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第十三节 导数与函数的综合问题
导数与不等式
►考法1 证明不等式
【例1】 已知函数f(x)＝x＋aex(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当x＜0，a≤1时，证明：x2＋(a＋1)x＞xf′(x)．
[解] (1)由f(x)＝x＋aex可得f′(x)＝1＋aex.
当a≥0时，f′(x)＞0，则函数f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
当a＜0时，由f′(x)＞0可得x＜ln，
由f′(x)＜0可得x＞ln，
所以函数f(x)在上为增函数，在上为减函数．
(2)证明：设F(x)＝x2＋(a＋1)x－xf′(x)＝x2＋ax－axex＝x(x＋a－aex)．
设H(x)＝x＋a－aex，则H′(x)＝1－aex.
∵x＜0，
∴0＜ex＜1，又a≤1，∴1－aex≥1－ex＞0.
∴H(x)在(－∞，0)上为增函数，则H(x)＜H(0)＝0，即x＋a－aex＜0.
由x＜0可得F(x)＝x(x＋a－aex)＞0，所以x2＋(a＋1)x＞xf′(x)．
►考法2 解决不等式恒成立(存在性)问题
【例2】 设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.
(1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
(2)如果对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．
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[解] (1)存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M.
由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x)＝3x2－2x＝3x.
令g′(x)＞0得x＜0，或x＞，
令g′(x)＜0得0＜x＜，又x∈[0,2]，
所以g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以g(x)min＝g＝－，
又g(0)＝－3，g(2)＝1，所以g(x)max＝g(2)＝1.
故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝≥M，
则满足条件的最大整数M＝4.
(2)对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，等价于在区间上，函数f(x)min≥g(x)max，
由(1)可知在区间上，g(x)的最大值为g(2)＝1.
在区间上，f(x)＝＋xln x≥1恒成立等价于a≥x－x2ln x恒成立．
设h(x)＝x－x2ln x，
h′(x)＝1－2xln x－x，
令m(x)＝xln x，由m′(x)＝ln x＋1＞0
得x＞.
即m(x)＝xln x在上是增函数，
可知h′(x)在区间上是减函数，
又h′(1)＝0，
所以当1＜x＜2时，h′(x)＜0；
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当＜x＜1时，h′(x)＞0.
即函数h(x)＝x－x2ln x在区间上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，
所以h(x)max＝h(1)＝1，
所以a≥1，
即实数a的取值范围是[1，＋∞)．
[规律方法] 1.利用导数证明含“x”不等式方法，证明：f(x)＞g(x).,法一：移项，f(x)－g(x)＞0，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，转化证明F(x)min＞0，利用导数研究F(x)单调性，用上定义域的端点值.
法二：转化证明：f(x)min＞g(x)max.
法三：先对所求证不等式进行变形，分组或整合，再用法一或法二.
2.利用导数解决不等式的恒成立问题的策略
(1)首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围.
(2)也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值.应特别关注等号是否成立问题.
(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝aex－ln x－1.证明：当a≥时，f(x)≥0.
[解] 证明：当a≥时，f(x)≥－ln x－1.
设g(x)＝－ln x－1，则g′(x)＝－.
当00时，g(x)≥g(1)＝0.
因此，当a≥时，f(x)≥0.
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利用导数研究函数的零点问题
【例3】 (2019·黄山模拟)设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)设a＝b＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围．
[解] (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.因为f(0)＝c，f′(0)＝b，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝bx＋c.
(2)当a＝b＝4时，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，
所以f′(x)＝3x2＋8x＋4.
令f′(x)＝0，得3x2＋8x＋4＝0，解得x＝－2或x＝－.
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，－2)
－2
－
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
c
↘
c－
↗
所以，当c＞0且c－＜0，存在x1∈(－4，－2)，x2∈，x3∈，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.
由f(x)的单调性知，当且仅当c∈时，函数f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点．
[规律方法] 利用导数研究方程根的方法
(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.
(2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置.
(3)可以通过数形结合的思想去分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.
设函数f(x)＝－kln x，k＞0.
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(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
[解] (1)由f(x)＝－kln x(k＞0)，得x＞0且f′(x)＝x－＝.由f′(x)＝0，解得x＝(负值舍去)．
f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
↗
所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)，f(x)在x＝处取得极小值f()＝，无极大值．
(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝.
因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e，
当k＝e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()＝0，
所以x＝是f(x)在区间(1，]上的唯一零点．
当k＞e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f(1)＝＞0，f()＝＜0，
所以f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
利用导数研究生活中的优化问题
【例4】 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路分别为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米．以l2，l1所在的直线分别为x轴，y
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轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．
(1)求a，b的值；
(2)设公路l与曲线C相切于点P，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
[解] (1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)．
将其分别代入y＝，
得
解得
(2)①由(1)知，y＝(5≤x≤20)，
则点P的坐标为，
设公路l交x轴，y轴分别为A，B两点，如图所示，
又y′＝－，
则直线l的方程为y－＝－(x－t)，
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由此得A，B.
故f(t)＝
＝，t∈[5,20]．
②设g(t)＝t2＋，t∈[5,20]，
则g′(t)＝2t－.
令g′(t)＝0，解得t＝10.
当t∈[5,10)时，g′(t)＜0，g(t)是减函数；
当t∈(10，20]时，g′(t)＞0，g(t)是增函数．
所以当t＝10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，
所以g(t)min＝300，
此时f(t)min＝15.
故当t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．
[规律方法] 利用导数解决生活中的实际应用问题的4步骤
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为1 60元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh
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元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意知200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝(300－4r2)，
从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r>0，又由h>0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,5)时，V′(r)0)．
当a≤0时，f′(x)>0，f′(x)没有零点；
当a>0时，设u(x)＝e2x，v(x)＝－，
因为u(x)＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，
所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又f′(a)>0，当b满足0
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