
图2
②若AC为平行四边形的对角线，如图2所示．
∵点E3在x轴上，
∴CF3∥x轴．
∴点F3为点C关于x＝1的对称点，
∴F3(2，4)，CF3＝2.
∴AE3＝2.∴E3(－4，0)．
综上所述，存在点E，F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形；点E，F的坐标为：E1(3＋，0)，F
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1(1＋，－4)；E2(3－，0)，F2(1－，－4)；E3(－4，0)，F3(2，4)．
(注：因点F3与点C′重合，故此处不确定E3，F3是否满足题意)
2．(2015·百色)抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，2)，B(3，2)两点，若两动点D，E同时从原点O分别沿着x轴，y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度．
(1)求抛物线与x轴的交点坐标；
(2)若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A，B，C，D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；
(3)问几秒钟时，B，D，E在同一条直线上？
解：(1)依题意有
∴
∴y＝x2－3x＋2.
当y＝0时，x2－3x＋2＝0.解得x1＝1，x2＝2.
∴抛物线与x轴交点坐标为(1，0)，(2，0)．
(2)存在．
当点C为(1，0)时，
∵AB＝3，AB∥x轴．
∴平行四边形中，AB＝CD＝4－1＝3.
∴D点为(4，0)．
当C(2，0)时，同理可求D(5，0)．
(3)设t秒时，B，D，E共线，则D，E点的坐标分别为(2t，0)，(0，t)．设经过点B，D，E的直线为y＝kx＋m(k≠0)．
∴∴或t＝0.
∵y＝－x＋t经过B(3，2)．
∴2＝－×3＋t.
∴t＝3.5.
∴t＝0或t＝3.5秒时，B，D，E共线．
3．(2016·贵港模拟)如图，直线y＝－3x＋3与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝a(x－2)2＋k经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P.
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(1)求a，k的值；
(2)抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；
(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M，N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．
解：(1)∵直线y＝－3x＋3与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A(1，0)，B(0，3)．
又∵抛物线y＝a(x－2)2＋k经过点A(1，0)，B(0，3)，
∴解得
故a，k的值分别为1，－1.
图1 图2
(2)设Q点的坐标为(2，m)，对称轴x＝2交x轴于点F，如图1，过点B作BE垂直于直线x＝2于点E.
在Rt△AQF中，AQ2＝AF2＋QF2＝1＋m2，
在Rt△BQE中，BQ2＝BE2＋EQ2＝4＋(3－m)2.
∵AQ＝BQ，∴1＋m2＝4＋(3－m)2.
∴m＝2.∴Q点的坐标为(2，2)．
(3)如图2，当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，∴AC应为正方形的对角线．
又∵对称轴x＝2是AC的中垂线，
∴M点与顶点P(2，－1)重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为(2，1)．
此时，MF＝NF＝AF＝CF＝1，且AC⊥MN，
∴四边形AMCN为正方形．
在Rt△AFN中，AN＝＝，即正方形的边长为.
4．(2016·泰安)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，9)，与y轴交于点A(0，5)，与x轴交于点E，B.
(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；
(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点(点P在AC上方)，作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标．
解：(1)设抛物线解析式为y＝a(x－2)2＋9，
∵抛物线与y轴交于点A(0，5)，∴4a＋9＝5.
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∴a＝－1.
∴y＝－(x－2)2＋9＝－x2＋4x＋5.
(2)当y＝0时，－x2＋4x＋5＝0，
解得x1＝－1，x2＝5.
∴E(－1，0)，B(5，0)．
设直线AB的解析式为y＝mx＋n，
∵A(0，5)，B(5，0)，∴m＝－1，n＝5.
∴直线AB的解析式为y＝－x＋5.
设P(x，－x2＋4x＋5)，∴D(x，－x＋5)．
∴PD＝－x2＋4x＋5＋x－5＝－x2＋5x.
∵AC＝4，∴S四边形APCD＝×AC·PD＝2(－x2＋5x)＝－2x2＋10x.
∴当x＝时，S四边形APCD最大＝.
(3)如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H.
∵MN∥AE，MN＝AE，
∴△HMN≌△OEA.
∴HM＝OE＝1.∴M点的横坐标为x＝3或x＝1.
当x＝1时，M点纵坐标为8；
当x＝3时，M点纵坐标为8.
∴M点的坐标为M1(1，8)或M2(3，8)．
∵A(0，5)，E(－1，0)，
∴直线AE解析式为y＝5x＋5.
∵MN∥AE，∴MN的解析式为y＝5x＋b.
∵点N在抛物线对称轴x＝2上，∴N(2，10＋b)．
∵AE2＝OA2＋OE2＝26，
∵MN＝AE，∴MN2＝AE2.
∴MN2＝(2－1)2＋[8－(10＋b)]2＝1＋(b＋2)2.
∵点M的坐标为M1(1，8)或M2(3，8)，
∴点M1，M2关于抛物线的对称轴x＝2对称．
∵点N在抛物线对称轴上，∴M1N＝M2N.
∴1＋(b＋2)2＝26，解得b＝3或b＝－7.
∴10＋b＝13或10＋b＝3.
∴当点M的坐标为(1，8)时，点N的坐标为(2，13)；当点M的坐标为(3，8)时，点N的坐标为(2，3)．
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