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[课 时 跟 踪 检 测]
[基 础 达 标]
1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )
A．有且只有一条 B．有且只有两条
C．有且只有三条 D．有且只有四条
解析：设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋＋xB＋＝xA＋xB＋1＝3>2p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．
答案：B
2．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：由得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
解得－0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于C的渐近线的直线交C于点P.若PF1⊥PF2，则C的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
解析：取双曲线C的渐近线为y＝x.因为F1(－c,0)，F2(c,0)，所以过F2作平行于渐近线y＝x的直线PF2的方程为y＝(x－c)．
因为PF1⊥PF2，所以直线PF1的方程为y＝－(x＋c)．
联立方程组
得点P的坐标为.
因为点P在双曲线C上，
所以－＝1，即－＝1.
因为c2＝a2＋b2，所以－＝1，整理得
c2＝5a2.
因为e＝>1，所以e＝.故选D.
答案：D
5．(2017届皖南八校联考)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA
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是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( )
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
解析：(直译法)如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，PM.则MA⊥PA，且|MA|＝1，又因为|PA|＝1，所以|PM|＝＝，
即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2.
答案：D
6．(2017届南昌模拟)已知A(－2,0)，B(1,0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是( )
A．(x＋2)2＋y2＝4(y≠0)
B．(x＋1)2＋y2＝1(y≠0)
C．(x－2)2＋y2＝4(y≠0)
D．(x－1)2＋y2＝1(y≠0)
解析：利用角平分线的性质＝＝＝2.设P(x，y)，(y≠0)，则＝2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)．
答案：C
7．(2017届绵阳二诊)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P在椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A. B．6
C．8 D．12
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解析：由题意得F(－1,0)，设P(x，y)，则·＝(x，y)·(x＋1，y)＝x2＋x＋y2，又点P在椭圆上，故＋＝1，所以x2＋x＋3－x2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，又－2≤x≤2，所以当x＝2时，(x＋2)2＋2取得最大值6，即·的最大值为6.
答案：B
8．(2017届温州十校联考)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴端点到直线y＝a2x的距离为1，则双曲线的离心率的最小值为( )
A．3 B．2
C. D.
解析：因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴端点(0，b)或(0，－b)到直线y＝a2x的距离为1，所以＝1，即b2＝1＋a4，所以离心率e2＝，＝1＋≥1＋2，∴e≥，当且仅当a2＝，即a＝1，b＝时取等号，故选C.
答案：C
9．(2018届西宁模拟)已知点P(2,1)，若抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx＋1－2k，
联立
整理得k2x2＋[2k(1－2k)－4]x＋(1－2k)2＝0.
所以有x1＋x2＝－，
∵弦AB恰好是以P为中点，∴－＝4，解得k＝2.
所以直线方程为y＝2x－3，即2x－y－3＝0.
答案：2x－y－3＝0
10．如图，过抛物线y＝x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2＋(y－1)2＝1交于A，B，C，D四点，则·＝________.
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解析：不妨设直线AB的方程为y＝1，联立解得x＝±2，则A(－2,1)，D(2,1)，因为B(－1,1)，C(1,1)，所以＝(1,0)，＝(－1,0)，所以·＝－1.
答案：－1
11．(2017届河南郑州质检)已知椭圆C1：－＝1与双曲线C2：＋＝1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e1的取值范围为________．
解析：∵椭圆C1：－＝1，∴a＝m＋2，b＝－n，c＝m＋2＋n，e＝＝1＋.∵双曲线C2：＋＝1，∴a＝m，b＝－n，c＝m－n.由题意可得m＋2＋n＝m－n，则n＝－1.∴e＝1－.由m>0，得m＋2>2.∴0，即e>.而0
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