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第八节 函数与方程
[考纲传真] 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．
1．函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，
(x2,0)
(x1,0)
(或(x2,0))
无交点
零点个数
2
1
0
1．函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，则“f(a)·f(b)＜0”是函数f(x)在区间(a，b)内有零点的充分不必要条件．
2．若函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
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(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点． ( )
(2)函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)⊆D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0. ( )
(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点． ( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，
∴f(x)在(－1,0)内有零点，
又f(x)为增函数，∴函数f(x)有且只有一个零点．]
3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A．y＝cos x B．y＝sin x
C．y＝ln x D．y＝x2＋1
A [由于y＝sin x是奇函数，y＝ln x是非奇非偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，只有y＝cos x是偶函数又有零点．]
4．函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(－2，－1) D．(－1,0)
D [∵f(－2)＝－，f(－1)＝－，
f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，
∴f(0)f(1)＞0，f(1)f(2)＞0，
f(－2)f(－1)＞0，f(－1)f(0)＜0，故选D.]
5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
[∵函数f(x)的图象为直线，
由题意可得f(－1)f(1)＜0，
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∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1，
∴实数a的取值范围是.]
判断函数零点所在的区间
1．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
A [∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，
f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，
由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)和(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.]
2．设x0是方程＝的解，则x0所在的范围是( )
A. B.
C. D.
B [构造函数f(x)＝－，
因为f(0)＝－＝1＞0，
f＝－＝－＞0，f＝－＝－＜0.所以由零点存在性定理可得函数f(x)＝－在上存在零点，即x0∈
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，故选B.]
3．设函数y1＝x3与y2＝的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________．
(1,2) [设f(x)＝x3－，则f(x)在R上是增函数，
又f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝8－1＝7＞0，
则x0∈(1,2)．]
4．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x－的零点，则g(x0)＝________.
2 [f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，则x0∈(2,3)，故g(x0)＝2.]
[规律方法] 判断函数零点所在区间的3种方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(3)图象法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
判断函数零点(或方程根)的个数
【例1】 (1)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)(2019·兰州模拟)已知函数f(x)满足：
①定义域为R；
②∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；
③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1.
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则方程f(x)＝log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
(3)函数f(x)＝的零点个数是________．
(1)B (2)A (3)3 [(1)令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，
可得|log0.5x|＝x.
设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x，在同一直角坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．
(2)由f(x＋2)＝f(x)知函数f(x)是周期为2的函数，在同一直角坐标系中，画出y1＝f(x)与y2＝log2|x|的图象，如图所示．
由图象可得方程解的个数为5，故选A.
(3)当x＞0时，作函数y＝ln x和y＝x2－2x的图象，
由图知，当x＞0时，f(x)有2个零点；
当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)
所以在(－∞，0]上有一个零点，综上知f(x)有3个零点．]
[规律方法] 判断函数零点个数的3种方法
(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b
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]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
(1)函数f(x)＝的零点个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
(2)(2019·泰安模拟)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
(1)B (2)(1，＋∞) [(1)法一：由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
法二：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．
(2)问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，作出函数f(x)的图象(如图所示)，结合函数图象可知a＞1.
]
函数零点的应用
►考法1 根据零点的范围求参数
【例2】 若函数f(x)＝log2x＋x－k(k∈Z)在区间(2,3)上有零点，则k＝________.
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4 [函数f(x)＝log2x＋x－k在(2,3)上单调递增，所以f(2)·f(3)＜0，即(log22＋2－k)·(log23＋3－k)＜0，整理得(3－k)(log23＋3－k)＜0，解得3＜k＜3＋log23，而4＜3＋log23＜5，因为k∈Z，故k＝4.]
►考法2 已知函数零点或方程根的个数求参数
【例3】 (2019·青岛模拟)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
(3，＋∞) [作出f(x)的图象如图所示．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m20.又m>0，解得m>3.]
[规律方法] 已知函数的零点或方程根，求参数问题的三种方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.
(1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
(2)已知函数f(x)＝则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是( )
A．[0,1) B．(－∞，1)
C．(－∞，1]∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪(1，＋∞)
(1)C (2)D [(1)∵函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)＜0，∴(－a)(4－1－a)＜0，即a
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(a－3)＜0，∴0＜a＜3，故选C.
(2)函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＝m－x的根，在同一坐标系中画出函数f(x)和y＝m－x的图象，如图所示，
由图象知，当m≤0或m＞1时方程f(x)＝m－x有根，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点，故选D.]
1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝( )
A．－ B.
C. D．1
C [法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，
令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.
∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，
∴函数g(t)为偶函数．
∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．
又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，
∴2a－1＝0，解得a＝.
故选C.
法二：f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.
ex－1＋e－x＋1≥2＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．
若a>0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.若a≤0，则f(x)的零点不唯一．
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故选C.]
2．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
B [f′(x)＝3ax2－6x，
当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，
则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)0，注意f(0)＝1，f＝>0，则f(x)的大致图象如图(1)所示．
图(1)
不符合题意，排除A、C.
当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈时，f′(x)0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)
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