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第二节 参数方程
[考纲传真] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．
1．曲线的参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．
2．常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α(x－x0)
(t为参数)
圆
x2＋y2＝r2
(θ为参数)
椭圆
＋＝1(a＞b＞0)
(φ为参数)
根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：
过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.
(1)弦长l＝|t1－t2|；
(2)弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；
(3)|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数． ( )
(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段
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的数量． ( )
(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆． ( )
(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为. ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编)曲线(θ为参数)的对称中心( )
A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上
C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上
B [由得
所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.
曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，
所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上．]
3．直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为________．
－3 [将直线l的参数方程化为普通方程为y－2＝－3(x－1)，因此直线l的斜率为－3.]
4．曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为________．
y＝2－2x2(－1≤x≤1) [由(θ为参数)消去参数θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)．]
5．(教材改编)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则a＝________.
3 [直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为＋＝1，∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3－a＝0，∴a＝3.]
参数方程与普通方程的互化
1．将下列参数方程化为普通方程．
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(1)(t为参数)；
(2)(θ为参数)．
[解] (1)∵＋＝1，∴x2＋y2＝1.
∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.
又x＝，∴x≠0.
当t≥1时，0＜x≤1；当t≤－1时，－1≤x＜0，
∴所求普通方程为x2＋y2＝1，
其中或
(2)∵y＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2，
∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.
∵0≤sin2θ≤1，
∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3，
∴所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．
2.如图所示，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．
[解] 圆的半径为，
记圆心为C，
连接CP，
则∠PCx＝2θ，
故xP＝＋cos 2θ＝cos2θ，
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yP＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．
所以圆的参数方程为
(θ为参数)．
[规律方法] 消去参数的方法
(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数.
(2)利用三角恒等式消去参数.
(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.
易错警示：将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解，如例1.
参数方程的应用
【例1】 (2019·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝.
(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；
(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．
[解] (1)由消去θ，
得圆C的普通方程为x2＋y2＝16.
又直线l过点P(1,2)且倾斜角α＝，
所以l的参数方程为
即(t为参数)．
(2)把直线l的参数方程
代入x2＋y2＝16，
得2＋2＝16，t2＋(＋2)t－11＝0，
所以t1t2＝－11，
由参数方程的几何意义，|PA|·|PB|＝
|t1t2|＝11.
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[规律方法] 1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决.
2.对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.
(2019·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C：(θ为参数)相交于不同的两点A，B.
(1)若α＝，求线段AB的中点的直角坐标；
(2)若直线l的斜率为2，且过已知点P(3,0)，求|PA|·|PB|的值．
[解] (1)由曲线C：(θ为参数)，
可得曲线C的普通方程是x2－y2＝1.
当α＝时，直线l的参数方程为(t为参数)，
代入曲线C的普通方程，得t2－6t－16＝0，
得t1＋t2＝6，所以线段AB的中点对应的t＝＝3，
故线段AB的中点的直角坐标为.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得(cos2α－sin2α)t2＋6cos αt＋8＝0，
则|PA|·|PB|＝|t1t2|＝
＝，
由已知得tan α＝2，故|PA|·|PB|＝.
极坐标、参数方程的综合应用
【例2】 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
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(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．
[解] (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.
(2)法一：由直线l的参数方程(t为参数)，消去参数得y＝x·tan α.
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kx－y＝0.
由圆C的方程(x＋6)2＋y2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.
又|AB|＝，由垂径定理及点到直线的距离公式得＝，即＝，
整理得k2＝，解得k＝±，即l的斜率为±.
法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝
＝.
由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.
所以l的斜率为或－.
[规律方法] 处理极坐标、参数方程综合问题的方法
(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.
(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.
(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P
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的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
[解] (1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；
消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．
设P(x，y)，由题设得
消去k得x2－y2＝4(y≠0)，
所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0
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