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[课 时 跟 踪 检 测]
[基 础 达 标]
1．(2017届青岛模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是( )
A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β
解析：对于C项，由b⊥β，α∥β可得b⊥α，又a⊂α，得a⊥b，故选C.
答案：C
2．(2016年浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
解析：∵α∩β＝l，∴l⊂β.∴n⊥β，∴n⊥l.
答案：C
3．(2017届南昌模拟)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
解析：由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l.
答案：D
4．(2018届遵义模拟)设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下列命题中不成立的是( )
A．若m⊂α，n⊄α，m∥n，则n∥α
B．若α⊥γ，α∥β，则β⊥γ
C．若m⊂β，n是l在β内的射影，若m⊥l，则m⊥n
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D．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
解析：在A中由线面平行的判定定理得n∥α；在B中由面面垂直的判定得β⊥γ；在C中由线面垂直得m⊥n；在D中，l与β相交、平行或l⊂β，故D错误．
答案：D
5．(2017年全国卷Ⅲ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( )
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
解析：连B1C，BC1，A1D，由题意得BC1⊥B1C，
∵A1B1⊥平面B1BCC1，且BC1⊂平面B1BCC1，∴A1B1⊥BC1.
∵A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面A1DCB1，
∵A1E⊂平面A1DCB1，
∴A1E⊥BC1.故选C.
答案：C
6．(2017届安徽合肥一模)如图，已知四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD，则下列命题中错误的是( )
A．过BD且与PC平行的平面交PA于M点，则M为PA的中点
B．过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N为PB的中点
C．过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的中点
D．过P，B，C的平面与平面PAD的交线为直线l，则l∥AD
解析：设AC∩BD＝O，因为四边形ABCD是正方形，所以O是AC的中点，因为过BD且与PC平行的平面交PA于点M，所以OM∥PC，所以M是PA
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的中点，故A正确；设N为PB的中点，连接AN.因为PA与AB不一定相等，所以AN与PB不一定垂直，所以过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N不一定是PB中点，故B项错误；因为四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD＝AB，所以PA＝AC，PD＝DC，所以过AD且与PC垂直的平面交PC于点H，则H为PC的中点，故C正确；因为AD∥BC，所以BC∥平面PAD.又平面PAD∩平面PCB＝l，所以l∥BC，所以l∥AD，故D正确．故选B.
答案：B
7．(2018届江淮名校期中)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为菱形，M是PC上的一个动点，若要使得平面MBD⊥平面PCD.则应补充的一个条件可以是( )
A．MD⊥MB
B．MD⊥PC
C．AB⊥AD
D．M是棱PC的中点
解析：∵在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，
且底面各边都相等，M是PC上的一动点，
∴BD⊥PA，BD⊥AC，
∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥PC，
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，
即有PC⊥平面MBD，
而PC⊂平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
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答案：B
8．(2017届宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：
①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；
②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；
④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.
其中为真命题的是( )
A．①② B．②③
C．②④ D．①④
解析： ①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.
答案：D
9．如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．
解析：若A1C⊥B1D1，由四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，AA1⊥B1D1，易得B1D1⊥平面AA1C1C，则A1C1⊥B1D1.
答案：A1C1⊥B1D1
10．(2017届河南四校调研)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两互相垂直的共有________对．
解析：因为AD⊥AB，AD⊥PA且PA∩AB＝A，可得AD⊥平面PAB.同理可得BC⊥平面PAB、AB⊥平面PAD、CD⊥平面PAD
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，由面面垂直的判定定理可得，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，共有5对．
答案：5
11．(2017届泉州模拟)点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列命题：
①三棱锥A－D1PC的体积不变；
②A1P∥平面ACD1；
③DB⊥BC1；
④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确的命题序号是________．
解析：对于①，VA－D1PC＝VP－AD1C，点P到平面AD1C的距离，即为BC1与平面AD1C的距离为定值，故正确；对于②，因为平面A1C1B∥平面AD1C，所以A1P∥平面AD1C，故正确；对于③，DB与BC1成60°角，故错误；对于④，由于B1D⊥平面ACD1，所以平面B1DP⊥平面ACD1，故正确．
答案：①②④
12．(2017年北京卷)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．
解：(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，
所以PA⊥平面ABC.
