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[课 时 跟 踪 检 测]
[基 础 达 标]
1．(2017届山东德州模拟)抛物线x2＝y的焦点到准线的距离是( )
A．2 B．1
C. D.
解析：抛物线标准方程x2＝2py(p>0)中p的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又p＝，故选D.
答案：D
2．以x＝1为准线的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝－2x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：由准线x＝1知，抛物线方程为：y2＝－2px(p>0)且＝1，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝－4x，故选D.
答案：D
3．若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0,1)，则a＝( )
A．1 B.
C．2 D.
解析：因为抛物线的标准方程为x2＝y，所以其焦点坐标为，则有＝1，a＝，故选D.
答案：D
4．(2018届衡水模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|＝10，则抛物线方程是( )
A．y2＝4x B．y2＝2x
C．y2＝8x D．y2＝6x
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解析：设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，
由抛物线定义可知|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋x2＋p.
又∵线段PQ中点的横坐标为3，又|PQ|＝10，
∴10＝6＋p，可得p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x.
答案：C
5．已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是( )
A．2 B.
C. D.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以点C的横坐标是＝.
答案：C
6．(2018届汕头一模)过抛物线C：x2＝2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则线段|AF|＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：∵x2＝2y，∴y′＝x，∴抛物线C在点B处的切线斜率为1，∴B.∵x2＝2y的焦点F，∴直线l的方程为y＝，又准线方程为y＝－，∴|AF|＝1.
答案：A
7．(2018届辽宁五校协作体模拟)抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是( )
A．4 B．3
C．4 D．8
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解析：由抛物线的定义可得|AF|＝|AH|，∵AF的斜率为，∴AF的倾斜角为30°.∵AH垂直于准线，
∴∠FAH＝60°，故△AHF为等边三角形．设A，m>0，由|AF|＝|AH|，得－1＝，解得m＝2，故等边△AHF的边长|AH|＝4，∴△AHF的面积是×4×4sin60°＝4.故选C.
答案：C
8．(2017届平遥县模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝3，则|QF|＝( )
A. B.
C．3 D．6
解析：如下图所示，抛物线C的焦点为(2,0)，准线为x＝－2，准线与x轴的交点为N.
过点Q作准线的垂线，垂足为M，由抛物线的定义知|MQ|＝|QF|，又因为＝3，所以3|MQ|＝|PF|，
又因为＝，可得|MQ|＝4×＝.
所以，∴|QF|＝|QM|＝.故选B.
答案：B
9．(2017届浙江模拟)若坐标原点到抛物线x＝m2y2的准线的距离为2，则m＝________；焦点坐标为________．
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解析：抛物线的标准方程为y2＝x，则准线方程为x＝－，∵坐标原点到抛物线x＝m2y2的准线的距离为2，∴－＝－2，即＝2，即m2＝，则m＝±，则抛物线的焦点坐标为(2,0)．
答案：± (2,0)
10．已知点P在抛物线y2＝4x上，且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离为________．
解析：设点P的坐标为(xP，yP)，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故＝，解得xP＝1，所以y＝4，所以|yP|＝2.
答案：2
11．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y2＝2x上的正三角形的面积为________．
解析：如图，根据对称性：A，B关于x轴对称，故∠AOx＝30°.直线OA的方程为y＝x，代入y2＝2x，得x2－6x＝0，解得x＝0或x＝6.即得A的坐标为(6，2)．∴|AB|＝4，∴正三角形OAB的面积为×4×6＝12.
答案：12
12．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
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解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，
∴p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)∵点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．
又∵F(1,0)，∴kFA＝，∵MN⊥FA，∴kMN＝－.
又FA的方程为y＝(x－1)，①
MN的方程为y－2＝－x，②
联立①②，解得x＝，y＝，
∴N的坐标为.
[能 力 提 升]
1．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
解析：如图，分别过A，B作AA1⊥l于点A1，BB1⊥l于点B1，由抛物线的定义知|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，
∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过点F作FF1⊥AA1于点F1，则F1为AA1的中点，设
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l交x轴于点K，则|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，
即p＝，∴抛物线方程为y2＝3x，故选C.
答案：C
2．抛物线C：x2＝8y与直线y＝2x－2相交于A，B两点，点P是抛物线C上不同于A，B的一点，若直线PA，PB分别与直线y＝2相交于点Q，R，O为坐标原点，则·的值是( )
A．20
B．1
C．12
D．与点P位置有关的一个实数
解析：设点P，A，B，Q(a,2)，R(b,2)．由得x2－16x＋16＝0，x1x2＝16.由P，A，Q共线得＝＝，∴a＝＝＝，同理b＝，∴ab＝×＝x1x2＝16，∴·＝ab＋4＝20，故选A.
答案：A
3．(2017届奉贤区二模)已知实数x、y满足方程(x－a＋1)2＋(y－1)2＝1，当0≤y≤b(b∈R)时，由此方程可以确定一个偶函数y＝f(x)，则抛物线y＝－x2的焦点F到点(a，b)的轨迹上点的距离最大值为________．
解析：由题意可得圆的方程一定关于y轴对称，故由－a＋1＝0，求得a＝1.由圆的几何性质知，只有当y≤1时，才能保证此圆的方程确定的函数是一个偶函数，故00)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
解：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.
因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)．又F(1,0)，∴直线AF的方程y＝2(x－1)．由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，从而B.又G(－1,0)．所以kGA＝＝，kGB
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＝＝－，所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆与直线GB相切．
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