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第二节 函数的单调性与最值
[考纲传真] 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．
1．增函数、减函数
增函数
减函数
定
义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图
象
描
述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
函数单调性的常用结论
(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，＞0⇔f(x)在D上是增函数，＜0⇔f(x)在D上是减函数．
(2)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．
(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
[基础自测]
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1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数． ( )
(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ( )
(3)函数y＝|x|是R上的增函数． ( )
(4)函数y＝x2－2x在区间[3，＋∞)上是增函数，则函数y＝x2－2x的单调递增区间为[3，＋∞)． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)如图是函数y＝f(x)，x∈[－4,3]上的图象，则下列说法正确的是( )
A．f(x)在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数
B．f(x)在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2
C．f(x)在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3
D．当直线y＝t与y＝f(x)的图象有三个交点时－1＜t＜2
C [由图象知，函数f(x)在[－4,1]上有最小值－2，最大值3，故选C.]
3．(教材改编)已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
2 [可判断函数f(x)＝在[2,6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.]
4．函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．
[由题意知2k＋1＜0，得k＜－.]
5．f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的单调增区间为________，f(x)max＝________.
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[1,3] 8 [f(x)＝(x－1)2－1，故f(x)的单调增区间为[1,3]，f(x)max＝f(－2)＝8.]
确定函数的单调性(区间)
【例1】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
D [由x2－2x－8>0，得x>4或xf(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A.
B.∪(1，＋∞)
C.
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D.∪
A [法一：分析f(x)的奇偶性和单调性，然后对所给不等式作出等价转化．
∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－也递增，
根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1
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