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第六节 对数与对数函数
[考纲传真] 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
1．对数
概念
如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔logaN＝x
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N
运算法则
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底
公式
换底公式：logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)
2.对数函数的定义、图象与性质
定义
函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数
图象
a＞1
0＜a＜1
图象特征
在y轴右侧，过定点(1,0)
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当x逐渐增大时，图象是上升的
当x逐渐增大时，图象是下降的
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
函数值变化规律
当x＝1时，y＝0
当x＞1时，y＞0；
当0＜x＜1时，y＜0
当x＞1时，y＜0；
当0＜x＜1时，y＞0
3.反函数
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
1．换底公式的两个重要结论
(1)logab＝；
(2)logambn＝logab.
其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R.
2．对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)log2x2＝2log2x. ( )
(2)当x＞1时，logax＞0. ( )
(3)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同．( )
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(4)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象不在第二、三象限． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．已知a＝2，b＝log2，c＝log，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
D [∵0＜a＝2＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log＞log＝1，∴c＞a＞b.]
3．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a＞1，c＞1
B．a＞1,0＜c＜1
C．0＜a＜1，c＞1
D．0＜a＜1,0＜c＜1
D [由图象可知y＝loga(x＋c)的图象是由y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，其中0＜c＜1.再根据单调性可知0＜a＜1.]
4．(教材改编)若loga＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是( )
A. B．(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞) D.
C [当0＜a＜1时，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜；
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当a＞1时，loga＜logaa＝1，∴a＞1.
即实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]
5．计算：2log510＋log5＝________，2＝________.
2 [2log510＋log5＝log5＝2，因为log43＝log23＝log2，所以2＝2＝.]
对数式的化简与求值
1．(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________.
2 [原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋2lg 5＝2.]
2．2＝________.
3 [原式＝2·2＝3·2＝3.]
3．log23·log38＋()＝________.
5 [原式＝3log23·log32＋3＝3＋2＝5.]
4．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.
[∵ 2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，
∴m＝.]
[规律方法] 对数运算的一般思路
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；
(2)将同底对数的和、差、倍合并；
(3)
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利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；
(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.
对数函数的图象及应用
【例1】 (1)(2019·大连模拟)函数y＝lg|x－1|的图象是( )
A B C D
(2)(2019·厦门模拟)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是( )
A. B.
C．(1，) D．(，2)
(3)函数y＝loga(x－2)＋2恒过定点P，则点P的坐标为________．
(1)A (2)B (3)(3,2) [(1)函数y＝lg|x－1|的图象可由函数y＝lg|x|的图象向右平移1个单位得到，故选A.
(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，要使0＜x≤时，4x＜logax，只需f(x)在上的图象在g(x)的图象下方即可．当a＞1时不满足条件；当0＜a＜1时，画出两个函数在上的图象，可知只需f＜g，即2＜loga，则a＞，所以a的取值范围为.
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(3)由x－2＝1得x＝3，当x＝3时，y＝2，则点P的坐标为(3,2)．]
[规律方法] 对数函数图象的识别及应用
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为( )
A B C D
(2)函数y＝log2(x＋1)的图象恒过定点P，则点P的坐标为________．
(3)若不等式(x－1)2＜logax在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为________．
(1)A (2)(0,0) (3)(1,2] [(1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x＞0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x＜0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.
(2)由x＋1＝1得x＝0，当x＝0时，y＝0，则点P的坐标为(0,0)．
(3)设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．
当0＜a＜1时，显然不成立；当a＞1时，如图所示，要使x∈(1,2)时，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，所以1＜a≤2，即实数a的取值范围是(1,2]．]
对数函数的性质及应用
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►考法1 比较对数值的大小
【例2】 (1)已知a＝log29－log2，b＝1＋log2，c＝＋log2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
(2)设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞a＞c D．b＞c＞a
(1)B (2)A [(1)a＝log29－log2＝log23，b＝1＋log2＝log22，c＝＋log2＝log2，因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且2＞3＞，所以b＞a＞c，故选B.
(2)b＝log2＝log23＞，c＝log3＝log32＜，则b＞c，又a＝log3π＞log33＝1，b＝log2＜log22＝1，因此a＞b＞c，故选A.
►考法2 解对数不等式
【例3】 (1)(2018·江苏高考)函数f(x)＝的定义域为________．
(2)设函数若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________．
(1)[2，＋∞) (2)(－1,0)∪(1，＋∞) [(1)由题意知，log2x－1≥0，即log2x≥log22.
解得x≥2，即函数f(x)的定义域为[2，＋∞)．
(2)由题意，得
或
即或解得a＞1或－1＜a＜0.]
►考法3 复合函数的单调性、值域或最值
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【例4】 函数f(x)＝log (－x2＋4x＋5)的单调递增区间为________，值域为________．
(2,5) [2log3，＋∞) [由－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5.
二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝2.由复合函数单调性可得函数f(x)＝log (－x2＋4x＋5)的单调递增区间为(2,5)．又－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9≤9，
所以f(x)≥log9＝2log3，即函数f(x)的值域为[2log3，＋∞)．]
[规律方法] 1.比较对数值的大小的方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．
(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．
(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．
2．解对数不等式的类型及方法
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
(2)形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解．
3．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
(1)(2018·天津高考)已知a＝log3，b＝，c＝log，则a，b，c的大小关系为( )
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A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
(2)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
(3)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为( )
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
(1)D (2)D (3)A [(1)c＝log＝log35，则log35＞log3＞log33＝1，又＜＝1，因此c＞a＞b，故选D.
(2)当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x＞1时，1－log2x≤2，解得x≥，所以x＞1.综上可知x≥0.
(3)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a＜2，即a∈[1,2)．]
1．(2016·全国卷Ⅰ)若a＞b＞0,0＜c＜1，则( )
A．logac＜logbc B．logca＜logcb
C．ac＜bc D．ca＞cb
B [∵0＜c＜1，∴当a＞b＞1时，logac＞logbc，A项错误；
∵0＜c＜1，∴y＝logcx在(0，＋∞)上单调递减，又a＞b＞0，
∴logca＜logcb，B项正确；
∵0＜c＜1，∴函数y＝xc在(0，＋∞)上单调递增，
又∵a＞b＞0，∴ac＞bc，C项错误；
∵0＜c＜1，∴y＝cx在(0，＋∞)上单调递减，
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又∵a＞b＞0，∴ca＜cb，D项错误．]
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.
－7 [由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.]
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