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第6章 不等式、推理与证明
第一节 不等式的性质与一元二次不等式
[考纲传真] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c；(单向性)
(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)
(4)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)
(5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；(单向性)
a>b，c0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)
(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；(单向性)
(8)开方法则：a>b>0⇒>(n≥2，n∈N)；(单向性)
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两相异实根
x1，x2(x10
(a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠x1}
R
ax2＋bx＋c0)的解集
{x|x1bc2. ( )
(2)a>b>0，c>d>0⇒>. ( )
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(3)若不等式ax2＋bx＋c0. ( )
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R. ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( )
①a>b，cb－d；
②a>b>0，cb>0⇒>；
④a>b>0⇒>.
A．①② B．②③ C．①④ D．①③
D [利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知acb>0可知a2>b2>0，所以y>0，则( )
A.－>0 B．sin x－sin y>0
C.x－y0
C [函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x>y>0时，x0⇒0时，不能比较sin x与sin y的大小，故B错误；x>y>0⇒xy>0ln(xy)>0ln x＋ln y＞0，故D错误．]
3．若a＝20.6，b＝logπ3，c＝log2，则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
A [因为a＝20.6＞20＝1，又logπ1＜logπ3＜logππ，所以0＜b＜1，c＝log2sin＜log21＝0，于是a＞b＞c.故选A.]
4．已知角α，β满足－＜α－β＜，0＜α＋β＜π，则3α－β的范围是________．
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(－π，2π) [设3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)，则
解得
从而3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，
又－π＜2(α－β)＜π，0＜α＋β＜π，
∴－π＜2(α－β)＋(α＋β)＜2π.]
[规律方法] 利用不等式的性质判断正误及求代数式的范围的方法
(1)利用不等式的范围判断正误时，常用两种方法：
一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案.
(2)比较大小常用的方法
①作差(商)法：作差(商)⇒变形⇒判断，
②构造函数法：利用函数的单调性比较大小，
③中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选取0或1作为中间量.
(3)由a
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