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第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．
(2)命题p∧q，p∨q，p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有些、某些等
∃
3.全称命题和特称命题
名称
形式
全称命题
特称命题
结构
对M中的任意一个x，有p(x)成立
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
否定
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，p(x)
1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律：
(1)p∨q：有真则真．
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(2)p∧q：有假则假．
(3)p与p：真假相反．
2．含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
3．命题p∧q的否定是“p∨q”；命题p∨q的否定是“p∧q”．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题． ( )
(2)命题(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．( )
(3)“长方形的对角线相等”是特称命题． ( )
(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”． ( )
[解析] (1)错误．命题p∨q中，p，q有一真则真．
(2)错误．p∧q是真命题，则p，q都是真命题．
(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题．
(4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题p，q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [p和q显然都是真命题，所以p，q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．]
3．下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R,2x－1＞0
B．∀x∈N*，(x－1)2＞0
C．∃x∈R，lg x＜1
D．∃x∈R，tan x＝2
B [对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，故B项是假命题．]
4．命题：“∃x0∈R，x－ax0＋1＜0”的否定为________．
∀x∈R，x2－ax＋1≥0 [因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0∈R，x－ax0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2－ax＋1≥0”．]
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5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
[－8,0] [当a＝0时，不等式显然成立．
当a≠0时，依题意知
解得－8≤a＜0.
综上可知－8≤a≤0.]
含有逻辑联结词的命题及真假判断
1．在一次跳伞训练中，甲、乙两名学员各跳一次，设命题p：甲降落在指定范围．q：乙降落在指定范围．则命题“至少有一名学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(p)∨(q) B．p∨(q)
C．(p)∧(q) D．p∧q
A [p：甲没有降落在指定范围，
q：乙没有降落在指定范围．
则“至少有一名学员没有降落在指定范围”可表示为(p)∨(q)，故选A.]
2．若命题“p∨q”是真命题，“p”为真命题，则( )
A．p真，q真 B．p假，q真
C．p真，q假 D．p假，q假
B [命题“p∨q”是真命题，则p或q至少有一个真命题，又“p”是真命题，则p是假命题，从而q一定是真命题，故选B.]
3．(2019·泰安模拟)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧(q)
C．(p)∧q D．(p)∧(q)
B [∵x>0，∴x＋1>1，∴ln(x＋1)>ln 1＝0.
∴命题p为真命题，∴p为假命题．
∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2
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