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第五节 三角恒等变换
[考纲传真] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
4．能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；
(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；
(3)tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝.
1．公式T(α±β)的变形：
(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
(2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
2．公式C2α的变形：
(1)sin2α＝(1－cos 2α)；
(2)cos2α＝(1＋cos 2α)．
3．公式逆用：
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(1)sin＝cos；
(2)sin＝cos；
(3)sin＝cos.
4．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)，
特别的
sin α±cos α＝sin；
sin α±cos α＝2sin；
sin α±cos α＝2sin.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． ( )
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B的大小关系不确定．( )
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立． ( )
(4)函数y＝3sin x＋4cos x的最大值为7. ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A．－ B. C．－ D.
D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D.]
3．(教材改编)已知cos α＝－，α是第三象限角，则cos的值为( )
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A. B．－ C. D．－
A [由cos α＝－，α是第三象限角知sin α＝－，
则cos＝coscos α－sinsin α＝×－×＝.故选A.]
4．已知sin(α－π)＝，则cos 2α＝________.
[由sin(α－π)＝，得sin α＝－，则
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.]
5．(教材改编)－＝________.
[－＝＝＝tan 30°＝. ]
三角函数式的化简
1．已知sin＝cos，则tan α＝( )
A．－1 B．0 C. D．1
A [因为sin＝cos，
所以cos α－sin α＝cos α－sin α.
所以cos α＝sin α.
所以tan α＝＝－1，故选A.]
2．计算的值为( )
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A．－ B. C. D．－
B [＝
＝＝＝.]
3．已知θ∈，且sin θ－cos θ＝－，则＝( )
A. B. C. D.
D [由sin θ－cos θ＝－
得sin＝，
因为θ∈，
所以0＜－θ＜，
所以cos＝.
＝
＝＝
＝2cos＝.]
4．已知0＜θ＜π，则＝________.
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－cos θ [原式＝
＝＝.
因为0＜θ＜π，所以0＜＜，所以cos ＞0.所以原式＝－cos θ.]
[规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2．三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
三角函数式的求值
►考法1 给值求值
【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝( )
A. B. C．－ D．－
(2)(2019·太原模拟)已知角α是锐角，若sin＝，则cos等于( )
A. B.
C. D.
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(3)若α，β是锐角，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，则tan(α－β)＝________.
(1)B (2)A (3)－ [(1)cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选B.
(2)由0＜α＜得－＜α－＜
又sin＝，
∴cos＝＝＝
∴cos＝cos＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝，故选A.
(3)因为sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝，
即2－2cos(α－β)＝，所以cos(α－β)＝，
因为α、β是锐角，且sin α－sin β＝－＜0，
所以0＜α＜β＜.所以－＜α－β＜0.
所以sin(α－β)＝－＝－.
所以tan(α－β)＝＝－.]
►考法2 给角求值
【例2】 (1)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝________.
(2)sin 50°(1＋tan 10°)＝________.
(1) (2)1 [(1)由tan(20°＋40°)＝＝得
tan 20°＋tan 40°＝(1－tan 20°tan 40°)
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∴原式＝(1－tan 20°tan 40°)＋tan 20°tan 40°＝.
(2)sin 50°(1＋tan 10°)
＝sin 50°
＝sin 50°×
＝sin 50°×
＝＝＝＝1.]
►考法3 给值求角
【例3】 (1)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是( )
A. B.
C.或 D.或
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．
(1)A (2)－ [(1)∵α∈，∴2α∈.
又sin 2α＝＞0，∴2α∈，
∴cos 2α＝－且α∈.
又β∈，∴β－α∈.
∵sin(β－α)＝＞0，
∴cos(β－α)＝－且β－α∈，
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∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－×－×＝.
∵2α∈，β－α∈，∴α＋β∈，
∴α＋β＝，故选A.
(2)因为tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝
＝＝＞0，
所以0＜α＜，
又因为tan 2α＝＝＝＞0，所以0＜2α＜，
所以tan(2α－β)＝＝＝1.
因为tan β＝－＜0，
所以＜β＜π，－π＜2α－β＜0，
所以2α－β＝－.]
[规律方法] 三角函数求值的三种情况
(1)“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解.
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(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.
(1)若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，则cos＝( )
A. B．－ C. D．－
(2)＝________.
(3)(2019·长春模拟)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β值是________．
(1)A (2) (3) [(1)由0＜α＜得＜＋α＜，又cos＝，
∴sin＝，由－＜β＜0得＜－＜.
又cos＝，∴sin＝.
∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.
(2)原式＝＝＝.
(3)∵α，β均为锐角，∴－＜α－β＜.
又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝.
又sin α＝，∴cos α＝，
∴sin β＝sin[α－(α－β)]
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＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
∴β＝.]
三角恒等变换的综合应用
【例4】 (2019·合肥模拟)已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
[解] (1)由已知得
f(x)＝－
＝－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin.
∵－≤x≤，
∴－≤2x－≤，
∴当2x－＝－，即x＝－时，f(x)有最小值，
且f＝－，
当2x－＝，即x＝时，f(x)有最大值，
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且f＝.
所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
[规律方法] 三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用
解决此类问题可先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式，再利用三角函数的图象与性质求解.
(2019·温州模拟)已知函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若－＜α＜0，f(α)＝，求sin 2α的值．
[解] (1)∵函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x
＝sin 2x＋
＝sin＋，
∴函数f(x)的最小正周期为＝π.
(2)若－＜α＜0，
则2α＋∈，
∴f(α)＝sin＋＝，
∴sin＝，
∴2α＋∈，
∴cos
＝＝，
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∴sin 2α＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝.
1．(2017·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝sinx＋＋cos的最大值为( )
A. B．1 C. D.
A [法一：∵f(x)＝sin＋cos
＝＋cos x＋sin x
＝sin x＋cos x＋cos x＋sin x
＝sin x＋cos x＝sin，
∴当x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值.
故选A.
法二：∵＋＝，
∴f(x)＝sin＋cos
＝sin＋cos
＝sin＋sin
＝sin≤.
∴f(x)max＝，故选A.]
2．(2016·全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin 2α＝( )
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A. B.
C．－ D．－
D [因为cos＝，
所以sin 2α＝cos＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－.]
3．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝( )
A. B.
C. D．1
B [由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝，所以cos α＝，sin α＝±，得|tan α|＝.由题意知|tan α|＝，所以|a－b|＝.]
4．(2018·全国卷Ⅱ)已知tanα－＝，则tan α＝________.
[法一：因为tan α－＝，
所以＝，即＝，
解得tan α＝.
法二：因为tanα－＝，
所以tan α＝tanα－＋
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＝＝＝.]
5．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为________．
[f(x)＝2cos x＋sin x＝，
设sin α＝，cos α＝，
则f(x)＝sin(x＋α)，
∴函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为.]
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