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第三节 函数的奇偶性与周期性
[考纲传真] 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
1．函数的奇偶性
偶函数
奇函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
图象特征
关于y轴对称
关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)．
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(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点． ( )
(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称． ( )
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．( )
(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则f(x)是周期为2a的周期函数． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－ B.
C. D．－
B [依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，
∴b＝0且a＝，则a＋b＝.]
3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x
C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sin x
D [A项，定义域为R，f(－x)＝－x－sin 2x＝－f(x)，为奇函数，故不符合题意；
B项，定义域为R，f(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；
C项，定义域为R，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；
D项，定义域为R，f(－x)＝x2－sin x，－f(x)＝－x2－sin x，因为f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，故为非奇非偶函数．]
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4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
B [∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，
又f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(0)＝0.]
5．(教材改编)已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a＜b＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b，－a]上有( )
A．最大值4 B．最小值－4
C．最大值－3 D．最小值－3
B [法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选B.
法二：当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，
由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，
即－3≤－f(x)≤4，
∴－4≤f(x)≤3，
即在区间[－b，－a]上f(x)min＝－4，
f(x)max＝3，故选B.]
判断函数的奇偶性
【例1】 (1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
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C [对于A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，
∴h(x)是奇函数，A错．
对于B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，
∴h(x)是偶函数，B错．
对于C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．
对于D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，
∴h(x)是偶函数，D错．]
(2)判断下列函数的奇偶性．
①f(x)＝lg；
②f(x)＝ln(＋x)；
③f(x)＝＋；
④f(x)＝.
[解] ①由＞0得x＞1或x＜－1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．
又f(－x)＝lg＝lg＝－lg＝－f(x)
∴f(x)为奇函数．
②f(x)的定义域为R，
f(－x)＝(ln－x)＝ln
＝－ln(＋x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
③由得x＝±1，
∴f(x)的定义域为{－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
∴f(x)＝±f(－x)．
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∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
④易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x＞0时，f(x)＝x2＋x，
则当x＜0时，－x＞0，
故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
当x＜0时，f(x)＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，
故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
[规律方法] 1.判定函数奇偶性的3种常用方法
(1)定义法
(2)图象法
(3)性质法
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．判断分段函数奇偶性应注意的问题
判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同关系时，才能判断其奇偶性．如本例(2)第④小题．
(1)设f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是( )
A．|g(x)|是偶函数 B．f(x)g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是偶函数 D．f(x)＋g(x)是奇函数
D [f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，f(x)为偶函数．
g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)为奇函数．
|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x
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)]＝－f(x)g(x)，
所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；
f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，
所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；
f(x)＋g(x)＝2ex，
f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))，
且f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)，
所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D.]
(2)判断下列函数的奇偶性
①f(x)＝ln(e＋x)＋ln(e－x)；
②f(x)＝；
③f(x)＝.
[解] ①由得－e＜x＜e，
即函数f(x)的定义域为(－e，e)，关于原点对称．
又f(－x)＝ln(e－x)＋ln(e＋x)＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
②由2x－1≠0得x≠0，即函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
又f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
③函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝－f(x)，
当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2＋1＝－x2＋1＝－f(x)，
综上所述，f(－x)＝－f(x)．因此函数f(x)是奇函数．
函数奇偶性的应用
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【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝________.
(3)函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
(1)－2 (2) (3)－1 [(1)由f(a)＝ln(－a)＋1＝4，得ln(－a)＝3，所以f(－a)＝ln(＋a)＋1＝－ln ＋1＝－ln(－a)＋1＝－3＋1＝－2.
(2)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝x2＋4x.又f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即f(x)＝－x2－4x(x＜0)，
∴f(x)＝
(3)由题意得f(－1)＋f(1)＝0，即2(a＋1)＝0，解得a＝－1，经检验，a＝－1时，函数f(x)为奇函数．]
[规律方法] 已知函数奇偶性可以解决的4个问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出.
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由多项式恒等列出关于参数的方程或方程组，进而得出参数的值，也可利用特殊值求解.如利用f(－1)＝±f(1)直接求参数的值.
(4)画函数图象：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象.
