天添资源网 http://www.ttzyw.com/
第四节 数系的扩充与复数的引入
[考纲传真] 1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b) 平面向量＝(a，b)．
3．复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.
1．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
4．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi. ( )
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． ( )
(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数． ( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(教材改编)如图所示，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
A．A B．B
C．C D．D
B [共轭复数对应的点关于实轴对称．]
3．(教材改编)设m∈R，复数z＝m2－1＋(m＋1)i表示纯虚数，则m的值为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
A [由题意得，解得m＝1，故选A.]
4．复数＝( )
A．i B．1＋i
C．－i D．1－i
A [＝＝＝i.]
5．(教材改编)设x，y∈R，若(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则复数z＝x＋yi在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [由题意知解得
则复数z＝4－2i在复平面上对应的点位于第四象限，故选D.]
复数的有关概念
1．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝( )
A．0 B. C．1 D.
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
C [z＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝1.]
2．(2018·浙江高考)复数(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
B [＝＝1＋i，
所以复数的共轭复数为1－i，故选B.]
3．(2017·天津高考)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．
－2 [∵a∈R，＝＝＝－i为实数，
∴－＝0，∴a＝－2.]
[规律方法] 解决复数概念问题的策略
(1)复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可.
(2)求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的定义求解.
复数的运算
►考法1 复数的乘法运算
【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( )
A．－3－i B．－3＋i
C．3－i D．3＋i
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
(2)(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
(3)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
(1)D (2)A (3)B [(1)(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.故选D.
(2)(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A.
(3)因为(2＋ai)(a－2i)＝－4i，
所以4a＋(a2－4)i＝－4i.
所以解得a＝0.故选B.]
►考法2 复数的除法运算
【例2】 (1)(2018·天津高考)i是虚数单位，复数＝________.
(2)(2018·江苏高考)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．
(1)4－i (2)2 [(1)＝＝＝4－i.
(2)z＝＝＝2－i
故z的实部为2.]
►考法3 复数的综合运算
【例3】 (1)(2019·太原模拟)设复数z满足＝i，则z的共轭复数为( )
A．i B．－i C．2i D．－2i
(2)(2016·全国卷Ⅲ)若z＝4＋3i，则＝( )
A．1 B．－1
C.＋i D.－i
(3)若复数z满足 2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z等于( )
A．1＋2i B．1－2i
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
C．－1＋2i D．－1－2i
(1)A (2)D (3)B [(1)由＝i得1－z＝i＋zi.
即(1＋i)z＝1－i，则z＝＝－i，
因此＝i，故选A.
(2)∵z＝4＋3i，∴＝4－3i，|z|＝＝5，
∴＝＝－i.
(3)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，所以2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，整理得3a＋bi＝3－2i，所以解得
所以z＝1－2i，故选B.]
[规律方法] 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.
(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.
(1)(2019·合肥模拟)已知i为虚数单位，则＝( )
A．5 B．5i
C．－－i D．－＋i
(2)(2019·惠州模拟)已知复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝( )
A．i B．i－1 C．－i－1 D．－i
(3)(2019·南昌模拟)设z的共轭复数是，若z＋＝2，z2＝－2i，则z＝( )
A.－i B.＋i
C．1＋i D．1－i
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
(1)A (2)C (3)D [(1)法一：＝＝5，故选A.
法二：＝＝＝5，故选A.
(2)由已知可得＝＝＝－1＋i，则z＝－1－i，故选C.
(3)对四个选项逐一验证可知，当z＝1－i时，符合题意，故选D.]
复数的几何意义
【例4】 (1)(2018·北京高考)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)(2019·郑州模拟)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
(1)D (2)B [(1)＝＝＝＋i，所以的共轭复数为－i，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选D.
(2)复数(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，其在复平面内对应的点(a＋1,1－a)在第二象限，故解得a＜－1，故选B.]
[规律方法] 与复数几何意义相关的问题的一般解法
第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
第二步，把复数问题转化为复平面的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应.
(1)(2019·广州模拟)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数＋z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
C．第三象限 D．第四象限
(2)在复平面内与复数z＝所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为( )
A．1＋2i B．1－2i
C．－2＋i D．2＋i
(1)A (2)C [(1)因为z＝1＋i，所以＋z2＝＋(1＋i)2＝＋1＋2i＋i2＝＋2i＝1＋i，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限，故选A.
(2)依题意得，复数z＝＝i(1－2i)＝2＋i，其对应的点的坐标是(2,1)，因此点A(－2,1)对应的复数为－2＋i.]
1．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
C [A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．
C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．
故选C.]
2．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．
故选C.]
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
3．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1 B. C. D．2
B [∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.
又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.
∴|x＋yi|＝|1＋i|＝，故选B.]
4．(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝( )
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
C [∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝＝1－i，
∴z＝2－i，故选C.]
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
微信/支付宝扫码支付