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[课 时 跟 踪 检 测]
[基 础 达 标]
1．已知等比数列{an}的各项均为正数，a1＝1，公比为q；等差数列{bn}中，b1＝3，且{bn}的前n项和为Sn，a3＋S3＝27，q＝.
(1)求{an}与{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}满足cn＝，求{cn}的前n项和Tn.
解：(1)设数列{bn}的公差为d，∵a3＋S3＝27，q＝，
∴q2＋3d＝18,6＋d＝q2，联立方程可求得q＝3，d＝3，
∴an＝3n－1，bn＝3n.
(2)由题意得，Sn＝，cn＝＝××＝－，
∴Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.
2．(2017届广州综合测试)已知数列{an}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2log2an－1，求数列{anbn}的前n项和Tn.
解：(1)设数列{an}的公比为q，
因为a2＝4，所以a3＝4q，a4＝4q2.
因为a3＋2是a2和a4的等差中项，所以2(a3＋2)＝a2＋a4，
即2(4q＋2)＝4＋4q2，化简得q2－2q＝0，
因为公比q≠0，所以q＝2，
所以an＝a2qn－2＝4×2n－2＝2n(n∈N*)．
(2)因为an＝2n，所以 bn＝2log2an－1＝2n－1，
所以anbn＝(2n－1)2n，
则Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①
2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)·2n＋1，②
由①－②得，
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－Tn＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)2n＋1＝2＋2×－(2n－1)2n＋1＝－6－(2n－3)2n＋1，
所以Tn＝6＋(2n－3)2n＋1.
3．Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．
解：(1)由a＋2an＝4Sn＋3，①
可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3，②
②－①，得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，
即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．
由an>0，得an＋1－an＝2.
又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，
通项公式为an＝2n＋1.
(2)由an＝2n＋1可知
bn＝＝＝.
设数列{bn}的前n项和为Tn，则
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝.
4．(2018届湖南八校联考)已知数列{an}与{bn}满足an＋1－an＝2(bn＋1－bn)(n∈N*)．
(1)若a1＝1，bn＝3n＋5，求数列{an}的通项公式；
(2)若a1＝6，bn＝2n(n∈N*)且λan>2n＋n＋2λ对一切 n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
解：(1)因为an＋1－an＝2(bn＋1－bn)，bn＝3n＋5，
所以an＋1－an＝2(bn＋1－bn)＝2(3n＋8－3n－5)＝6，
所以{an}是等差数列，首项为a1＝1，公差为6，即an＝6n－5.
(2)因为bn＝2n，所以an＋1－an＝2(2n＋1－2n)＝2n＋1，
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当n≥2时，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n＋2n－1＋…＋22＋6＝2n＋1＋2，
当n＝1时，a1＝6，符合上式，
所以an＝2n＋1＋2，由λan>2n＋n＋2λ得λ>＝＋.
因为－＝≤0，
所以当n＝1,2时，取最大值，
故λ的取值范围为.
[能 力 提 升]
1．已知数列{an}的首项为a1＝1，前n项和为Sn，且数列是公差为2的等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)由已知得＝1＋(n－1)×2＝2n－1，所以Sn＝2n2－n，
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3.
a1＝1＝4×1－3，所以an＝4n－3，n∈N*.
(2)由(1)可得bn＝(－1)nan＝(－1)n(4n－3)．
当n为偶数时，
Tn＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋[－(4n－7)＋(4n－3)]＝4×＝2n；
当n为奇数时，n＋1为偶数，
Tn＝Tn＋1－bn＋1＝2(n＋1)－(4n＋1)＝－2n＋1，
综上，Tn＝
2．在数列{an}中，已知an>1，a1＝1＋，且an＋1－an＝，记bn＝(an－1)2，n∈N*.
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(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Sn，证明：≤＋＋＋…＋0，
所以当n>1时，an－an－1＝1.
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又当n＝1时，a＋a1＝2S1＝2a1，得a1＝1，
所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以an＝n.
(2)证明：由(1)及等差数列的前 n项和公式知Sn＝ ，所以＝>＝，
所以＋＋…＋>＋＋…＋＝＝ .
又＝< ＝，
所以＋＋…＋
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