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题型专项(七) 圆的有关证明与计算
类型1 圆的有关证明与计算(不含函数)
1．(2016·南充)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O为圆心，OC为半径作半圆．
(1)求证：AB为⊙O的切线；
(2)如果tan∠CAO＝，求cosB的值．
解：(1)作OM⊥AB于点M.
∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB，
∴OC＝OM.
∴AB是⊙O的切线．
(2)设BM＝x，OB＝y，
则y2－x2＝1①.
∵tan∠CAO＝＝，OC＝1，
∴AC＝3.
∵cosB＝＝，AB＝AM＋MB＝AC＋MB，
∴＝.
∴x2＋3x＝y2＋y②.
由①②可以得到：y＝3x－1，
∴(3x－1)2－x2＝1.
∴x＝，y＝.
∴cosB＝＝.
2．(2016·贵港模拟)如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E.
(1)求证：DE⊥AC；
(2)连接OC交DE于点F，若sin∠ABC＝，求的值．
解：(1)证明：连接OD.
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，即∠ODE＝90°.
∵AB是⊙O的直径，
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∴O是AB的中点．
又∵D是BC的中点，∴OD∥AC.
∴∠DEC＝∠ODE＝90°.
∴DE⊥AC.
(2)连接AD.
∵OD∥AC，∴＝.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
又∵D为BC的中点，∴AB＝AC.
∵sin∠ABC＝＝，故设AD＝3x，则AB＝AC＝4x，OD＝2x.
∵DE⊥AC，∴∠ADC＝∠AED＝90°.
∵∠DAC＝∠EAD，∴△ADC∽△AED.
∴＝，即AD2＝AE·AC.
∴AE＝x.
∴EC＝AC－AE＝x.
∴＝＝.
3．(2016·玉林)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E，F，连接BF.
(1)求证：BF是⊙O的切线；
(2)已知圆的半径为1，求EF的长．
解：(1)证明：连接OD.
∵EF为⊙O切线，
∴∠ODF＝90°.
∵四边形AOCD为平行四边形，
∴AO＝DC，AO∥DC.
又∵DO＝OC＝OA，
∴DO＝OC＝DC.
∴△DOC为等边三角形．
∴∠DOC＝∠ODC＝60°.
∵DC∥AO，
∴∠AOD＝∠ODC＝60°.
∴∠BOF＝180°－∠COD－∠AOD＝60°.
在△DOF和△BOF中，
∴△DOF≌△BOF.
∴∠OBF＝∠ODF＝90°.
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∴BF是⊙O的切线．
(2)∵∠DOF＝60°，∠ODF＝90°，
∴∠OFD＝30°.
∵∠BOF＝60°，∠BOF＝∠OFD＋∠E，
∴∠E＝∠OFD＝30°.
∴OF＝OE.
又∵OD⊥EF，
∴DE＝DF.
在Rt△ODF中，∠OFD＝30°，
∴OF＝2OD.
∴DF＝＝＝.
∴EF＝2DF＝2.
4．(2016·贵港平南模拟)如图，⊙O的半径OC与直径AB垂直，点P在OB上，CP的延长线交⊙O于点D，在OB的延长线上取点E，使ED＝EP.
(1)求证：ED是⊙O的切线；
(2)当P为OE的中点，且OC＝2时，求图中阴影部分的面积．
解：(1)证明：连接OD.
∵OD是圆的半径，
∴OD＝OC.
∴∠CDO＝∠DCO.
∵OC⊥AB，
∴∠COP＝90°.
∵在Rt△OPC中，∠CPO＋∠PCO＝90°.
又∵ED＝EP，
∴∠EDP＝∠EPD＝∠CPO.
∴∠EDO＝∠EDP＋∠CDO＝∠CPO＋∠DCO＝90°.
∴ED⊥OD.
∴ED是⊙O的切线．
(2)∵P为OE的中点，ED＝EP，且由(1)知△ODE为直角三角形，
∴PE＝PD＝ED.∴∠E＝60°.
∵OD＝OC＝2，∴ED＝＝.
∴S阴影＝S△ODE－S扇形OBD＝×2×－＝.
类型2 圆与函数的综合
1．(2016·江西模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，tanB＝，点P是线段AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为点D，射线PD交射线BC于点E，设PA＝x.
(1)当⊙P与BC相切时，求x的值；
(2)设CE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
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解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝8，tanB＝，
∴BC＝6，AB＝10.
设⊙P与BC相切于点M，
∴PM⊥BC.
∴PM∥AC.
∴＝.∴＝.
∴x＝.
(2)过点P作PH⊥AD，垂足为点H.
∵∠ACB＝90°，tanB＝，
∴sinA＝.
∵PA＝x，∴PH＝x.
∵∠PHA＝90°，∴PH2＋AH2＝PA2.
∴HA＝x.
∵在⊙P中，PH⊥AD，
∴DH＝AH＝x.
∴AD＝x.
又∵AC＝8，∴CD＝8－x.
∵∠PHA＝∠BCA＝90°，
∴PH∥BE.∴＝.
∴＝.
∴y＝6－x.(0
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