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[课 时 跟 踪 检 测]
[基 础 达 标]
1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
解析：∵ a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝18cos〈a，b〉＝－12，
∴cos〈a，b〉＝－.∴a在b方向上的投影是|a|cos〈a，b〉＝－4.
答案：A
2．(2018届河南八市重点高中质检)已知平面向量a，b的夹角为，且a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|等于( )
A. B．2
C．3 D．4
解析：因为a·(a－b)＝8，所以a·a－a·b＝8，即|a|2－
|a||b|cos〈a，b〉＝8，所以4＋2|b|×＝8，解得|b|＝4.
答案：D
3．已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a与向量a＋b的夹角为( )
A. B.
C. D．π
解析：由题意，得|2a＋b|2＝4＋4a·b＋3＝7，所以a·b＝0，所以a·(a＋b)＝1，且|a＋b|＝＝2，故cos〈a，a＋b〉＝＝，所以〈a，a＋b〉＝，故选B.
答案：B
4．(2018届辽宁抚顺一中月考)在△ABC中，C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足＝2，则·＝( )
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A．2 B．3
C．－3 D．6
解析：∵＝2，∴＝＝(－)，
∴·＝(＋)·＝·＝＋·＝3.故选B.
答案：B
5．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，向量m＝(2cosC－1，－2)，n＝(cosC，cosC＋1)，若m⊥n，且a＋b＝10，则△ABC周长的最小值为( )
A．10－5 B．10＋5
C．10－2 D．10＋2
解析：∵m⊥n，∴m·n＝0，即2cos2C－cosC－2cosC－2＝0.整理得2cos2C－3cosC－2＝0，解得cosC＝－或cosC＝2(舍去)．又∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab(1＋cosC)＝102－2ab≥100－2＝100－25＝75，∴c≥5，则△ABC的周长为a＋b＋c≥10＋5.故选B.
答案：B
6．已知|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，则a＋b与a－b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：由a＋b＝(，1)得|a＋b|2＝(a＋b)2＝4，又|a|＝1，|b|＝，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋2a·b＋3＝4，解得2a·b＝0，所以|a－b|＝＝＝2，设a＋b与a－b的夹角为θ，则由夹角公式可得cosθ＝＝＝－，且θ∈[0，π]，所以θ＝π，即a＋b与a－b的夹角为π
答案：C
7．(2017届山东师大附中模拟)如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC
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＝5，则·的值等于( )
A．－8 B．－1
C．1 D．8
解析：取的中点D，连接OD，AD，则·＝0且＋＝，即＝－.而 ＝(＋)，所以·＝·－·＝·＝(＋)·(－)＝(－)＝(52－32)＝8，故选D.
答案：D
8．(2018届衡水调研)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为________．
解析：∵(2a＋b)·b＝0，∴2|a||b|cosθ＋b2＝0.
由|a|＝|b|，可得cosθ＝－，∴θ＝120°.
答案：120°
9．已知正方形ABCD的边长为1点，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．
解析：以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)．设E(1，a)(0≤a≤1)，所以·＝(1，a)·(1,0)＝1，·＝(1，a)·(0,1)＝a≤1.故 ·的最大值为1.
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答案：1 1
10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|和|a－b|；
(3)若＝a，＝b，作△ABC，求△ABC的面积．
解：(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
∵|a|＝4，|b|＝3，代入上式求得a·b＝－6.
∴cosθ＝＝＝－.
又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝
42＋2×(－6)＋32＝13，
∴|a＋b|＝.同理，|a－b|＝＝.
(3)由(1)知∠BAC＝θ＝120°，
||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
∴S△ABC＝||·||·sin∠BAC＝×3×4×sin120°＝3.
11．已知a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|.
解：由已知，|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42，
∴a2＋2a·b＋b2＝16.①
∵|a|＝2，|b|＝3，∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，
代入①式得4＋2a·b＋9＝16，即2a·b＝3，
又∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10，∴|a－b|＝.
12．在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC为直角三角形，求实数k的值．
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解：当A＝90°时，·＝0，∴2×1＋3×k＝0，∴k＝－；
当B＝90°时，·＝0，
＝－＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)．
∴2×(－1)＋3×(k－3)＝0，∴k＝；
当C＝90°时，·＝0，
∴－1＋k(k－3)＝0，∴k＝.
综上所述，k＝－或或.
[能 力 提 升]
1．(2018届辽阳质检)设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)．若＝＋，则∠BAC的度数等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：取BC的中点D，连接AD，则＋＝2，
又＝＋，即得3＝2，
∴AD为BC的中线且O为重心，又O为外心，
∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，故选C.
答案：C
2．(2017届湖南十校联考)在△ABC中，点M是BC的中点，若∠A＝120°，·＝－，则||的最小值是( )
A. B.
C. D.
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解析：由已知得·＝||·||·cosA，
所以－＝||·||·cos120°，则||·||＝1.
因为M为BC的中点，所以＝(＋)，
||＝|＋|＝ ＝
.
因为||2＋||2≥2||·||＝2，所以||≥
＝，所以||min＝
答案：D
3．若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．
解析：由|2a－b|≤3可知，4a2＋b2－4a·b≤9，所以4a2＋b2≤9＋4a·b.而4a2＋b2＝|2a|2＋|b|2≥2|2a|·|b|≥－4a·b，所以a·b≥－，当且仅当2a＝－b时取等号．
答案：－
4．已知a＝(1,1)，向量a与b的夹角为，且a·b＝－1.
(1)求向量b；
(2)若向量b与向量p＝(1,0)的夹角为，向量q＝，其中A，C为△ABC的内角，且A＋C＝，求|b＋q|的最小值．
解：(1)设b＝(x，y)，由a·b＝－1得，x＋y＝－1，①
∵a与b的夹角为，∴a·b＝|a||b|cos＝－1，
即··＝－1，∴x2＋y2＝1.②
由①②解得或∴b＝(－1,0)或b＝(0，－1)．
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(2)由b⊥p得b＝(0，－1)，
由A＋C＝得0
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