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第六节 双曲线
[考纲传真] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．
1．双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
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离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，
线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
3.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.
三种常见双曲线方程的设法
(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB0)表示焦点在x轴上的双曲线． ( )
(3)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0. ( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．双曲线－＝1的焦距为( )
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A．5 B. C．2 D．1
C [由双曲线－＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝，所以双曲线－＝1的焦距为2.]
3．(教材题改编)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )
A．2 B. C. D．1
D [依题意，e＝＝＝2，∴＝2a，则a2＝1，a＝1.]
4．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
17 [由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.]
5．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为________．
－y2＝1 [由题意可得解得a＝2，则b＝1，
所以双曲线的方程为－y2＝1.]
双曲线的定义及应用
1. 已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( )
A. B. C. D.
C [∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，∴|PF1|＝2|PF2|＝4，则cos∠F1PF2＝
＝＝.选C.]
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2．若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是( )
A．8 B．9 C．10 D．12
B [由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．]
[规律方法] 双曲线定义的两个应用
一是判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；
二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.
双曲线的标准方程
【例1】 设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是________．
－＝1 [法一：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，根据双曲线的定义知2a＝|－|＝4，故a＝2.
又b2＝32－22＝5，故所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝9，①
又点(，4)在双曲线上，所以－＝1，②
联立①②解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
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法三：设双曲线的方程为＋＝1(270，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是________．
(1)y＝±x (2)x±y＝0 [(1)因为e＝＝，所以c2＝a2＋b2＝3a2，故b＝a，则此双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
(2)由题意，不妨设|PF1|>|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c>a，所以有|PF2|0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
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B [由离心率为，可知a＝b，c＝a，所以F(－a,0)，由题意知kPF＝＝＝1，所以a＝4，解得a＝2，所以双曲线的方程为－＝1.]
[规律方法] 与双曲线几何性质有关问题的解题策略
(1)求双曲线的离心率或范围.依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式或不等式，解方程或不等式即可求得.
(2)求双曲线的渐近线方程.依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.
(1)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
(2)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
(1)A (2)2 [(1)若双曲线的焦点在x轴上，则又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴∴－10)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
A [因为双曲线的离心率为，所以＝，即c＝a.又c2＝a2＋b2，所以(a)2＝a2＋b2，化简得2a2＝b2，所以＝.因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以y＝±x.故选A]
2．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )
A. B．2 C. D．2
D [法一：由离心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C的渐近线的距离为＝2.故选D.
法二：离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式得点(4,0)到C的渐近线的距离为＝2.故选D.]
3．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.
5 [∵双曲线的标准方程为－＝1(a>0)，
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∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.]
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