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第四节 二次函数与幂函数
[考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象与性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象
定义域
R
值域
单调性
在上减，
在上增
在上增，
在上减
奇偶性
当b＝0时为偶函数
对称性
函数的图象关于直线x＝－对称
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2．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)五种常见幂函数的图象与性质
函数特征性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
图象
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
(－∞，0)减，
(0，＋∞)增
增
增
(－∞，0)和
(0，＋∞)减
公共点
(1,1)
1．与二次函数有关的恒成立问题
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则
(1)f(x)＞0恒成立的充要条件是；
(2)f(x)＜0恒成立的充要条件是；
(3)f(x)＞0(a＜0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是；
(4)f(x)＜0(a＞0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是.
2．幂函数y＝xα(α∈R)的图象特征
(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．
(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
(3)当α＞0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数；
当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
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(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数． ( )
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.( )
(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)． ( )
(4)当n＞0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，若f(m)＝3，则实数m的值为( )
A. B．±
C．± D．9
D [由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝.
所以f(x)＝x＝，
故f(m)＝＝3⇒m＝9.]
3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
C [由题意知即得a＞.]
4．(教材改编)如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＜b＜a B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．a＜c＜b
D [由图象知②③的指数大于零且b＞c，①的指数小于零，因此b＞c＞a，故选D.]
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5．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
4 [f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，由f(x)是偶函数知a－4＝0，所以a＝4.]
幂函数的图象与性质
1．幂函数y＝f(x)的图象过点(8,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( )
A B C D
C [令f(x)＝xα，由f(8)＝2得8α＝2，
即23α＝2，解得α＝，所以f(x)＝x，故选C.]
2．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
D [a＝＝，b＝＝，c＝，由＜＜得b＜a＜c，故选D.]
3．(2019·兰州模拟)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于( )
A. B．1
C. D．2
C [由幂函数的定义知k＝1.
又f＝，
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所以＝，解得α＝，从而k＋α＝.]
4．若(a＋1) ＜(3－2a)，则实数a的取值范围是________．
[易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以解得－1≤a＜.]
[规律方法] 幂函数的性质与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.
(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断.
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.
求二次函数的解析式
【例1】 (1)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________.
(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.
(1)－4x2＋4x＋7 (2)x2＋2x [(1)法一(利用一般式)：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得
解得∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二(利用顶点式)：
设f(x)＝a(x－m)2＋n.
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的图象的对称轴为x＝＝.
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∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.
∴y＝f(x)＝a＋8.
∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，
解得a＝－4，
∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
(2)设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)，所以f(x)＝ax2＋2ax，
由＝－1，
得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.]
[规律方法] 求二次函数解析式的方法
(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.
(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
(1)x2＋2x＋1 (2)－2x2＋4 [(1)由题意知解得
从而f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，所以－a＝－，即b＝－2或a＝0，
当a＝0时，则f(x)＝bx2，值域为(－∞，0]或[0，＋∞), 不满足已知值域(－∞，4]，∴a＝0舍去，
所以f(x)＝－2x2＋2a2，
又f(x)的值域为(－∞，4]，
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所以2a2＝4，
故f(x)＝－2x2＋4.]
二次函数的图象与性质
►考法1 二次函数的图象
【例2】 已知abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
D [A项，因为a＜0，－＜0，
所以b＜0.又因为abc＞0，所以c＞0，
而f(0)＝c＜0，故A错．
B项，因为a＜0，－＞0，所以b＞0.
又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B错．
C项，因为a＞0，－＜0，所以b＞0.
又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C错．
D项，因为a＞0，－＞0，所以b
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