(1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则g(f(－8))＝( )
A．－1 B．－2
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C．1 D．2
(2)已知函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( )
A．3 B．0
C．－1 D．－2
(3)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则f(x)＝________.
(4)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(1)＝________.
(1)A (2)B (3) (4) [(1)因为f(x)为奇函数，所以f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2，
所以g(f(－8))＝g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－log33＝－1.
(2)设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.故选B.
(3)当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝ex－1＋x，
又f(－x)＝f(x)，因此f(x)＝ex－1＋x.
所以f(x)＝.
(4)由题意知f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.
所以当x≤0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以
f(1)＝－f(－1)＝－[2－1＋2×(－1)－1]＝.]
函数的周期性及应用
【例3】 (1)(2019·沈阳模拟)函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f的值为( )
A. B.
C．－ D．－
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝2－，且对任意的x都有f(x＋2)＝
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，则f(2 018)＝( )
A．－2－ B．－2＋
C．2－ D．2＋
(3)已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)的值为________．
(1)A (2)A (3)1 348 [(1)由f(x＋1)＝－f(x)得f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的周期为2，则f＝f＝2××＝，故选A.
(2)由f(x＋2)＝得f(x＋4)＝f(x)．
所以函数f(x)的周期为4，所以f(2 018)＝f(2)．
又f(4)＝f(2＋2)＝＝2－，
所以－f(2)＝＝2＋，即f(2)＝－2－，故选A.
(3)∵f(x＋2)＝－，
∴f(x＋4)＝－＝f(x)，
∴函数y＝f(x)的周期T＝4.
又x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，
∴f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝－＝－1，f(4)＝－＝－.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)
＝504[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(504×4＋1)＋f(504×4＋2)
＝504＋1＋3
＝1 348.]
[规律方法] (1)判断函数周期性的方法
①定义法：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T.
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②结论法：对f(x)定义域内任一自变量的值x，
ⅰ.若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)；
ⅱ.若；
ⅲ.若.
(2)函数周期性的应用,根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性可将未知区间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.
(1)(2019·长沙模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)＝则下列函数值为1的是( )
A．f(2.5) B．f(f(2.5))
C．f(f(1.5)) D．f(2)
(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________.
(1)D (2)1 010 [(1)由f(x＋1)＝－f(x)知f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，于是f(x)是以2为周期的周期函数，从而f(2.5)＝f(0.5)＝－1，f(f(2.5))＝f(－1)＝f(1)＝－1，f(f(1.5))＝f(f(－0.5))＝f(1)＝－1，f(2)＝f(0)＝1，故选D.
(2)∵f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期T＝2.
又当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，f(0)＋f(1)＝1.
∴f(0)＋f(1)＝f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＝…＝f(2 018)＋f(2 019)＝1，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝1 010.]
函数性质的综合应用
►考法1 奇偶性与单调性结合
【例4】 (2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞
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)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
D [∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，
∴－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3.故选D.]
►考法2 奇偶性与周期性结合
【例5】 (2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
6 [∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，
∴f(x)是周期为6的周期函数，
∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．
又f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.]
►考法3 奇偶性、周期性与单调性结合
【例6】 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
D [因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－
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f(－1)＝f(1)．
因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．故选D.]
[规律方法] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法
(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
(1)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x)f(x＋2)＝－1，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.
(3)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[0,1]上单调递增，设a＝f(3)，b＝f()，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系是________．
(1)A (2)2.5 (3)a＞b＞c [(1)因为f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，
又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
f(2x－1)＜f，
所以|2x－1|＜，所以＜x＜.
(2)由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝－＝f(x)，
故函数f(x)的周期为4.
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所以f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)，
因为2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.
所以f(105.5)＝2.5
(3)由f(x＋1)＝－f(x)得f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的周期为2，则f(3)＝f(1)，f(2)＝f(0)，f()＝f(－2)＝f(2－)，
由于0＜2－＜1，且函数f(x)在[0,1]上单调递增，
所以f(3)＞f()＞f(2)，即a＞b＞c.]
1．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.
12 [法一：令x＞0，则－x＜0.
∴f(－x)＝－2x3＋x2.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．
∴f(2)＝2×23－22＝12.
法二：f(2)＝－f(－2)
＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]
2．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
1 [∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，
∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，∴xln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.]
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