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[课 时 跟 踪 检 测]
[基 础 达 标]
1．空间四点中，三点共线是这四点共面的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：三点共线一定推出四点共面，但是四点共面推不出三点一定共线，故选A.
答案：A
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
解析：由BC綊AD，AD綊A1D1知，BC綊A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，则A1B与EF相交．
答案：A
3．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )
A．相交或平行 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交，平行或异面，故选D.
答案：D
4．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a∥b，a∥c，则b∥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中真命题的序号是( )
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A．①② B．②③
C．①④ D．②④
解析：若a⊥b，b⊥c，则a∥c或a与c相交或a与c异面，所以①是假命题；在空间中，平行于同一直线的两条直线平行，所以②是真命题；若a∥γ，b∥γ，则a∥b或a与b相交或a与b异面，所以③是假命题；若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以④是真命题，故选D.
答案：D
5．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是( )
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面
D．B，B1，O，M共面
解析：连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，
∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1.
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．
∴A，M，O三点共线．
答案：A
6．(2017届浙江温州二模)已知a，b为异面直线，下列结论不正确的是( )
A．必存在平面α，使得a∥α，b∥α
B．必存在平面α，使得a，b与α所成角相等
C．必存在平面α，使得a⊂α，b⊥α
D．必存在平面α，使得a，b与α的距离相等
解析：由a，b为异面直线知，在A中，在空间中任取一点O，过O分别作
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a，b的平行线，则由过O的a，b的平行线确定一个平面α，使得a∥α，b∥α，故正确；
在B中，平移b至b′与a相交，因而确定一个平面α，在α上作a，b′交角的平分线，明显可以做出两条．过角平分线且与平面α垂直的平面α使得a，b与α所成角相等．角平分线有两条，所以有两个平面都可以，故正确；
在C中，当a，b不垂直时，不存在平面α使得a⊂α，b⊥α，故错误；
在D中，过异面直线a，b的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面α，则平面α使得a，b与α的距离相等，故正确．
答案：C
7．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是( )
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
解析：由AC⊥平面DBB1D1，可知AC⊥BE，故A正确；由EF∥BD，EF⊄平面ABCD，知EF∥平面ABCD，故B正确；A到平面BEF的距离即A到平面DBB1D1的距离为，且S△BEF＝BB1×EF＝定值，故VA－BEF为定值，故C正确．
答案：D
8．如图，正三棱柱ABC－A′B′C′的底面边长和侧棱长均为2，D、E分别为AA′与BC的中点，则A′E与BD所成角的余弦值为( )
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A．0 B.
C. D.
解析：取B′B中点F，连接A′F，则有A′F綊BD，
∴∠FA′E或其补角即为所求．
∵正三棱柱ABC－A′B′C′棱长均为2，
∴A′F＝，FE＝，A′E＝.
∴cos∠FA′E＝，
故A′E与BD所成角余弦值为.
答案：B
9．对于空间三条直线，有下列四个条件：
①三条直线两两相交且不共点；
②三条直线两两平行；
③三条直线共点；
④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．
其中使三条直线共面的充分条件有________．
解析：易知①中的三条直线一定共面；三棱柱三侧棱两两平行，但不共面，故②错；三棱锥三侧棱交于一点，但不共面，故③错；④中两条直线平行可确定一个平面，第三条直线和这两条直线相交于两点，则第三条直线也在这个平面内，故三条直线共面．
答案：①④
10．如图，E，F分别是三棱锥P－ABC的棱AP，BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为________．
解析：取AC的中点为M，连接EM，MF，
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因为E，F分别是AP、BC的中点，
所以MF∥AB，MF＝AB＝＝3，
ME∥PC，ME＝PC＝＝5，所以在△EMF中，∠EMF(或其补角)即为AB与PC所成的角(或其补角)．
∴cos∠EMF＝＝＝－，所以∠EMF＝120°，所以异面直线AB与PC所成的角为60°.
答案：60°
11．下列各图的正方体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上)．
解析：①中直线QP与直线RS相交，所以四点共面；
②中直线PS与直线QR平行，所以四点共面．
③中直线SR与直线PQ平行，所以四点共面；
④中直线PS与直线RQ异面，所以四点不共面．
答案：①②③
12．已知空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD的中点．
(1)求证：BC与AD是异面直线；
(2)求证：EG与FH相交．
证明：(1)假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，则B，C，A，D∈α.
所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾，所以BC与AD是异面直线．
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(2)如图，连接AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，
因此EF∥HG；
同理EH∥FG，则四边形EFGH为平行四边形．
又EG，FH是▱EFGH的对角线，
所以EG与FH相交．
[能 力 提 升]
1．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是( )
A．(0，) B．(0，)
C．(1，) D．(1，)
解析：构造四面体ABCD，使AB＝a，CD＝，AD＝AC＝BC＝BD＝1，取CD的中点E，连接AE，BE.
则AE＝BE＝，所以＋>a,0
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