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第7章 立体几何初步
第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图
[考纲传真] 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
1．多面体的结构特征
2．旋转体的形成
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
任一边所在的直线
圆锥
直角三角形
任一直角边所在的直线
圆台
直角梯形
垂直于底边的腰所在的直线
球
半圆
直径所在的直线
3.三视图的画法
(1)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．
(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．
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4．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．
1．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系如下．
S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．
2．常见旋转体的三视图
(1)球的三视图都是半径相等的圆．
(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．
(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．
(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．
3．正棱柱、正棱锥的结构特征
(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( )
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )
(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台． ( )
(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同． ( )
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[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)如图所示，长方体ABCDA′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是( )
A．棱台 B．四棱柱
C．五棱柱 D．简单组合体
C [由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．]
3．下列说法正确的是( )
A．相等的角在直观图中仍然相等
B．相等的线段在直观图中仍然相等
C．正方形的直观图是正方形
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
D [根据斜二测画法的规则知，A，B，C均不正确，故选D.]
4．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．四面体 D．三棱柱
A [由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．]
5．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于________．
2π [由题意得圆柱的底面半径r＝1，母线l＝1，
所以圆柱的侧面积S＝2πrl＝2π.]
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空间几何体的结构特征
1．给出下列命题：
(1)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
(2)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；
(3)在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
(4)存在每个面都是直角三角形的四面体；
(5)棱台的侧棱延长后交于一点．
其中正确命题的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
C [(1)不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；(2)正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；(3)正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；(4)正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形；(5)正确，由棱台的概念可知．]
2．以下命题：
(1)以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
(2)以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
(4)一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [命题(1)错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题(2)错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题(3)对；命题(4)错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．]
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3．下列结论正确的是 ( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
D [A错误．如图①所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．
图① 图②
B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．
C错误．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．]
[规律方法] 解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧
(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可.
(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.
(3)棱(圆)台是由棱(圆)锥截得的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.
空间几何体的三视图
►考法1 已知几何体，识别三视图
【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)
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中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
(2)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为( )
(1)A (2)D [(1)由题意可知，咬合时带卯眼的木构件如图所示，其俯视图为选项A中的图形．
(2)由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.]
►考法2 已知三视图，判断几何体
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【例2】 (1)(2018·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)(2019·郑州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．
(1)C (2)2 [(1)在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥PABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C.
(2)由三视图可知该三棱锥的底面是斜边长为2的等腰直角三角形，有一条长度为2的侧棱垂直于底面，所以三条侧棱长分别是2，，2.故该三棱锥中最长棱的棱长为2.]
►考法3 已知三视图中的两个视图，判断另一个视图
【例3】 (1)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )
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(2)(2018·衡水模拟)如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是 ( )
(1)C (2)C [(1)由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C.
(2)由该几何体的正视图和侧视图可知该几何体是柱体，且其高为1，由其体积是，可知该几何体的底面积是，由图知A的面积是1，B的面积是，C的面积是，D的面积是，故选C.]
[规律方法] 1.已知几何体，识别三视图的技巧,已知几何体画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面上的实虚.
2.已知三视图，判断几何体的技巧
(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉.
(2)明确三视图的形成原理，“直角本由垂线生，虚线皆因遮挡起”，并能结合空间想象将三视图还原为直观图.
(3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则.
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(4)对于简单组合体的三视图，应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同.
(1)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱棱长为( )
A．1 B. C. D．2
(2)如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面ABC，其正视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧视图的面积为 ( )
A. B．2 C．2 D．4
(1)C (2)B [(1)由三视图可知AD＝BC＝CD＝DE＝EB＝1，AE＝AC＝，AB＝.所以最长棱棱长为.
(2)其侧视图为一矩形，其宽为三棱柱底面正三角形的高．所以面积S＝2.]
空间几何体的直观图
【例4】 (1)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
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A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．一般的平行四边形
(1)D (2)C [(1)如图①②所示的实际图形和直观图，
由图②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，
在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a，
所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2，故选D.
(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2 cm.
所以OC＝＝＝6(cm)，
所以OA＝OC，故四边形OABC是菱形，故选C.]
[规律方法] 1.用斜二测画法画直观图的技巧
在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′
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轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．
2．平面图形直观图与原图形面积间的关系
对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S与直观图面积S′之间的关系S′＝S，能更快捷地进行相关问题的计算．
(1)(2018·襄阳模拟)如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________．
(2)如图正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________cm.
(1)2＋ (2)8 [(1)把直观图还原为平面图形得：
在直角梯形ABCD中，AB＝2，BC＝＋1，AD＝1，
所以面积为(2＋)×2＝2＋.
(2)由题意知正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB＝ cm，对应原图形平行四边形的高为2 cm，所以原图形中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝＝3 cm，故原图形的周长为2×(1＋3)＝8 cm.]
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1．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )
A．2 B．2
C．3 D．2
B [设过点M的高与圆柱的下底面交于点O，将圆柱沿MO剪开，则M，N的位置如图所示，连接MN，易知OM＝2，ON＝4，则从M到N的最短路径为＝＝2.]
2．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )
A．10 B．12 C．14 D．16
B [
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观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2××(2＋4)×2＝12.故选B.]
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