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[课 时 跟 踪 检 测]
[基 础 达 标]
1．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10°
B．北偏西10°
C．南偏东80°
D．南偏西80°
解析：由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯搭A在灯塔B南偏西80°。
答案：D
2．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为( )
A．8 km/h B．6 km/h
C．2 km/h D．10 km/h
解析：设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sinθ＝＝，从而cosθ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6.
答案：B
3．(2018届德阳模拟)已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a B.a
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C.a D．2a
解析：画出相应的图形，如图所示，∠ACB＝120°，|CA|＝|CB|＝a，
∴∠A＝∠B＝30°，
在△ABC中，根据正弦定理＝得|AB|＝＝a，
则灯塔A与灯塔B的距离为a.故选B.
答案：B
4．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为( )
A．15米 B．5米
C．10米 D．1米
解析：如图所示，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝
OA＝h.
在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，
则OD＝h，在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去)．
答案：C
5．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )
A．1千米 B．2sin10° 千米
C．2cos10° 千米 D．cos20° 千米
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解析：由题意知DC＝BC＝1，∠BDC＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°＝1＋1－2×1×1×cos(180°－20°)＝2＋2cos20°＝4cos210°，∴BD＝2cos10°.
答案：C
6．(2018届四川成都七中期中)如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为( )
A．50 m B．50 m
C．25 m D. m
解析：由正弦定理得＝，
∴AB＝×sin∠ACB＝×sin45°＝50，故A、B两点的距离为50 m，故选A.
答案：A
7．在200 m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( )
A. m B. m
C. m D. m
解析：如图，在Rt△BAC中，∠ABC＝30°，AB＝200，
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∴BC＝＝.
∵∠EBD＝30°，∠EBC＝60°，
∴∠DBC＝30°，∠BDC＝120°.
在△BDC中，＝.
∴DC＝＝＝(m)．
答案：A
8．(2018届潍坊质检)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌时长为50 s，升旗手应以________m/s的速度匀速升旗．
解析：依题意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.
由正弦定理可知＝，
∴AC＝·sin∠CEA＝20 m.
∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝20×＝30 m．∵国歌时长为50 s，∴升旗速度为＝0.6 m/s.
答案：0.6
9．如图，在△ABC中，sin＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2
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DC，BD＝，则cosC＝________.
解析：由条件得cos∠ABC＝，sin∠ABC＝.
在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，
则由余弦定理得9b2＝a2＋4－a.①
因为∠ADB与∠CDB互补，所以cos∠ADB＝－cos∠CDB，所以＝－，所以3b2－a2＝－6，②
联立①②解得a＝3，b＝1，所以AC＝3，BC＝3.
在△ABC中，cosC＝＝＝.
答案：
10．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.
解：如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×，即360t2－90t－100＝0，解得 t＝或t＝－
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(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h．此时AB＝14，BC＝6.
在△ABC中，根据正弦定理，得＝，
所以sin∠CAB＝＝，
即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2 °(舍去)，
即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.
所以舰艇以66.8°的方位角航行，需 h才能靠近渔轮．
[能 力 提 升]
1．(2018届广东深圳第二次调研)如图，在凸四边形ABCD中，AB＝1，BC＝，AC⊥CD，AC＝CD.当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为________．
解析：设AC＝CD＝x，在△ABC中，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，所以x2＝1＋3－2cos∠ABC＝4－2cos∠ABC.①由正弦定理得＝，即sin∠ACB＝.②在△BCD中，
由余弦定理知，BD＝ ＝ ，
将①②式代入化简得，BD＝ .
因为∠ABC∈(0，π)，所以sin可以取到最大值1，所以|BD|max＝＝＋1.
答案：＋1
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2．(2018届盐城质检)如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?
解：设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝.
因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ)．
在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)．
AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝·sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°－θ)cos(60°＋θ)
＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4
＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4
＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋
＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)．
当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.
所以设计∠AMN＝60°时，工厂产生的噪声对居民影响最小．
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