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第九节 函数模型及其应用
[考纲传真] 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
1．常见的几种函数模型
(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．
(2)反比例函数模型：y＝＋b(k，b为常数且k≠0)．
(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．
(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．
(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．
(6)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)．
2．三种函数模型之间增长速度的比较
函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax
3.解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
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(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大． ( )
(2)幂函数增长比直线增长更快． ( )
(3)不存在x0，使ax0＜x＜logax0. ( )
(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( )
A．100只 B．200只 C．300只 D．400只
B [由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，当x＝8时，y＝100log3 9＝200.]
3．(教材改编)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
A.y＝2x B．y＝log2x
C．y＝(x2－1) D．y＝2.61cos x
B [由表格知当x＝3时，y＝1.59，而A中y＝23＝8，不合要求；B中y＝log23∈(1,2)，符合要求；C中y＝(32－1)＝4，不合要求；D中y＝2.61cos
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3＜0，不合要求，故选B.]
4．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为( )
B [由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.]
5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．
－1 [设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝－1.]
用函数图象刻画变化过程
1．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )
A B C D
A [前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选A.]
2．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
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B [由运输效率逐步提高，可得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故选B.]
3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
D [根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．]
[规律方法] 判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法：
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.
(2)
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验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
应用所给函数模型解决实际问题
【例1】 某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②.(注：利润和投资单位：万元)
① ②
(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．
①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？
②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
[解] (1)f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2(x≥0)．
(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2＝6，
所以总利润y＝8.25万元．
②设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．
则y＝(18－x)＋2，0≤x≤18.
令＝t，t∈[0,3]，
则y＝(－t2＋8t＋18)＝－(t－4)2＋.
所以当t＝4时，ymax＝＝8.5，
此时x＝16,18－x＝2.
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所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润为8.5万元．
[规律方法] 求解所给函数模型解决实际问题的关注点：
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
(3)利用该模型求解实际问题.
易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围.
某实验员在培养皿中滴入了含有10个某种真菌的实验液，约1小时后培养真菌数目繁殖为原来的2倍．经测量知该真菌的繁殖规律为y＝10eλt，其中λ为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示真菌个数．经过8小时培养，真菌能达到的个数为( )
A．640 B．1 280
C．2 560 D．5 120
C [原来的细菌数为10，
由题意可得，在函数y＝10eλt中，当t＝1时，y＝20，
∴20＝10eλ，即eλ＝2，y＝10eλt＝10·2t.
若t＝8，则可得此时的细菌数为y＝10×28＝2 560，故选C.]
构建函数模型解决实际问题
►考法1 构建二次函数模型
【例2】 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是( )
A．[4,8] B．[6,10]
C．[4%,8%] D．[6%,10%]
A [根据题意，要使附加税不少于128万元，需×160×R%
整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，
即R∈[4,8]．]
►考法2 构建指数函数、对数函数模型
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【例3】 (2019·长春模拟)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
B [根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1＞200，两边同时取对数，得n－1＞，又≈＝3.8，则n＞4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.]
►考法3 构建分段函数模型
【例4】 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)
[解] (1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
再由已知得解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得
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f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当20＜x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤2＝，
当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．所以当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．
[规律方法] 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.
(1)(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是( )
(参考数据：lg 3≈0.48)
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
(2)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价收费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
(1)D (2)9 [(1)由题意知，lg ＝lg ＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.
又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，
所以与最接近的是1093.
故选D.
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(2)设出租车行驶了x km，付费y元，
由题意得
y＝
当x＝8时，y＝19.75＜22.6，
因此由8＋2.15×5＋2.85×(x－8)＋1＝22.6，
得x＝9.]
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