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[课 时 跟 踪 检 测]
[基 础 达 标]
1．(2017届四川遂宁模拟)椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值是( )
A．6或2 B．5
C．1或9 D．3或5
解析：由题意，得c＝1，当椭圆的焦点在x轴上时，由m－4＝1，解得m＝5；当椭圆的焦点在y轴上时，由4－m＝1，解得m＝3，所以m的值是3或5.
答案：D
2．一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由点(2，)在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，＝.又c2＝a2－b2，联立解得a2＝8，b2＝6.
∴椭圆的方程为＋＝1.
答案：A
3．设椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为( )
A．3 B．3或
C. D．6或3
解析：由已知a＝2，b＝，c＝1，则点P为短轴顶点(0，)时，∠F1PF2＝
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eq \f(π,3)，△PF1F2是正三角形，若△PF1F2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P，只能是焦点F1(或F2)为直角顶点，此时|PF1|＝＝，S△PF1F2＝··2c＝＝.
答案：C
4．(2017届南宁二模)若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：依题意可知c＝b, 而a＝＝c，∴椭圆的离心率e＝＝.故选C.
答案：C
5．(2018届临汾模拟)已知方程－＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－2，＋∞)
C.∪(－1，＋∞)
D.∪
解析：由－＝1转化成标准方程＋＝1.
假设焦点在x轴上，则2＋m＞－(m＋1)＞0，
解得－＜m＜－1，
当焦点在y轴上，则－(m＋1)＞2＋m＞0，
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解得－2＜m＜－，
综上可知，m的取值范围是∪.
答案：D
6．(2018届包头模拟)一个圆经过椭圆＋y2＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为( )
A.2＋y2＝
B.2＋y2＝
C.2＋y2＝
D.2＋y2＝
解析：椭圆＋y2＝1的顶点坐标为(±2,0)，(0，±1)，
∵圆的圆心在x轴的正半轴上，且圆经过椭圆＋y2＝1的三个顶点，则圆经过(2,0)，(0，－1)，(0,1)，设圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，
则解得a＝，r＝.
∴圆的标准方程为2＋y2＝.
答案：C
7．(2017届虎林市模拟)以O为中心，F1，F2为两个焦点的椭圆上存在一点M，满足||＝2||＝2||，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
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解析：
延长MO与椭圆交于N，
∵MN与F1F2互相平分，∴四边形MF1NF2是平行四边形．∵平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，
∴|2＋||2＝||2＋||2＋||2＋||2，∵||＋||＝2||＋||＝3||＝2a，||＝||＝a，||＝||＝a，||＝2c，
∴2＋(2c)2＝2＋2＋2＋2，∴＝，∴e＝＝.故选C.
答案：C
8.(2018届玉林模拟)如图所示，一个圆乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米，球桶的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切(球筒和乒乓球厚度均忽略不计)，一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：不妨设椭圆方程为＋＝1，(a＞b＞0)，
由题意得
解得a＝8，b＝2，c＝＝2，
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∴该椭圆的离心率为e＝＝＝.
答案：B
9．(2017届湖北优质高中联考)若n是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的离心率是________．
解析：由n2＝2×8，得n＝±4，当n＝4时，曲线为椭圆，其离心率为e＝＝；当n＝－4时，曲线为双曲线，其离心率为e＝＝.
答案：或
10．(2018届中卫模拟)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上任意一点M到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆C的标准方程是________________．
解析：根据题意，椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，其焦点在x轴上，又由其上任意一点M到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则有2a＝4,2c＝2，即a＝2，c＝1，
则有b2＝a2－c2＝3，
则椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
11．(2017届西安一模)已知△ABC的顶点A(－3,0)和顶点B(3,0)，顶点C在椭圆＋＝1上，则＝________.
解析：由椭圆＋＝1，长轴长为10，短轴长为8，焦距为6，则顶点A，B为椭圆的两个焦点，三角形ABC中，边长a＝|BC|，边长b＝|AC|，边长c＝|AB|＝6，a＋b＝|BC|＋|AC|＝10，由正弦定理可知＝＝＝2R，则sinA＝
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，sinB＝，sinC＝，所以＝＝＝3.
答案：3
12．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，设B(x，y)．
由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得
即B.
将B点坐标代入＋＝1，得
＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3c2.①
又由·＝(－c，－b)·＝，得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.
所以椭圆的方程为＋＝1.
[能 力 提 升]
1．(2017届西宁模拟)设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点P
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在椭圆上，且|＋|＝2，则∠F1PF2＝( )
A. B.
C. D.
解析：因为＋＝2，O为坐标原点，|＋PF2|＝2，所以|PO|＝，又|OF1|＝|OF2|＝，所以P，F1，F2在以点O为圆心的圆上，且F1F2为直径，所以∠F1PF2＝.
答案：D
2．(2018届长郡模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与圆D：x2＋y2－2ax＋a2＝0交于A，B两点，若四边形OADB(O为原点)是菱形，则椭圆C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：由已知可得圆D：(x－a)2＋y2＝a2，圆心D(a,0)，则菱形OADB对角线的交点的坐标为，将x＝，代入圆D的方程得y＝±，不妨设点A在x轴上方，即A，代入椭圆C的方程可得＋＝1，所以a2＝b2＝a2－c2，解得a＝2c，所以椭圆C的离心率e＝＝.
答案：B
3．(2017届广东一模)已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0
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