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第3课时 定点、定值、探索性问题
定点问题
【例1】 (2019·开封第一次质量预测)已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y＝－1相切．
(1)求圆心M的轨迹方程；
(2)动直线l过点P(0，－2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．
[解] (1)由题意，得点M与点(0,1)的距离始终等于点M到直线y＝－1的距离，由抛物线定义知圆心M的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，则＝1，p＝2.
∴圆心M的轨迹方程为x2＝4y.
(2)证明：由题知，直线l的斜率存在，
∴设直线l：y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(－x2，y2)，
联立得x2－4kx＋8＝0，∴
kAC＝＝＝，
则直线AC的方程为y－y1＝(x－x1)，
即y＝y1＋(x－x1)＝x－＋＝x＋.
∵x1x2＝8，∴y＝x＋＝x＋2，
故直线AC恒过定点(0,2)．
[规律方法] 圆锥曲线中定点问题的两种解法
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已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点．
[解] (1)因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1,0)，
所以＝1，所以p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A，B.
因为直线OA，OB的斜率之积为－，
所以·＝－，化简得t2＝32.
所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.
②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立方程组消去x，得ky2－4y＋4b＝0.
由根与系数的关系得yAyB＝，
因为直线OA，OB的斜率之积为－，
所以·＝－，即xAxB＋2yAyB＝0，即·＋2yAyB＝0，
解得yAyB＝－32或yAyB＝0(舍去)．
所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)．
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综上所述，直线AB过定点(8,0)．
定值问题
【例2】 已知椭圆C：＋＝1，过点A(2,0)，B(0,1)两点．
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
[解] (1)由椭圆过点A(2,0)，B(0,1)知a＝2，b＝1.
所以椭圆方程为＋y2＝1，又c＝＝.
所以椭圆离心率e＝＝.
(2)证明：设P点坐标为(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y＝4，由B点坐标(0,1)得直线PB方程为：y－1＝(x－0)，
令y＝0，得xN＝，从而|AN|＝2－xN＝2＋，
由A点坐标(2,0)得直线PA方程为y－0＝(x－2)，
令x＝0，得yM＝，从而|BM|＝1－yM＝1＋，
所以S四边形ABNM＝|AN|·|BM|
＝(2＋)(1＋)＝
＝＝2.
即四边形ABNM的面积为定值2.
[规律方法] 求定值问题的常用方法
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．
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(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
[解] (1)由题意有＝，＋＝1，解得a2＝8，b2＝4.
所以C的方程为＋＝1.
(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入＋＝1，得 (2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.
故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
探索性问题
【例3】 如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且·＝－1.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)．
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又点P的坐标为(0,1)，且·＝－1，
于是解得a＝2，b＝.
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.
其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.
从而，·＋λ·＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]
＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝＝－－λ－2.
所以，当λ＝1时，－－λ－2＝－3.
此时·＋λ·＝－3为定值．
②当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时·＋λ·＝·＋·＝－2－1＝－3，故存在常数λ＝1，使得·＋λ·为定值－3.
[规律方法] 解决探索性问题的注意事项,探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.
已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．
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(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[解] (1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，且可知其左焦点为F′(－2,0)．
从而有解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝x＋t.
由得3x2＋3tx＋t2－12＝0.
因为直线l与椭圆C有公共点，
所以Δ＝(3t)2－4×3×(t2－12)≥0，解得－4≤t≤4.
另一方面，由直线OA与l的距离d＝4，得＝4，
解得t＝±2.
由于±2∉[－4，4]，所以符合题意的直线l不存在.
(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
[解] (1)设P(x，y)，M(x0，y0)，
则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．
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由＝得x0＝x，y0＝y.
因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则
＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，
＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．
由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1.
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以·＝0，即⊥.
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
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