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[课 时 跟 踪 检 测]
[基 础 达 标]
1．已知双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是( )
A．4 B.
C．－ D．－4
解析：依题意得m0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：由条件e＝，即＝，得＝＝1＋＝3，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选B.
答案：B
3．(2017届合肥质检)若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：由题意得，＝2⇒b＝2a，又C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选B.
答案：B
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4．(2017年天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
解析：由题意解得a2＝1，b2＝3，所以双曲线方程为x2－＝1.
答案：D
5．(2018届广东七校联考)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为y＝±x，所以根据一条渐近线经过点(3，－4)，可知3b＝4a.又b2＝c2－a2，所以9(c2－a2)＝16a2，即9c2＝25a2，所以e＝＝，故选D.
答案：D
6．(2017年全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)．则△APF的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2,0)，将x＝2代入x2－＝1，得y＝±3，所以|PF|＝3，又A的坐标是(1,3)，故△APF的面积为×3×(2－1)＝
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，故选D.
答案：D
7．(2017届河南六市第一次联考)已知点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )
A．2 B．4
C. D.
解析：由题意，设|AB|＝3k，|BF2|＝4k，|AF2|＝5k，则BF1⊥BF2，|AF1|＝|AF2|－2a＝5k－2a，∵|BF1|－|BF2|＝5k－2a＋3k－4k＝4k－2a＝2a，∴a＝k，∴|BF1|＝6a，|BF2|＝4a，又|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，即13a2＝c2，∴e＝＝.
答案：C
8．(2018届陕西部分学校高三摸底)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1，过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及x轴所围成的三角形的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：设双曲线C1的左顶点为A，则A，双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设题中过点A的直线与渐近线y＝x平行，则该直线的方程为y＝，即y＝x＋1.联立，得解得所以该直线与另一条渐近线及x轴所围成的三角形的面积S＝|OA|×＝××＝，故选C.
答案：C
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9．(2017届西安质检)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：双曲线的右焦点为F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为y＝±x，将x＝2代入x2－＝0，得y2＝12，∴y＝±2，∴|AB|＝4.
答案：4
10．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若|AB|＝4，|BC|＝3，则此双曲线的标准方程为________．
解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)，∴解得∴双曲线的标准方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
11．已知F1，F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q.且△F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为________．
解析：设F2(c,0)(c>0)，P(c，y0)，代入双曲线方程得y0＝±，在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，∴|F1F2|＝|PF2|，即2c＝·.又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2或2a2＝－3b2(舍去)．∵a>0，b>0，∴＝.故所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
12．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上．
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(1)求双曲线的方程；
(2)求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
解：(1)∵e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等．
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.(λ≠0)
∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2.
∵M点在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴·＝0.
(3)∵△F1MF2的底边长|F1F2|＝4.
由(2)知m＝±.
∴△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝×4×＝6.
[能 力 提 升]
1．(2018届惠州模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点P是双曲线上异于A，B的点，直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，则kPA·kPB＝( )
A．1 B.
C. D．3
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解析：由双曲线的离心率为，得b＝a，所以双曲线的方程可化为x2－y2＝a2，左顶点A(－a,0)，右顶点B(a,0)，设点P(m，n)(m≠±a)，则直线PA的斜率kPA＝，直线PB的斜率kPB＝，所以kPA·kPB＝ ①，又P(m，n)是双曲线x2－y2＝a2上的点，所以m2－n2＝a2，得n2＝m2－a2，代入①式得kPA·kPB＝1.
答案：A
2．(2017届三明质检)已知P是双曲线－y2＝1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则·的值是( )
A．－ B.
C．－ D．不能确定
解析：令点P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线分别是－y＝0，＋y＝0，所以可取||＝，||＝，又cos∠APB＝－cos∠AOB＝－cos2∠AOx＝－cos＝－，所以·＝||·||·cos∠APB＝·＝×＝－.
答案：A
3．若点P是以A(－3,0)，B(3,0)为焦点，实轴长为2的双曲线与圆x2＋y2＝9的一个交点，则|PA|＋|PB|＝________.
解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PA|>|PB|.因为点P是双曲线与圆的交点，
所以由双曲线的定义知，|PA|－|PB|＝2，①
又|PA|2＋|PB|2＝36，②
联立①②化简得2|PA|·|PB|＝16，
所以(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA|·|PB|＝52，所以|PA|＋|PB|＝2.
答案：2
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P
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在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为________．
解析：由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，
又已知|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝－e2，要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值．
∵cos∠F1PF2≥－1，∴cos∠F1PF2＝－e2≥－1，解得e≤，即e的最大值为.
答案：
5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.
解：(1)∵双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，∴，解得c＝3，b＝，
∴双曲线的方程为－＝1.
(2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3,0)，
∴经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x－3)．
联立得5x2＋6x－27＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
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所以|AB|＝ × ＝.
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