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第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
[考纲传真] 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
1．函数y＝Asin (ωx＋φ)中各量的物理意义
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.五点法作图
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.三角函数图象变换的两种方法(ω＞0)
先平移后伸缩 先伸缩后平移
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1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换中，应向左平移个单位长度，而非φ个单位长度．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位长度得到的． ( )
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致． ( )
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为. ( )
(4)把y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sinx. ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．(教材改编)y＝2sin，x∈[0，＋∞)的振幅、频率和初相分别为( )
A．2，，－ B．2，，－
C．2，，－ D．2，，－
A [振幅为2，频率为＝，初相为－，故选A.]
3．为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
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C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
A [y＝2sin＝2sin，故选A.]
4．函数y＝sin在区间上的简图是( )
A [当x＝－时，y＝sin＝－sin＝sin＝＞0，排除B、D.
当x＝时，y＝sin＝sin 0＝0，故排除C，故选A.]
5．用五点法作函数y＝sin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.
；；；； [令x－分别等于0，，π，，2π可得x的值分别为，，，，，则需确定的五个点为，，，，.]
五点法作图及图象变换
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【例1】 (1)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
D [因为y＝sin＝cos＝cos，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos，故选D.]
(2)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的最小正周期为π.
①求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象；
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②函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
[解] ①由题意知f(x)＝sin，因为T＝π，所以＝π，即ω＝2，
故f(x)＝sin.
列表如下：
2x＋
π
2π
x
0
π
f(x)
1
0
－1
0
y＝f(x)在[0，π]上的图象如图所示．
②将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数f(x)＝sin(x∈R)的图象．
[规律方法] 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种作法
(1)变换法作图象的关键是看x
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轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用确定平移单位.
(2)用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取来求出相应的x，通过列表，描点得出图象.如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定.
(1)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标都缩小为原来的，纵坐标保持不变，再把图象向右平移个单位长度，则所得图象的解析式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
(2)(2019·宝鸡模拟)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝cos的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
(1)A (2)A [(1)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到y＝sin 2x的图象，再把y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin，即y＝sin的图象，故选A.
(2)y＝cos＝sin＝sin，故要得到函数y＝sin的图象，只需要平移－＝个单位长度，又＞0，所以应向左平移，故选A.]
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求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例2】 (1)(2019·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝( )
A. B. C. D．1
(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，x∈R，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________.
(1)C (2)2sin＋1 [(1)由题图知，＝，即T＝π，则ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，因为点在函数f(x)的图象上，所以sin＝0，即＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，所以φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin，因为x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，所以＝，所以x1＋x2＝，所以f(x1＋x2)＝sin＝.
(2)由题图可知，函数的最大值为A＋B＝3，最小值为－A＋B＝－1，解得A＝2，B＝1.函数的最小正周期为T＝2×＝π，
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由＝π，解得ω＝2.
由f＝2sin＋1＝－1，
得sin＝－1，故φ－＝2kπ－(k∈Z)，
解得φ＝2kπ－(k∈Z)，
又因为|φ|＜π，所以φ＝－.
所以f(x)＝2sin＋1.]
[规律方法] 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法
(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，
则A＝，b＝.
(2)求ω：确定函数的最小正周期T，则可得ω＝.
(3)求φ：常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”(即图象的“峰点)时ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z；
“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图象如图所示，f＝－，则f＝( )
A．－ B．－
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C. D.
(2)(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|
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