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题型专项(八)二次函数与几何图形综合题
类型1 探究图形面积数量关系及最值等问题
1．(2016·贵港模拟)如图甲，四边形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A，D，交y轴于点C.已知A(3，0)，D(－1，0)，C(0，3)．
(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
(2)设△AOC沿x轴正方向平移t个单位长度(0＜t≤3)时，△AOC与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围；
(3)当0＜t≤时，求S的最大值．
解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－3)(x＋1)．
∵将C(0，3)代入，得－3a＝3，解得a＝－1.
∴y＝－x2＋2x＋3.
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴B(1，4)．
(2)设直线AB的解析式为y＝kx＋b.
∵将A(3，0)，B(1，4)代入y＝kx＋b得解得
∴y＝－2x＋6.
过点C作射线CF∥x轴交AB于点F.
∵将y＝3代入直线AB的解析式得：
－2x＋6＝3，得x＝，∴F(，3)．
图1
①当0＜t≤时，如图1所示．
设△AOC平移到△PNM的位置，PM交AB于点H，MN交AC于点G.则ON＝AP＝t，过点H作LK⊥x轴于点K，交CF于点L.
由△AHP∽△FHM，得
＝，即＝.解得HK＝2t.
∴S＝S△MNP－S△GNA－S△HAP＝×3×3－(3－t)2－t×2t＝－t2＋3t.
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图2
②当＜t≤3时，如图2所示：
设△AOC平移到△PQR的位置，RQ交AB于点I，交AC于点V.
∵直线AC的解析式为y＝－x＋3，直线AB的解析式为y＝－2x＋6，
∴V(t，t＋3)，I(t，－2t＋6)．
∴IV＝－2t＋6－(－t＋3)＝－t＋3，AQ＝3－t.
∴S＝S△IVA＝AQ·IV＝(3－t)2＝t2－3t＋.
综上所述，S＝
(3)当0＜x≤时，S＝－t2＋3t＝－(t－1)2＋，当t＝1时，S最大＝.
2．(2016·十堰模拟)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过点A(－1，0)和点B(3，0)．
(1)求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
(2)若点P在直线x＝2上运动，当点P到直线AD的距离d等于点P到x轴的距离时，求d的值；
(3)如图2，直线AC：y＝－x＋m经过点A，交y轴于点C.探究：在x轴上方的抛物线上是否存在点M，使得S△CDA＝2S△ACM？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过点A(－1，0)和点B(3，0)，
∴解得
∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4.∴D(1，4)．
(2)设P(2，yP)，过P作PE⊥AD于点E，设直线AD与直线x＝2交于点G，
则PE＝d＝|yP|，直线AD的解析式为y＝2x＋2，
∴G(2，6)．∴PG＝6－yP.
∵sin∠AGP＝＝，
∴＝.∴PG＝|yP|＝d.
①若点P在第一象限，则PG＝6－d，
∴d＝6－d，解得d＝.
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②若点P在第四象限，则PG＝6＋d，
∴d＝6＋d，解得d＝.
∴d的值为或.
(3)∵直线AC过点A，所以可求得直线AC：
y＝－x－1.
过点D作DE∥AC，交y轴于点E，可求得直线DE：y＝－x＋5.
∴E(0，5)．∴EC的中点F(0，2)．
∴过点F平行于AC的直线为y＝－x＋2.
∴
解得或(舍去)
∴M(，)．
3．(2016·玉林模拟)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA，OC的长(OA＜OC)是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝1.
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求此抛物线的解析式；
(3)若点D是线段AB上的一个动点(与点A，B不重合)，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵OA，OC的长是
x2－5x＋4＝0的根，OA＜OC，
∴OA＝1，OC＝4.
∵点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴，
∴A(－1，0)，C(0，－4)．
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝1，
∴由对称性可得B点坐标为(3，0)．
∴A，B，C三点坐标分别是A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－4)．
(2)∵点C(0，－4)在抛物线y＝ax2＋bx＋c图象上，∴c＝－4.
将A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx－4，得
解得
∴所求抛物线解析式为y＝x2－x－4.
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(3)根据题意，BD＝m，则AD＝4－m.
在Rt△OBC中，BC＝＝5.
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴＝.
∴DE＝＝＝.
过点E作EF⊥AB于点F，则sin∠EDF＝sin∠CBA＝＝.∴＝.
∴EF＝DE＝×＝4－m.
∴S△CDE＝S△ADC－S△ADE＝(4－m)×4－(4－m)(4－m)＝－m2＋2m(0＜m＜4)．
∵S＝－(m－2)2＋2，a＝－＜0，
∴当m＝2时，S有最大值2.
∴点D的坐标为(1，0)．
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