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[课 时 跟 踪 检 测]
[基 础 达 标]
1．直线(t为参数)的倾斜角为( )
A．70° B．20° C．160° D．110°
解析：将直线参数方程化为标准形式(t为参数)，则倾斜角为20°，故选B.
答案：B
2．若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为( )
A. B．－
C. D．－
解析：得3x＋2y－7＝0，则直线的斜率为－.
答案：D
3．下列参数方程与方程y2＝x表示同一曲线的是( )
A.(t为参数)
B.(t为参数)
C. (t为参数)
D.(t为参数)
解析：对于A，消去t后所得方程为x2＝y，不符合y2＝x；对于B，消去t后所得方程为y2＝x，但要求0≤x≤1，也不符合y2＝x；对于C，消去t得方程为y2＝|x|，且要求y≥0，x∈R，也不符合y2＝x；对于D，x＝＝＝tan2t＝y2，符合y2＝x.故选D.
答案：D
4．与参数方程为(t为参数)等价的普通方程为( )
A．x2＋＝1
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B．x2＋＝1(0≤x≤1)
C．x2＋＝1(0≤y≤2)
D．x2＋＝1(0≤x≤1,0≤y≤2)
解析：∵x2＝t，＝1－t＝1－x2，∴x2＋＝1，而t≥0，0≤1－t≤1，得0≤y≤2.
答案：D
5．参数方程(θ为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：参数方程(θ为参数)表示的曲线的普通方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，这是圆心为(－3,4)，半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为1.
答案：A
6．(2017届北京朝阳二模)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4·sin，则直线l和曲线C的公共点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析：直线l：(t为参数)化为普通方程得x－y＋4＝0；曲线C：ρ＝4sin化成普通方程得(x－2)2＋(y－2)2＝8，∴圆心C(2,2)到直线l的距离为d＝＝2＝r.∴直线l与圆C只有一个公共点，故选B.
答案：B
7．(2015年湖北卷)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：因为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，所以ρsinθ＝3ρcosθ，所以y＝3x.由消去t得y2－
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x2＝4.由解得 或
不妨令A，B，由两点间的距离公式得|AB|＝ ＝2.
答案：2
8．(2017届人大附中模拟)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＋2sinθ＝0，若在圆C上存在一点P，使得点P到直线l的距离最小，则点P的直角坐标为________．
解析：由已知得直线l的普通方程为y＝－x＋1＋2，圆C的直角坐标方程为x2＋(y＋1)2＝1，在圆C上任取一点P(cosα，－1＋sinα)(α∈[0,2π))，则点P到直线l的距离为d＝＝＝.
∴当α＝时，dmin＝，此时P
答案：
9．(2017届贵州适应性考试)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈.
(1)求C的参数方程；
(2)若半圆C与圆D：(x－5)2＋(y－)2＝m(m是常数，m>0)相切，试求切点的直角坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤y≤2)，则C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．
(2)C，D的圆心坐标分别为(2,0)，(5，)，
于是直线CD的斜率k＝＝.
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由于切点必在两个圆心的连线上，
故切点对应的参数t满足tant＝，t＝，
所以，切点的直角坐标为，
即(2＋，1)．
10．(2017届湖北八校联考)已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′.
(1)求曲线C′的普通方程；
(2)若点A在曲线C′上，点D(1,3)．当点A在曲线C′上运动时，求AD中点P的轨迹方程．
解：(1)将代入得曲线C′的参数方程为∴曲线C′的普通方程为＋y2＝1.
(2)设点P(x，y)，A(x0，y0)，
又D(1,3)，且AD的中点为P，∴
又点A在曲线C′上，∴代入C′的普通方程＋y2＝1，
得(2x－1)2＋4(2y－3)2＝4，
∴动点P的轨迹方程为(2x－1)2＋4(2y－3)2＝4.
[能 力 提 升]
1．(2018届湖南长沙质检)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＋3＝0，θ∈[0,2π)．
(1)求C1的直角坐标方程；
(2)曲线C2的参数方程为(t为参数)．求C1与C2的公共点的极坐标．
解：(1)将代入ρ2－4ρcosθ＋3＝0，得(x－2)2＋y2 ＝1.
(2)由题设可知，C2是过坐标原点，倾斜角为的直线，
因此C2的极坐标方程为θ＝或θ＝，(ρ>0)，
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将θ＝代入C1得ρ2－2ρ＋3＝0，解得ρ＝；
将θ＝代入C1得ρ2＋2ρ＋3＝0，解得ρ＝－，不合题意．
故C1与C2的公共点的极坐标为.
2．(2017届湖南长沙质检)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1)以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
(2)已知A(－2,0)，B(0,2)，圆C上任意一点M(x，y)，求△ABM面积的最大值．
解：(1)圆C的参数方程为(θ为参数)，
所以普通方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝4.
由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得(ρcosθ－3)2＋(ρsinθ＋4)2 ＝4，
化简可得圆C的极坐标方程为ρ2－6ρcosθ＋8ρsinθ＋21＝0.
(2)点M(x，y)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为d＝＝，
△ABM的面积S＝×|AB|×d＝|2cosθ－2sinθ＋9|＝，
所以△ABM面积的最大值为9＋2.
3．在直角坐标系xOy，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝ .
(1)直接写出直线l的普通方程、曲线C的直角坐标方程；
(2)设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．
解：(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0.
曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3.
(2)∵曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3，即x2＋＝1，
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∴曲线C上的任一点的坐标可表示为(cosα，sinα)．
∴d＝＝＝
.
∴d的最小值为＝，d的最大值为＝.
∴≤d≤，即d的取值范围为.
4．(2018届河南六市一联)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝.
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．
解：(1)由曲线C的极坐标方程ρ＝，得ρ2sin2θ＝2ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程是y2＝2x.
由直线l的参数方程得t＝3＋y，代入x＝1＋t中，消去t得x－y－4＝0，所以直线l的普通方程为x－y－4＝0.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2＝2x，得t2－8t＋7＝0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝8，t1t2＝7，
所以|AB|＝|t1－t2|＝×＝6.
且原点到直线AB的距离d＝＝2，
∴S△AOB＝×|AB|×d＝×6×2＝12.
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