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第四节 直线、平面平行的判定及其性质
[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)
∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，
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∴a∥b
线、面平行的性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．
(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
(7)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(8)垂直于同一平面的两条直线平行．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． ( )
(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条． ( )
(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． ( )
(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)下列命题中，正确的是( )
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
D [根据线面平行的判定与性质定理知，选D.]
3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β ”是“α∥β ”的( )
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A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
B [当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β ”是“α∥β ”的必要而不充分条件．]
4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．
平行 [如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，
∴EF∥BD1，
又EF⊂平面ACE，
BD1⊄平面ACE，
∴BD1∥平面ACE.]
5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中是真命题的是________．(填上序号)
② [对于①，m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；对于③，m∥β或m⊂β，故③错误；对于④，α∥β或α与β相交，
故④错误．]
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直线与平面平行的判定与性质
►考法1 直线与平面平行的判定
【例1】 如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．
(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：GH∥平面PAD.
[证明] (1)连接EC，
因为AD∥BC，BC＝AD，
所以BCAE，
所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点．
又因为F是PC的中点，
所以FO∥AP，
因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，
所以AP∥平面BEF.
(2)连接FH，OH，
因为F，H分别是PC，CD的中点，
所以FH∥PD，因为FH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以FH∥平面PAD.
又因为O是BE的中点，H是CD的中点，
所以OH∥AD，因为OH⊄平面PAD，AD⊂平面PAD.所以OH∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，
所以平面OHF∥平面PAD.
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又因为GH⊂平面OHF，
所以GH∥平面PAD.
►考法2 直线与平面平行的性质
【例2】 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.
证明：FG∥平面AA1B1B.
[证明] 在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，
所以CC1∥平面BB1D.
又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.
因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.
而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，
所以FG∥平面AA1B1B.
[规律方法] 判定线面平行的4种方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)；
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β).,注意：构造平行的常见形式：三角形的中位线、平行四边形、利用比例关系证明两直线平行等.
如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．
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(1)求证：MA∥平面BDE.
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．
[解] (1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.
因为O，M分别是AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，
所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.
又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
(2)l∥m，证明如下：
由(1)知AM∥平面BDE，连接DM，MB.
又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，
又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m.
平面与平面平行的判定与性质
【例3】 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
[证明] (1)因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.
又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，
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所以B，C，H，G四点共面．
(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，
所以EF∥BC，
因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
所以EF∥平面BCHG.
因为A1GEB，
所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.
因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG.
因为A1E∩EF＝E，
所以平面EFA1∥平面BCHG.
[拓展探究] 在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
[证明] 如图所示，连接A1C交AC1于点M，
因为四边形A1ACC1是平行四边形，
所以M是A1C的中点，连接MD，
因为D为BC的中点，
所以A1B∥DM.
因为A1B⊂平面A1BD1，
DM⊄平面A1BD1，
所以DM∥平面A1BD1.
又由三棱柱的性质知，D1C1BD，
所以四边形BDC1D1为平行四边形，
所以DC1∥BD1.
又DC1⊄平面A1BD1.
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BD1⊂平面A1BD1，
所以DC1∥平面A1BD1，
又因为DC1∩DM＝D，
DC1，DM⊂平面AC1D.
所以平面A1BD1∥平面AC1D.
[规律方法] 1.判定平面与平面平行的4种方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；
(2)面面平行的判定定理(主要方法)；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；
(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)；
注意：谨记空间平行关系之间的转化
在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB，G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC.
[证明] 取FC的中点I，连接GI，HI，则有GI∥EF，HI∥BC.
又EF∥DB，
所以GI∥BD，
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又GI∩HI＝I，BD∩BC＝B，
所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH⊂平面GHI，
所以GH∥平面ABC.
平行关系中的存在性问题
【例4】 如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为菱形．
(1)证明：平面AB1C∥平面DA1C1；
(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，确定点P的位置；若不存在，请说明理由．
[解] (1)证明：由棱柱ABCDA1B1C1D1的性质知，AB1∥DC1(图略)，
∵AB1⊄平面DA1C1，DC1⊂平面DA1C1，∴AB1∥平面DA1C1，
同理可证B1C∥平面DA1C1，
又AB1∩B1C＝B1，
∴平面AB1C∥平面DA1C1.
(2)存在这样的点P，使BP∥平面DA1C1.∵A1B1ABDC，
∴四边形A1B1CD为平行四边形．
∴A1D∥B1C.
在C1C的延长线上取点P，使C1C＝CP，连接BP(图略)，
∵B1BC1C，∴B1BCP，
∴四边形BB1CP为平行四边形，
则BP∥B1C，∴BP∥A1D，
∴BP∥平面DA1C1.
[规律方法] 解决存在性问题的一般方法,
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解决存在性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，若找到了使结论成立的充分条件，则存在；若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在.而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明.
如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
[解] 法一：假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB1C1，
如图，取BB1的中点F，
连接DF，EF，ED，
则DF∥B1C1，
又DF⊄平面AB1C1，
B1C1⊂平面AB1C1，
∴DF∥平面AB1C1，
又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，
∴平面DEF∥平面AB1C1，
∵EF⊂平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，
又∵EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，
∴EF∥AB1，
∵点F是BB1的中点，
∴点E是AB的中点．
即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
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法二：存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
证明如下：
如图，取BB1的中点F，连接DF，
则DF∥B1C1.
∵DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，
∴DF∥平面AB1C1.
∵AB的中点为E，连接EF，ED，
则EF∥AB1.
∵EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1.
∵DF∩EF＝F，
∴平面DEF∥平面AB1C1.
而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.
1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
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A [A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.
∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，
∴直线AB与平面MNQ相交．
B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，
∴AB∥MQ.
又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.
C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.
又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.
D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.
又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.
故选A.]
2．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)证明：直线BC∥平面PAD；
(2)若△PCD的面积为2，求四棱锥PABCD的体积．
[解] (1)证明：在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，故BC∥平面PAD.
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(2)如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.
因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.
设BC＝x，则CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x.
如图，取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，
所以PN＝x.
因为△PCD的面积为2，
所以×x×x＝2，
解得x＝－2(舍去)或x＝2.
于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2.
所以四棱锥PABCD的体积V＝××2＝4.
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