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类型5 探究角度数量关系的存在性问题
1．(2015·南宁)在平面直角坐标系中，已知A，B是抛物线y＝ax2(a>0)上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限．
(1)如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB＝90°，且AB＝2时，求此抛物线的解析式和A，B两点的横坐标的乘积；
(2)如图2所示，在(1)所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A，B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由；
(3)在(2)的条件下，如图3，若直线y＝－2x－2分别交直线AB，y轴于点P，C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC＝∠OCP，求点P的坐标．
解：(1)设直线AB与y轴交于点E，
∵AB与x轴平行，根据抛物线的对称性有AE＝BE＝1.
∵∠AOB＝90°，∴OE＝AB＝1.
∴A(－1，1)，B(1，1)．
把x＝1，y＝1代入y＝ax2，得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2，A，B两点的横坐标的乘积为xA·xB＝－1.
(2)xA·xB＝－1为常数，过点A作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，
∴∠AMO＝∠BNO＝90°.
∴∠MAO＋∠AOM＝∠AOM＋∠BON＝90°.
∴∠MAO＝∠BON.∴△AMO∽△ONB.
∴＝，即OM·ON＝AM·BN.
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
∵A(xA，yA)，B(xB，yB)在y＝x2图象上，
∴yA＝x，yB＝x.∴－xA·xB＝yA·yB＝x·x.
∴xA·xB＝－1为常数．
(3)设A(m，m2)，B(n，n2)，由(2)可知mn＝－1.
设直线AB的解析式为y＝kx＋b，联立得x2－kx－b＝0.
∵m，n是方程的两个根，∴mn＝－b.∴b＝1.
∵直线AB与y轴交于点D，则OD＝1.
易知C(0，－2)，OC＝2，∴CD＝OC＋OD＝3.
∵∠BPC＝∠OCP，∴PD＝CD＝3.
设P(a，－2a－2)，过点P作PG⊥y轴于点G，则PG＝－a，GD＝OG－OD＝－2a－3.
在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG2＋GD2＝PD2，
即(－a)2＋(－2a－3)2＝32，整理得5a2＋12a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－.
当a＝－时，－2a－2＝，
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∴P(－，)．
2．(2016·河南)如图1，直线y＝－x＋n交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)．抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A，交y轴于点B(0，－2)．点P为抛物线上一个动点，经过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
(3)如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．
解：(1)由直线y＝－x＋n过点C(0，4)，得n＝4，
∴y＝－x＋4.
当y＝0时，0＝－x＋4，解得x＝3，∴A(3，0)．
∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(0，－2)．
∴∴
∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2.
(2)∵点P的横坐标为m，
∴P(m，m2－m－2)，D(m，－2)．
若△BDP为等腰直角三角形，则PD＝BD.
①当点P在直线BD上方时，PD＝m2－m.
(ⅰ)若点P在y轴左侧，则m0，BD＝m.
∴m2－m＝m，∴m3＝0(舍去)，m4＝.
②当点P在直线BD下方时，m>0，BD＝m，PD＝－m2＋m.
∴－m2＋m＝m，∴m5＝0(舍去)，m6＝.
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综上，m＝或.
即当△BDP为等腰直角三角形时，PD的长为或.
(3)P1(－，)，P2(，)，
P3(，)．
【提示】∵∠PBP′＝∠OAC，OA＝3，OC＝4，
∴AC＝5，∴sin∠PBP′＝，cos∠PBP′＝.
①当点P′落在x轴上时，过点D′作D′N⊥x轴，垂足为N，交BD于点M，∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′.
图1 图2 图3
如图1，ND′－MD′＝2，即(m2－m)－(－m)＝2.
如图2，ND′＋MD′＝2，即(m2－m)＋m＝2.
∴P1(－，)，P2(，)；
②当点P′落在y轴上时，如图3，过点D′作D′M⊥x轴，交BD于点M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD′的延长线于点N，∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′.
∵P′N＝BM，即(m2－m)＝m.
∴P3(，)．
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