又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD.
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(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.
由(1)知，PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC.
所以平面BDE⊥平面PAC.
(3)因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，
所以PA∥DE.
因为D为AC的中点，所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝.
由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC.
所以三棱锥E－BCD的体积V＝BD·DC·DE＝.
[能 力 提 升]
1．(2017届浙江丽水一模)在四面体ABCD中，下列条件不能得出AB⊥CD的是( )
A．AB⊥BC且AB⊥BD
B．AD⊥BC且AC⊥BD
C．AC＝AD且BC＝BD
D．AC⊥BC且AD⊥BD
解析：对于A选项，∵AB⊥BD，AB⊥BC，BD∩BC＝B，
∴AB⊥平面BCD.
∵CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.故A满足；
对于B选项，设A在平面BCD的射影为O，则AO⊥平面BCD.
∵AD⊥BC，AC⊥BD，
∴O为△BCD的垂心，连接BO，
则BO⊥CD，又AO⊥CD，
AO∩BO＝O，∴CD⊥平面ABO.
∵AB⊂平面ABO，∴AB⊥CD.故B满足；
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对于C选项，取CD中点G，连接BG，AG.
∵AC＝AD且BC＝BD，
∴CD⊥BG，CD⊥AG.
∵BG∩AG＝G，∴CD⊥平面ABG.
∵AB⊂平面ABG，∴AB⊥CD，故C满足，D不满足要求，故选D.
答案：D
2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.
解析：因为B1D⊥平面A1ACC1，所以CF⊥B1D，所以为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF，
设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，
所以x2－3ax＋2a2＝0，所以x＝a或x＝2a.
答案：a或2a
3．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．
解析：由题意可知，DK⊥平面ABCF，故DK⊥AK，DK⊥FK，故有AD2－AK2＝DK2＝DF2－FK2.
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在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，AK＝t，设EF＝x(0＜x＜1)，则有AD＝BC＝1，DF＝1＋x，FK＝，∴12－t2＝(1＋x)2－[12＋(x－t＋1)2]，整理得t＝，0＜x＜1，故＜t＜1.
答案：
4．(2017届吉林东北师大附中联考)如图所示的几何体由一个直三棱柱ADE－BCF和一个正四棱锥P－ABCD组合而成，AD⊥AF，AE＝AD＝2.
(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE；
(2)求正四棱锥P－ABCD的高h，使得该四棱锥的体积是三棱锥P－ABF体积的4倍．
解：(1)证明：直三棱柱ADE－BCF中，AB⊥平面ADE.
因为AD⊂平面ADE，所以AB⊥AD.
又AD⊥AF，AF∩AB＝A，所以AD⊥平面ABFE.
又AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABFE.
(2)由题意得，P到平面ABF的距离d＝1，
所以VP－ABF＝S△ABF·d＝××2×2×1＝，
所以VP－ABCD＝S正方形ABCD·h＝×2×2×h＝4VP－ABF＝，所以h＝2.
5．(2017届黑龙江大庆质检)如图，已知三棱锥A－BPC，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．
(1)求证：BC⊥平面APC；
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(2)若BC＝3，AB＝10，求点B到平面DCM的距离．
解：(1)证明：如图，
∵△PMB为正三角形，且D为PB的中点，∴MD⊥PB.
又∵M为AB的中点，D为PB的中点，
∴MD∥AP，∴AP⊥PB.
又已知AP⊥PC，PB∩PC＝P，
∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC.
又∵AC⊥BC，AC∩AP＝A，∴BC⊥平面APC.
(2)记点B到平面MDC的距离为h，
则有VM－BCD＝VB－MDC.
∵AB＝10，∴MB＝PB＝5，
又BC＝3，BC⊥PC，∴PC＝4，
∴S△BDC＝S△PBC＝PC·BC＝3.
又MD＝，∴VM－BCD＝MD·S△BDC＝.
在△PBC中，CD＝PB＝，
又∵MD⊥DC，∴S△MDC＝MD·DC＝，
∴VB－MDC＝h·S△MDC＝·h·＝，
∴h＝.所以点B到平面DCM的距离为.
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