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[课 时 跟 踪 检 测]
[基 础 达 标]
1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：由得即所求圆的圆心坐标为(1,1)，
又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，
故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
答案：B
2．若圆x2＋y2＋2ax－b2＝0的半径为2，则点(a，b)到原点的距离为( )
A．1 B．2
C. D．4
解析：由半径r＝ ＝ ＝2得， ＝2.∴点(a，b)到原点的距离d＝＝2，故选B.
答案：B
3．若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2－λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是( )
A．(1，＋∞)
B.
C.∪(1，＋∞)
D．R
解析：4λ2＋4λ2－4(2λ2－λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)，故选A.
答案：A
4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
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A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：设圆上任一点为Q(x0，y0)，
PQ的中点为M(x，y)，则
解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，
所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案：A
5．已知点E(1,0)在圆x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0的外部，则k的取值范围为( )
A. B.
C．(－∞，1) D.
解析：由方程表示圆知(－4)2＋22－4×5k＞0，解得k＜1.由点E在圆的外部得12＋02－4×1＋2×0＋5k＞0，解得k＞.故k的取值范围为.
答案：A
6．(2017届人大附中模拟)过坐标原点O作单位圆x2＋y2＝1的两条互相垂直的半径OA、OB，若在该圆上存在一点C，使得＝a＋b(a，b∈R)，则以下说法正确的是( )
A．点P(a，b)一定在单位圆内
B．点P(a，b)一定在单位圆上
C．点P(a，b)一定在单位圆外
D．当且仅当ab＝0时，点P(a，b)在单位圆上
解析：由题意得||＝＝1，所以点P(a，b)在单位圆上，故选B.
答案：B
7．(2018届西宁模拟)如果(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为
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的点，则实数a的取值范围是( )
A．(－3，－1)∪(1,3)
B．(－3,3)
C．[－1,1]
D．[－3，－1]∪[1,3]
解析：圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径r＝2.
由圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为，
∴2－≤|a|≤2＋，∴1≤|a|≤3.
解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.
答案：D
8．(2018届邢台模拟)已知圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，P(2,2)是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：因为圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，
所以圆心坐标为M(1,1)，半径r＝3.
因为P(2,2)是圆内一点，
所以经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦，
结合题意，得AC是经过P点的直径，BD是与AC垂直的弦．
因为|PM|＝＝，
∴由垂径定理得|BD|＝2＝2，
因此，四边形ABCD的面积是S＝|AC|·|BD|＝×6×2＝6.
答案：D
9．(2018届潍坊模拟)已知直线l：x＋2y－4＝0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O，A，B三点的圆的标准方程为______________．
解析：根据题意，直线l：x＋2y－4＝0与坐标轴的交点为(4,0)，(0,2)，经过O，A，B三点的圆即△OAB的外接圆，又△OAB
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是直角三角形，则其外接圆直径为|AB|，圆心为AB的中点，则
2r＝＝2即r＝，
圆心坐标为(2,1)，
则要求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5
10．已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1,1)，B(1，3)，若M(m，)在圆C内，则m的取值范围为________．
解析：设圆心为C(a,0)，由|CA|＝|CB|，
得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.
半径r＝|CA|＝＝.
故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
由题意知(m－2)2＋()2＜10，
解得0＜m＜4.
答案：(0,4)
11．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________.
解析：由题意知，圆的半径r＝ ＝
≤1，
当半径r取最大值时，圆的面积最大，
此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，
则有tanα＝－1，又a∈[0，π)，故α＝.
答案：
12．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD
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的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得
a＋b－3＝0.①
又∵直径|CD|＝4，
∴|PA|＝2，
∴(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得或
∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．
∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
[能 力 提 升]
1．已知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
解析：因为曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9，若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1.
答案：D
2．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6 C．5 D．4
解析：由(x－3)2＋(y－4)2＝1知圆上点P(x0，y0)可化为
∵∠APB＝90°，即·＝0，∴(x0＋m)(x0－m)＋y＝0，
∴m2＝x＋y＝26＋6cosθ＋8sinθ＝26＋10sin(θ＋φ)，
∴16≤m2≤36，又m＞0，∴4≤m≤6，即m的最大值为6.
答案：B
3．设A(－3,0)，B(3,0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离之比为1∶2，则点P的轨迹图形所围成的面积是________．
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解析：设P(x，y)，则由题意有＝，
整理得x2＋y2＋10x＋9＝0，即(x＋5)2＋y2＝16，
所以点P在半径为4的圆上，故其面积为16π.
答案：16π
4．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．
解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)为顶点所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．
∵△OPQ为直角三角形，
∴圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径r＝＝，
因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5
5．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．
(1)求m＋2n的最大值；
(2)求的最大值和最小值．
解：(1)因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心C(2,7)，半径r＝2，设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，
因为该直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离d＝≤2，
解上式得，16－2≤t≤16＋2，
所以所求的最大值为16＋2.
(2)记点Q(－2,3)，
因为表示直线MQ的斜率k，
所以直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
由直线MQ与圆C有公共点，得≤2.
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可得2－≤k≤2＋，所以的最大值为2＋，最小值为2－.
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