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第2章 函数、导数及其应用
第一节 函数及其表示
[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合A，B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
函数y＝f(x)，x∈A
映射：f：A→B
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．
(4)函数的表示法
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表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
求函数定义域的依据
(1)整式函数的定义域为R；
(2)分式的分母不为零；
(3)偶次根式的被开方数不小于零；
(4)对数函数的真数必须大于零；
(5)正切函数y＝tan x的定义域为；
(6)x0中x≠0；
(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数是特殊的映射． ( )
(2)函数y＝1与y＝x0是同一个函数． ( )
(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点． ( )
(4)分段函数是两个或多个函数． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．(教材改编)函数y＝＋的定义域为( )
A. B．(－∞，3)∪(3，＋∞)
C.∪(3，＋∞) D．(3，＋∞)
C [由题意知解得x≥且x≠3.]
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3．设函数f(x)＝则f(f(3))等于( )
A. B．3 C. D.
D [f(3)＝，f(f(3))＝f＝2＋1＝，故选D.]
4．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( )
A．y＝()2 B．y＝＋1
C．y＝＋1 D．y＝＋1
B [y＝＋1＝x＋1，且函数定义域为R，故选B.]
5．已知函数f(x)＝，若f(a)＝5，则实数a的值为________．
12 [由f(a)＝5得＝5，解得a＝12.]
求函数的定义域
【例1】 (1)(2019·黄山模拟)函数y＝的定义域为( )
A．(－2,1) B．[－2,1]
C．(0,1) D．(0,1]
(2)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是________．
(3)已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为________．
(1)C (2)[0,1) (3)[－1,2] [(1)由题意得，解得0＜x＜1，故选C.
(2)由0≤2x≤2，得0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1，
所以0≤x1，解得x>－，
∴－时，原不等式为2x＋2x－>1，显然成立．
综上可知，x的取值范围是.]
[规律方法] 1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
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易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论．
(1)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝( )
A．3 B．6 C．9 D．12
(2)已知函数f(x)＝若f(f(－1))＝2，则实数m的值为( )
A．1 B．1或－1
C. D.或－
(3)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
(1)C (2)D (3)(－∞，8] [(1)∵－21，∴f(log212)＝2log212－1＝＝6.
∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选C.
(2)f(f(－1))＝f(1＋m2)＝log2(1＋m2)＝2，m2＝3，解得m＝±，故选D.
(3)当x
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